7. 若式子$\frac{2}{y - 2} + 1$的值为零,则$y = $.

$0$

根据题意，有$\frac{2}{y - 2} + 1 = 0$，
将方程两边同时乘以$y - 2$（注意$y \neq 2$，否则分母为零）得：
$2 + (y - 2) = 0$，
进一步化简得：
$y = 0$，
经检验，当$y = 0$时，原方程成立。

8. 若关于$x的方程\frac{1}{x - 4} + \frac{m}{x + 4} = \frac{m + 3}{x^2 - 16}$无解,则$m$的值为.

$-1$，$5$，$-\frac{1}{3}$

方程两边同乘$(x - 4)(x + 4)$得：$x + 4 + m(x - 4) = m + 3$，化简得$(1 + m)x = 5m - 1$。
分式方程无解分两种情况：
1. 整式方程无解：$1 + m = 0$且$5m - 1 ≠ 0$，解得$m = -1$；
2. 整式方程的解为增根：原方程增根为$x = 4$或$x = -4$。
当$x = 4$时，代入$(1 + m)×4 = 5m - 1$，解得$m = 5$；
当$x = -4$时，代入$(1 + m)×(-4) = 5m - 1$，解得$m = -\frac{1}{3}$。
综上，$m$的值为$-1$，$5$，$-\frac{1}{3}$。

9. 小明解方程$\frac{1}{x} - \frac{x - 2}{x} = 1$的过程如图所示,请指出他解答过程中的错误,并写出正确的解答过程.
解:方程两边乘$x$,得
$1 - (x - 2) = 1$. ①
去括号,得$1 - x - 2 = 1$. ②
合并同类项,得$- x - 1 = 1$. ③
移项,得$- x = 2$. ④
系数化为$1$,得$x = - 2$. ⑤
$\therefore原方程的解为x = - 2$. ⑥

小明步骤中①、②、⑥均错误，正确解为$x = \frac{3}{2}$（书写框内仅填最终数值解或按题目后续要求处理，此处因无选项，按要求填$x = \frac{3}{2}$的对应位置若为填空则填数值，本题按指示填 boxed{无选项格式但按要求仅给解} ，实际按题设应表述为正确解的数值，因无选项对应，按解析明确解即可）。 （若按选择题假设对应选项指正确解的代号，但本题无选项，按指示直接返回无选项格式的解，即正确解的数值表述，本解析内已明确）

步骤①：方程两边乘$x$时，右边的$1$应该乘$x$，原式应为$1 - (x - 2) = x$。
步骤②：去括号时，$1 - (x - 2)$应为$1 - x + 2$，原式应为$1 - x + 2 = x$，原步骤错误写成$1 - x - 2 = 1$。
后续步骤修正：
$1 - x + 2 = x$，
$3 - x = x$，
移项，$3 = 2x$，
系数化为$1$，$x = \frac{3}{2}$。
检验：将$x = \frac{3}{2}$代入原方程，左边$\frac{1}{\frac{3}{2}} - \frac{\frac{3}{2} - 2}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} - \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$，等于右边，解正确。

10. 解下列方程:
(1)$\frac{x}{2x - 3} + \frac{5}{3 - 2x} = 4$;
(2)$\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{3}{x^2 - 1} = 1$;
(3)$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{4}{x^2 - 1} - 1 = 0$;
(4)$\frac{2}{2x + 1} - \frac{1}{2x - 1} = \frac{5}{4x^2 - 1}$.

【解析】：
(1)
方程：$\frac{x}{2x - 3} + \frac{5}{3 - 2x} = 4$
化简：$\frac{x}{2x - 3} - \frac{5}{2x - 3} = 4$
通分：$\frac{x - 5}{2x - 3} = 4$
去分母：$x - 5 = 8x - 12$
移项合并：$-7x = -7$
解得：$x = 1$
检验：代入$x = 1$，分母$2x - 3 = -1 \neq 0$，为解。
(2)
方程：$\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{3}{x^2 - 1} = 1$
通分：$\frac{(x - 1)^2 - 3}{(x + 1)(x - 1)} = 1$
化简：$\frac{x^2 - 2x - 2}{x^2 - 1} = 1$
去分母：$x^2 - 2x - 2 = x^2 - 1$
移项合并：$-2x = 1$
解得：$x = -\frac{1}{2}$
检验：代入$x = -\frac{1}{2}$，分母$x^2 - 1 = -\frac{3}{4} \neq 0$，为解。
(3)
方程：$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{4}{x^2 - 1} - 1 = 0$
通分：$\frac{(x + 1)^2 - 4 - (x^2 - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
化简：$\frac{2x - 2}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
去分母：$2x - 2 = 0$
解得：$x = 1$
检验：代入$x = 1$，分母$x^2 - 1 = 0$，非解（增根）。原方程无解。
(4)
方程：$\frac{2}{2x + 1} - \frac{1}{2x - 1} = \frac{5}{4x^2 - 1}$
通分：$\frac{2(2x - 1) - (2x + 1)}{(2x + 1)(2x - 1)} = \frac{5}{4x^2 - 1}$
化简：$\frac{2x - 3}{4x^2 - 1} = \frac{5}{4x^2 - 1}$
去分母：$2x - 3 = 5$
解得：$x = 4$
检验：代入$x = 4$，分母$4x^2 - 1 = 63 \neq 0$，为解。
【答案】：
(1) $x = 1$
(2) $x = -\frac{1}{2}$
(3) 无解
(4) $x = 4$
（由于题目要求格式，答案按题号顺序排列为）
(1)B(即x=1的选项表示) (2)B(即x=-1/2的选项表示) (3)无解 (4)D(即x=4的选项表示)
（按题目直接要求对应选项字母而实际未给选项，则按解答直接给值对应）综合规范为：
【答案】：(1)1；(2)$-\frac{1}{2}$；(3)无解；(4)4

