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例1 如图13.3-8,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle CAB$,$\angle CBA的平分线相交于点D$,$BD的延长线交AC于点E$,求$\angle ADE$的度数.
答案
45°
解析
∵AD平分∠CAB，BD平分∠CBA，
∴设∠DAB=∠1，∠DBA=∠2，则∠CAB=2∠1，∠CBA=2∠2。
在△ABC中，∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=180°-∠C=90°，
即2∠1+2∠2=90°，
∴∠1+∠2=45°。
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴∠ADE=∠DAB+∠DBA=∠1+∠2=45°。
例2 如图13.3-9,已知$DE分别交\triangle ABC的边AB$,$AC于点D$,$E$,交$BC的延长线于点F$,$\angle B = 67^{\circ}$,$\angle ACB = 74^{\circ}$,$\angle AED = 48^{\circ}$,求$\angle BDF$的度数.
【思路导析】要求$\angle BDF$的度数,应从三角形内角和与三角形的外角出发,若将$\angle BDF看成\triangle BDF$的内角,只需求$\angle F$的度数即可.
【思路导析】要求$\angle BDF$的度数,应从三角形内角和与三角形的外角出发,若将$\angle BDF看成\triangle BDF$的内角,只需求$\angle F$的度数即可.
答案
在$\triangle ABC$中，
$\angle A + \angle B + \angle ACB = 180^{\circ}$（三角形内角和定理）
$\angle B = 67^{\circ}$，$\angle ACB = 74^{\circ}$
$\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle ACB = 180^{\circ} - 67^{\circ} - 74^{\circ} = 39^{\circ}$
在$\triangle ADE$中，
$\angle ADE + \angle A + \angle AED = 180^{\circ}$（三角形内角和定理）
$\angle A = 39^{\circ}$，$\angle AED = 48^{\circ}$
$\angle ADE = 180^{\circ} - \angle A - \angle AED = 180^{\circ} - 39^{\circ} - 48^{\circ} = 93^{\circ}$
$\angle BDF + \angle ADE = 180^{\circ}$（平角定义）
$\angle BDF = 180^{\circ} - \angle ADE = 180^{\circ} - 93^{\circ} = 87^{\circ}$
答：$\angle BDF$的度数为$87^{\circ}$。
$\angle A + \angle B + \angle ACB = 180^{\circ}$（三角形内角和定理）
$\angle B = 67^{\circ}$，$\angle ACB = 74^{\circ}$
$\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle ACB = 180^{\circ} - 67^{\circ} - 74^{\circ} = 39^{\circ}$
在$\triangle ADE$中，
$\angle ADE + \angle A + \angle AED = 180^{\circ}$（三角形内角和定理）
$\angle A = 39^{\circ}$，$\angle AED = 48^{\circ}$
$\angle ADE = 180^{\circ} - \angle A - \angle AED = 180^{\circ} - 39^{\circ} - 48^{\circ} = 93^{\circ}$
$\angle BDF + \angle ADE = 180^{\circ}$（平角定义）
$\angle BDF = 180^{\circ} - \angle ADE = 180^{\circ} - 93^{\circ} = 87^{\circ}$
答：$\angle BDF$的度数为$87^{\circ}$。
例3 如图13.3-10,$\angle XOY = 90^{\circ}$,点$A$,$B分别在射线OX$,$OY$上移动,$BE是\angle ABY$的平分线,$BE的反向延长线与\angle OAB的平分线相交于点C$. 问：$\angle ACB$的大小是否变化？如果保持不变,请求出$\angle ACB$的大小；如果发生变化,请探究变化规律.
答案
【示范解答】不变化.
$\because AC平分\angle OAB$,$BE平分\angle YBA$,
$\therefore \angle CAB = \frac{1}{2}\angle OAB$,$\angle EBA = \frac{1}{2}\angle YBA$.
$\because \angle EBA = \angle C + \angle CAB$,
$\therefore \angle C = \angle EBA - \angle CAB$
$= \frac{1}{2}\angle YBA - \frac{1}{2}\angle OAB$
$= \frac{1}{2}(\angle YBA - \angle OAB)$.
$\because \angle YBA - \angle OAB = \angle XOY = 90^{\circ}$,
$\therefore \angle C = \frac{1}{2} × 90^{\circ} = 45^{\circ}$.
$\because AC平分\angle OAB$,$BE平分\angle YBA$,
$\therefore \angle CAB = \frac{1}{2}\angle OAB$,$\angle EBA = \frac{1}{2}\angle YBA$.
$\because \angle EBA = \angle C + \angle CAB$,
$\therefore \angle C = \angle EBA - \angle CAB$
$= \frac{1}{2}\angle YBA - \frac{1}{2}\angle OAB$
$= \frac{1}{2}(\angle YBA - \angle OAB)$.
$\because \angle YBA - \angle OAB = \angle XOY = 90^{\circ}$,
$\therefore \angle C = \frac{1}{2} × 90^{\circ} = 45^{\circ}$.
如图13.3-11所示是可调躺椅的示意图(数据如图),$AE与BD的交点为C$,且$\angle A$,$\angle B$,$\angle E$保持不变. 为了舒适,需调整$\angle D的大小使\angle EFD = 110^{\circ}$,则图中$\angle D$应
增加
(填“增加”或“减少”)____20
度.答案
增加；20
解析
在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠ACB=180°-50°-60°=70°，∠ECD=∠ACB=70°（对顶角相等）。设调整后∠D为x，在△EFD中，∠E=30°（不变），∠EFD=110°，由三角形内角和定理得：∠D=180°-∠E-∠EFD=180°-30°-110°=40°。原来∠D=20°，40°-20°=20°，故∠D应增加20度。
