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1. 对于①$x - 3xy= x(1 - 3y)$,②$(x+3)(x - 1)= x^{2}+2x - 3$,从左到右的变形,表述正确的是(
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是乘法运算,②是因式分解
D.①是因式分解,②是乘法运算
D
)A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是乘法运算,②是因式分解
D.①是因式分解,②是乘法运算
答案
D
解析
因式分解是将一个多项式转化为几个整式的积的形式，而乘法运算则是将几个整式相乘得到一个新的多项式。对于①$x - 3xy = x(1 - 3y)$，是将多项式转化为两个整式的积，属于因式分解。对于②$(x+3)(x - 1) = x^{2} + 2x - 3$，是将两个整式相乘得到多项式，属于乘法运算。
2. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是(
A.$6a^{2}b^{2}= 3ab\cdot 2ab$
B.$a - ay= a(1 - y)$
C.$2x^{2}+8x - 1= 2x(x + 4)-1$
D.$(x + 2)(x - 2)= x^{2}-4$
B
)A.$6a^{2}b^{2}= 3ab\cdot 2ab$
B.$a - ay= a(1 - y)$
C.$2x^{2}+8x - 1= 2x(x + 4)-1$
D.$(x + 2)(x - 2)= x^{2}-4$
答案
B
解析
A. $6a^{2}b^{2}= 3ab\cdot 2ab$，这不是将多项式转化为几个整式的积的形式，因为左边是单项式，不是多项式，故A错误；
B. $a - ay = a(1 - y)$，这是将多项式$a - ay$转化为整式$a$与$(1 - y)$的积的形式，属于因式分解，故B正确；
C. $2x^{2}+8x - 1= 2x(x + 4)-1$，这并不是将多项式完全转化为几个整式的积的形式，因为右边并不是整式的积，故C错误；
D. $(x + 2)(x - 2)= x^{2}-4$，这是整式的乘法，不是因式分解，故D错误。
B. $a - ay = a(1 - y)$，这是将多项式$a - ay$转化为整式$a$与$(1 - y)$的积的形式，属于因式分解，故B正确；
C. $2x^{2}+8x - 1= 2x(x + 4)-1$，这并不是将多项式完全转化为几个整式的积的形式，因为右边并不是整式的积，故C错误；
D. $(x + 2)(x - 2)= x^{2}-4$，这是整式的乘法，不是因式分解，故D错误。
3. 下列各式中,没有公因式的是(
A.$ab - bc$
B.$y^{2}-y$
C.$x^{2}+2x + 1$
D.$mn^{2}-nm + m^{2}$
C
)A.$ab - bc$
B.$y^{2}-y$
C.$x^{2}+2x + 1$
D.$mn^{2}-nm + m^{2}$
答案
C
解析
A. 对于 $ab - bc$，可以提取公因式 $b$，得到 $b(a - c)$，所以A选项有公因式。
B. 对于 $y^{2} - y$，可以提取公因式 $y$，得到 $y(y - 1)$，所以B选项有公因式。
C. 对于 $x^{2} + 2x + 1$，这是一个完全平方公式，可以表示为 $(x + 1)^{2}$，它没有公因式可以提取。
D. 对于 $mn^{2} - nm + m^{2}$，可以提取公因式 $m$，得到 $m(n^{2} - n + m)$，所以D选项有公因式。
B. 对于 $y^{2} - y$，可以提取公因式 $y$，得到 $y(y - 1)$，所以B选项有公因式。
C. 对于 $x^{2} + 2x + 1$，这是一个完全平方公式，可以表示为 $(x + 1)^{2}$，它没有公因式可以提取。
D. 对于 $mn^{2} - nm + m^{2}$，可以提取公因式 $m$，得到 $m(n^{2} - n + m)$，所以D选项有公因式。
4. (2024·福建中考)分解因式：$x^{2}+x= $
$x(x + 1)$
。答案
$x(x + 1)$
解析
对于$x^{2}+x$，可发现每一项都含有公因式$x$，根据提公因式法，将公因式$x$提出后可得$x^{2}+x = x(x + 1)$。
5. (2024·浙江中考)分解因式：$a^{2}-7a= $
$a(a-7)$
。答案
$a(a-7)$。
解析
对于式子$a^{2}-7a$，可以观察到每一项都含有公因子$a$，因此可以提取公因子$a$，得到：
$a^{2}-7a = a × a - 7 × a = a(a - 7)$。
$a^{2}-7a = a × a - 7 × a = a(a - 7)$。
