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★8. 有甲、乙两个大小不同的水桶,容量分别为 $ x $(L),$ y $(L),且已各装了一些水.若将甲中的水全倒入乙后,乙可再装 $ 20 L $ 水；若将乙中的水倒入甲,装满甲后,乙还剩 $ 10 L $ 水,则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为
$ y = x + 30 $
.答案
$ y = x + 30 $
解析
设甲、乙两桶原有水共 $ S $ 升。
由“将甲中的水全倒入乙后，乙可再装 $ 20L $ 水”，得 $ S = y - 20 $；
由“将乙中的水倒入甲，装满甲后，乙还剩 $ 10L $ 水”，得 $ S = x + 10 $。
因水的总量 $ S $ 不变，故 $ y - 20 = x + 10 $，即 $ y = x + 30 $。
由“将甲中的水全倒入乙后，乙可再装 $ 20L $ 水”，得 $ S = y - 20 $；
由“将乙中的水倒入甲，装满甲后，乙还剩 $ 10L $ 水”，得 $ S = x + 10 $。
因水的总量 $ S $ 不变，故 $ y - 20 = x + 10 $，即 $ y = x + 30 $。
9. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 90^{\circ} $,$ BC = 6 cm $,$ AB = 8 cm $,动点 $ P $ 从 $ C $ 出发,以每秒 $ 2 cm $ 的速度沿线段 $ CA $ 运动 $ x $ 秒时(到点 $ A $ 停止运动),$ \triangle BAP $ 的面积为 $ y cm^2 $.
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式及自变量的取值范围.
(2) 从 $ C $ 出发几秒时,$ S_{\triangle BPA} = \dfrac {1}{4} S_{\triangle ABC} $?
]
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式及自变量的取值范围.
(2) 从 $ C $ 出发几秒时,$ S_{\triangle BPA} = \dfrac {1}{4} S_{\triangle ABC} $?
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答案
(1) 在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10(cm)$，
由题意，得$CP = 2xcm$，则：
$AP = AC - CP = (10 - 2x)cm$，
作$PD\bot AB$于点$D$，
$\because \angle PDA = \angle B = 90^{\circ}$，
$\angle A$是公共角，
$\therefore \triangle APD \backsim \triangle ACB$，
$\therefore \frac{PD}{BC} = \frac{AP}{AC}$，
即$\frac{PD}{6} = \frac{10 - 2x}{10}$，
$\therefore PD = \frac{3}{5}(10 - 2x)$，
$\therefore y = \frac{1}{2}AB \cdot PD = \frac{1}{2} × 8 × \frac{3}{5}(10 - 2x) = \frac{12}{5}(10 - 2x)= - \frac{24}{5}x + 24(0 \leq x \leq 5)$。
(2) 由(1)知$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = 24(cm^{2})$，
$\because S_{\triangle BPA} = \frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$，
即：
$- \frac{24}{5}x + 24 = \frac{1}{4} × 24$，
解得：
$x = \frac{15}{4}$，
$\therefore$从$C$出发$\frac{15}{4}$秒时，$S_{\triangle BPA} = \frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。
$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10(cm)$，
由题意，得$CP = 2xcm$，则：
$AP = AC - CP = (10 - 2x)cm$，
作$PD\bot AB$于点$D$，
$\because \angle PDA = \angle B = 90^{\circ}$，
$\angle A$是公共角，
$\therefore \triangle APD \backsim \triangle ACB$，
$\therefore \frac{PD}{BC} = \frac{AP}{AC}$，
即$\frac{PD}{6} = \frac{10 - 2x}{10}$，
$\therefore PD = \frac{3}{5}(10 - 2x)$，
$\therefore y = \frac{1}{2}AB \cdot PD = \frac{1}{2} × 8 × \frac{3}{5}(10 - 2x) = \frac{12}{5}(10 - 2x)= - \frac{24}{5}x + 24(0 \leq x \leq 5)$。
(2) 由(1)知$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = 24(cm^{2})$，
$\because S_{\triangle BPA} = \frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$，
即：
$- \frac{24}{5}x + 24 = \frac{1}{4} × 24$，
解得：
$x = \frac{15}{4}$，
$\therefore$从$C$出发$\frac{15}{4}$秒时，$S_{\triangle BPA} = \frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。
10. 对于气温,有的地方用摄氏温度表示,有的地方用华氏温度表示,摄氏温度与华氏温度之间存在着一次函数关系. 从温度计上的刻度可以看出,摄氏($ ^{\circ} C $)温度 $ x $ 与华氏($ ^{\circ} F $)温度 $ y $ 有如下的对应关系.
| $ x(^{\circ} C) $ | …$ $ | $-10$ | $0$ | $10$ | $20$ | $30$ | …$ $ |
| $ y(^{\circ} F) $ | …$ $ | $14$ | $32$ | $50$ | $68$ | $86$ | …$ $ |
(1) 试确定 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式.
(2) 某天,宁波的最高气温是 $ 8^{\circ} C $,澳大利亚悉尼的最高气温是 $ 92^{\circ} F $,问这一天悉尼的最高气温比宁波的最高气温高多少摄氏度(结果保留整数)？
| $ x(^{\circ} C) $ | …$ $ | $-10$ | $0$ | $10$ | $20$ | $30$ | …$ $ |
| $ y(^{\circ} F) $ | …$ $ | $14$ | $32$ | $50$ | $68$ | $86$ | …$ $ |
(1) 试确定 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式.
(2) 某天,宁波的最高气温是 $ 8^{\circ} C $,澳大利亚悉尼的最高气温是 $ 92^{\circ} F $,问这一天悉尼的最高气温比宁波的最高气温高多少摄氏度(结果保留整数)？
答案
(1)设$y$与$x$之间的函数表达式为$y = kx + b$。
将$x = 0,y = 32$和$x = 10,y = 50$代入$y = kx + b$，
得$\begin{cases}b = 32,\\10k + b = 50.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 1.8,\\b = 32.\end{cases}$
所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y = 1.8x + 32$。
(2)当$y = 92$时，$1.8x + 32 = 92$，
解得$x=\frac{92 - 32}{1.8}=\frac{60}{1.8}=\frac{100}{3}\approx33.3$，
$33.3 - 8 = 25.3\approx25(^{\circ}C)$。
答：这一天悉尼的最高气温比宁波的最高气温高约$25^{\circ}C$。
将$x = 0,y = 32$和$x = 10,y = 50$代入$y = kx + b$，
得$\begin{cases}b = 32,\\10k + b = 50.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 1.8,\\b = 32.\end{cases}$
所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y = 1.8x + 32$。
(2)当$y = 92$时，$1.8x + 32 = 92$，
解得$x=\frac{92 - 32}{1.8}=\frac{60}{1.8}=\frac{100}{3}\approx33.3$，
$33.3 - 8 = 25.3\approx25(^{\circ}C)$。
答：这一天悉尼的最高气温比宁波的最高气温高约$25^{\circ}C$。
