1. 下面是四位同学对多项式$a^{3}-9a$分解因式的结果,其中正确的是()
A.$a(a^{2}-9)$
B.$a(a-3)(a+3)$
C.$a^{2}(a-\frac{9}{a})$
D.$a(a-3)^{2}$

B

首先对多项式 $a^{3} - 9a$ 提取公因式 $a$，得到 $a(a^{2} - 9)$。
接着，发现 $a^{2} - 9$ 是一个差平方形式，它可以进一步分解为 $(a+3)(a-3)$。
所以，$a^{3} - 9a = a(a+3)(a-3)$。
对比选项，发现只有B选项与我们的结果相符。

2. 下列因式分解不正确的是()
A.$ax^{2}-ay^{2}= a(x+y)(x-y)$
B.$3a^{2}-3c^{2}= 3(a+c)(a-c)$
C.$x^{3}+8x^{2}+16x= x(x+4)^{2}$
D.$-2x^{3}y-4xy^{3}+8x^{2}y^{2}= -2xy(x-2y)^{2}$

D

A. $ax^{2}-ay^{2}$
= $a(x^{2}-y^{2})$
= $a(x+y)(x-y)$，与选项A一致，所以A是正确的。
B. $3a^{2}-3c^{2}$
= $3(a^{2}-c^{2})$
= $3(a+c)(a-c)$，与选项B一致，所以B是正确的。
C. $x^{3}+8x^{2}+16x$
= $x(x^{2}+8x+16)$
= $x(x+4)^{2}$，与选项C一致，所以C是正确的。
D. $-2x^{3}y-4xy^{3}+8x^{2}y^{2}$
= $-2xy(x^{2}+2y^{2}-4xy)$
而选项D给出的是 $-2xy(x-2y)^{2}$，
将 $(x-2y)^{2}$ 展开得到 $x^{2}-4xy+4y^{2}$，
这与 $x^{2}+2y^{2}-4xy$ 不一致，所以D是不正确的。

3. 分解因式：
$12m^{2}n-12mn+3n= $。

$3n(2m - 1)^{2}$。

首先，从三项中提取公因式$3n$，得到：
$12m^{2}n - 12mn + 3n = 3n(4m^{2} - 4m + 1)$，
接着，观察括号内的三项式，它是一个完全平方三项式，即：
$4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2}$，
代入上面的式子，得到：
$12m^{2}n - 12mn + 3n = 3n(2m - 1)^{2}$。

4. (1)已知$a-b= 1$,则$a^{3}-a^{2}b+b^{2}-2ab$的值为；
(2)已知$x^{2}-2x-1= 0$,则$3x^{3}-10x^{2}+5x+2027$的值等于。

1；2023

(1)原式$=a^{3}-a^{2}b+b^{2}-2ab=a^{2}(a-b)+(b^{2}-2ab)$，因为$a-b=1$，所以$a^{2}(a-b)=a^{2}$，则原式$=a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}=1^{2}=1$；
(2)由$x^{2}-2x-1=0$得$x^{2}=2x+1$，$x^{3}=x\cdot x^{2}=x(2x+1)=2x^{2}+x$，原式$=3(2x^{2}+x)-10x^{2}+5x+2027=6x^{2}+3x-10x^{2}+5x+2027=-4x^{2}+8x+2027=-4(2x+1)+8x+2027=-8x-4+8x+2027=2023$

5. 分解因式：
(1)$3a^{2}-3c^{2}$；
(2)$x^{3}y-10x^{2}y+25xy$；
(3)$4x^{2}(a-b)+9y^{2}(b-a)$。

(1)
$3a^{2}-3c^{2}$
$=3(a^{2}-c^{2})$
$=3(a + c)(a - c)$
(2)
$x^{3}y - 10x^{2}y+25xy$
$=xy(x^{2}-10x + 25)$
$=xy(x - 5)^{2}$
(3)
$4x^{2}(a - b)+9y^{2}(b - a)$
$=4x^{2}(a - b)-9y^{2}(a - b)$
$=(a - b)(4x^{2}-9y^{2})$
$=(a - b)(2x + 3y)(2x - 3y)$

6. 分解因式：
(1)$(x^{2}-4x)^{2}-16$；
(2)$(x^{2}-1)^{2}+6(x^{2}-1)+9$。

(1)
$\begin{aligned}&(x^{2}-4x)^{2}-16\\=&(x^{2}-4x)^{2}-4^{2}\\=&(x^{2}-4x + 4)(x^{2}-4x - 4)\\=&(x - 2)^{2}(x^{2}-4x - 4)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(x^{2}-1)^{2}+6(x^{2}-1)+9\\=&(x^{2}-1)^{2}+6(x^{2}-1)+3^{2}\\=&(x^{2}-1 + 3)^{2}\\=&(x^{2}+2)^{2}\end{aligned}$

7. 分解因式：
(1)$(x-2)(x-4)+1$；
(2)$x^{4}-8x^{2}+16$。

(1)
$\begin{aligned}&(x - 2)(x - 4) + 1\\=&x^2 - 4x - 2x + 8 + 1\\=&x^2 - 6x + 9\\=&(x - 3)^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&x^4 - 8x^2 + 16\\=&(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 4 + 4^2\\=&(x^2 - 4)^2\\=&(x^2 - 2^2)^2\\=&(x - 2)^2(x + 2)^2\end{aligned}$

8. 分解因式$x^{2}-4y^{2}-2x+4y$,细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生新的公因式,然后提取公因式就可以完成因式分解了,过程如下：
$x^{2}-4y^{2}-2x+4y= (x+2y)(x-2y)-2(x-2y)= (x-2y)(x+2y-2)$。
上述分解因式的方法叫做分组分解法,请利用这种方法,解答下列问题。
(1)分解因式：$m^{2}-n^{2}+4n-4m$。
(2)分解因式：$a^{2}+6a+9-4b^{2}$
(3)$\triangle ABC的三边a$,$b$,$c满足a^{2}+2b^{2}+c^{2}= 2ab+2bc$,判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由。

(1) $ m^2 - n^2 + 4n - 4m $
$=(m^2 - n^2) + (-4m + 4n)$
$=(m + n)(m - n) - 4(m - n)$
$=(m - n)(m + n - 4)$
(2) $ a^2 + 6a + 9 - 4b^2 $
$=(a^2 + 6a + 9) - (2b)^2$
$=(a + 3)^2 - (2b)^2$
$=(a + 3 + 2b)(a + 3 - 2b)$
(3) $\triangle ABC$是等边三角形。理由如下：
$\because a^2 + 2b^2 + c^2 = 2ab + 2bc$
$\therefore a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 = 0$
$\therefore (a - b)^2 + (b - c)^2 = 0$
$\because (a - b)^2 \geq 0$，$(b - c)^2 \geq 0$
$\therefore a - b = 0$，$b - c = 0$
$\therefore a = b$，$b = c$
$\therefore a = b = c$
$\therefore \triangle ABC$是等边三角形。