6. 若$a = 49$,$b = 109$,则$ab - 9a$的值为
4900
。答案
4900
解析
首先，观察表达式 $ab - 9a$，可以发现它们都含有公因式 $a$，
根据提公因式法，可以提取出公因式 $a$，得到：
$ab - 9a = a(b - 9)$
然后，将 $a = 49$，$b = 109$ 代入上式，得到：
$49 × (109 - 9)=49 × 100 = 4900$。
根据提公因式法，可以提取出公因式 $a$，得到：
$ab - 9a = a(b - 9)$
然后，将 $a = 49$，$b = 109$ 代入上式，得到：
$49 × (109 - 9)=49 × 100 = 4900$。
7. 已知$3a - 2b = 2$,则$9a - 6b= $
6
。答案
6
解析
本题可先对$9a - 6b$进行因式分解，再将$3a - 2b = 2$整体代入求解。
步骤一：对$9a - 6b$进行因式分解
观察$9a - 6b$，每一项都含有公因式$3$，根据提公因式法，可将公因式$3$提出，得到$9a - 6b = 3(3a - 2b)$。
步骤二：整体代入求值
已知$3a - 2b = 2$，将其代入$9a - 6b = 3(3a - 2b)$中，可得$9a - 6b = 3×2 = 6$。
步骤一：对$9a - 6b$进行因式分解
观察$9a - 6b$，每一项都含有公因式$3$，根据提公因式法，可将公因式$3$提出，得到$9a - 6b = 3(3a - 2b)$。
步骤二：整体代入求值
已知$3a - 2b = 2$，将其代入$9a - 6b = 3(3a - 2b)$中，可得$9a - 6b = 3×2 = 6$。
8. 分解因式：
(1)$m^{2}+10m$；(2)$x - 3x^{2}y + x^{4}$。
(1)$m^{2}+10m$；(2)$x - 3x^{2}y + x^{4}$。
答案
(1) $m^{2}+10m = m(m + 10)$
(2) $x - 3x^{2}y + x^{4} = x(1 - 3xy + x^{3})$
(2) $x - 3x^{2}y + x^{4} = x(1 - 3xy + x^{3})$
9. 关于$x的代数式2x^{2}-mx - 15分解因式得(x - 3)(nx + 5)$,则$n^{m}$的值为(
A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
B
)A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
答案
B
解析
因为$(x - 3)(nx + 5)=nx^{2}+5x - 3nx - 15=nx^{2}+(5 - 3n)x - 15$，又因为$2x^{2}-mx - 15=(x - 3)(nx + 5)$，所以$n=2$，$5 - 3n=-m$。将$n=2$代入$5 - 3n=-m$，得$5 - 6=-m$，解得$m=1$。则$n^{m}=2^{1}=2$。
10. 如图,将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成 9 块,其中有 2 块是边长都为$a$厘米的大正方形,2 块是边长都为$b$厘米的小正方形,5 块是长为$a$厘米,宽为$b$厘米的相同的小长方形,且$a＞b$。观察图形,尝试将代数式$2a^{2}+5ab + 2b^{2}$因式分解。
答案
$(2a + b)(a + 2b)$
解析
由题意，大长方形纸板的面积为9块图形面积之和，即$2a^{2}+5ab + 2b^{2}$。
因为大长方形面积等于长×宽，需确定其长和宽：
2块边长为$a$的正方形面积和为$2a^2$，2块边长为$b$的正方形面积和为$2b^2$，5块长$a$宽$b$的长方形面积和为$5ab$。
观察图形，大长方形的长为$2a + b$，宽为$a + 2b$（或长为$a + 2b$，宽为$2a + b$），则大长方形面积为$(2a + b)(a + 2b)$。
验证：$(2a + b)(a + 2b)=2a^2 + 4ab + ab + 2b^2=2a^2 + 5ab + 2b^2$，与总面积相等。
故$2a^{2}+5ab + 2b^{2}=(2a + b)(a + 2b)$。
因为大长方形面积等于长×宽，需确定其长和宽：
2块边长为$a$的正方形面积和为$2a^2$，2块边长为$b$的正方形面积和为$2b^2$，5块长$a$宽$b$的长方形面积和为$5ab$。
观察图形，大长方形的长为$2a + b$，宽为$a + 2b$（或长为$a + 2b$，宽为$2a + b$），则大长方形面积为$(2a + b)(a + 2b)$。
验证：$(2a + b)(a + 2b)=2a^2 + 4ab + ab + 2b^2=2a^2 + 5ab + 2b^2$，与总面积相等。
故$2a^{2}+5ab + 2b^{2}=(2a + b)(a + 2b)$。