11. (新定义)对于实数$a,b$,定义一种新运算“$\otimes$”为$a \otimes b = \frac{1}{a - b^2}$,这里等式右边是实数运算.例如:$1 \otimes 3 = \frac{1}{1 - 3^2} = - \frac{1}{8}$.则方程$x \otimes (- 2) = \frac{2}{x - 4} - 1$的解是()
A. $x = 4$
B. $x = 5$
C. $x = 6$
D. $x = 7$

B

根据题意，新运算$x \otimes (-2)$可表示为$\frac{1}{x - (-2)^2} = \frac{1}{x - 4}$，
原方程变为：$\frac{1}{x - 4} = \frac{2}{x - 4} - 1$，
去分母，得$1 = 2 - (x - 4)$，
去括号，得$1 = 2 - x + 4$，
移项、合并同类项，得$x = 5$，
检验：当$x = 5$时，$x - 4 \neq 0$，
所以，$x = 5$是原方程的解。

12. 如果关于$x的不等式组\begin{cases}\frac{x - m}{2} \geq 0, \\x + 3 ＜ 3(x - 1)\end{cases} 的解集为x ＞ 3$,且关于$x的分式方程\frac{1 - x}{2 - x} + \frac{m}{x - 2} = 3$有非负数解,则符合条件的整数$m$的值的和是()
A. $0$
B. $- 4$
C. $- 5$
D. $- 8$

D

解不等式组：
$\begin{cases}\frac{x - m}{2} \geq 0 \\x + 3 ＜ 3(x - 1)\end{cases}$
解第一个不等式：$\frac{x - m}{2} \geq 0 \implies x \geq m$
解第二个不等式：$x + 3 ＜ 3x - 3 \implies 2x ＞ 6 \implies x ＞ 3$
∵解集为$x ＞ 3$，
∴$m \leq 3$
解分式方程：$\frac{1 - x}{2 - x} + \frac{m}{x - 2} = 3$
整理得：$\frac{x - 1}{x - 2} + \frac{m}{x - 2} = 3$
去分母：$x - 1 + m = 3(x - 2)$
解得：$x = \frac{m + 5}{2}$
∵方程有非负数解且$x \neq 2$，
∴$\frac{m + 5}{2} \geq 0$且$\frac{m + 5}{2} \neq 2$
即$m \geq -5$且$m \neq -1$
综上：$-5 \leq m \leq 3$且$m \neq -1$
整数$m$：$-5, -4, -3, -2, 0, 1, 2, 3$
和为：$-5 + (-4) + (-3) + (-2) + 0 + 1 + 2 + 3 = -8$
D

13. (2024·重庆)若关于$y的分式方程\frac{2}{y - 3} - \frac{a}{3 - y} = 2$的解为整数,且$x^2 + 2(a - 1)x + 9$是一个完全平方式,则满足条件的整数$a$的值为.

4（题目要求直接填答案，这里按照要求，填$4$对应的无选项形式（假设本题为填空题改编），若按照选择题理解，此处应理解为填对应选项中数字4所代表的答案形式，但按要求直接填数字相关，故为4对应的答案情况）即填$4$（若原题有选项则按选项对应填，本题按要求直接给出数值答案）。

首先解分式方程：
$\frac{2}{y - 3} - \frac{a}{3 - y} = 2$，
去分母，因$3-y=-(y-3)$，方程两边同时乘以$y-3$得：
$2 + a = 2(y - 3)$，
$2+a=2y-6$
$2y=8+a$
$y = \frac{a + 8}{2}$，
因为分式方程分母不能为0，所以$y-3\neq0$，即$y\neq3$，
所以$\frac{a + 8}{2}\neq3$，
$a+8\neq6$
$a\neq-2$
因为方程的解为整数，且$a$为整数，所以$a+8$是2的倍数，即$a$为偶数。
再根据$x^2 + 2(a - 1)x + 9$是一个完全平方式，可得：
$x^2 + 2(a - 1)x + 9=(x+m)^2$，
而$9=3^2$，所以$2(a-1)x=2× x×3$或$2(a-1)x=-2× x×3$，
即$2(a - 1) = \pm 6$，
$a-1=\pm3$
解得$a = 4$或$a = -2$，
又因为$a\neq-2$且$a$为偶数，
所以$a = 4$。

14. 已知关于$x的分式方程\frac{2m + x}{x - 3} - 1 = \frac{2}{x}$,是否存在$m$的值使该方程无解? 若存在,求出$m$的值;若不存在,说明理由.

$m = -\frac{1}{2}$或$m = -\frac{3}{2}$

方程两边同乘$x(x - 3)$得：$x(2m + x) - x(x - 3) = 2(x - 3)$，化简得$(2m + 1)x = -6$。分式方程无解分两种情况：①整式方程无解，即$2m + 1 = 0$，解得$m = -\frac{1}{2}$；②整式方程的解为增根，原方程增根为$x = 0$或$x = 3$。$x = 0$代入整式方程不成立；$x = 3$代入得$3(2m + 1) = -6$，解得$m = -\frac{3}{2}$。综上，$m = -\frac{1}{2}$或$m = -\frac{3}{2}$。