2025年绩优学案九年级数学上册人教版第91页答案
1. 如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆,那么这个四边形一定是 (
C
)
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.不能确定

答案

C
2. 如图24-3-3,在$\odot O$中,$OA = AB$,$OC\perp AB交\odot O于C$,则下列结论错误的是 (
D
)

A.弦$AB$的长等于圆内接正六边形的边长
B.弦$AC$的长等于圆内接正十二边形的边长
C.$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{BC}$
D.$\angle BAC = 30^{\circ}$

答案

D

解析

连接OB。
∵OA=AB，OA=OB，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，∠AOB=60°，
∴AB=OA，圆内接正六边形边长等于半径，A正确。
∵OC⊥AB，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，C正确，∠AOC=∠BOC=30°，
∴弦AC是30°圆心角所对弦，圆内接正十二边形中心角为30°，B正确。
∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°，D错误。
结论错误的是D。
3. 正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角的关系是 (
B
)
A.互余
B.互补
C.互余或互补
D.不能确定

答案

B

解析

设正多边形的边数为$n$。
中心角的度数为$\frac{360°}{n}$。
一个内角的度数为$\frac{(n - 2) × 180°}{n}$。
中心角与内角的和为：$\frac{360°}{n} + \frac{(n - 2) × 180°}{n} = \frac{360° + 180° n - 360°}{n} = 180°$。
所以正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角互补。
B
4. 如图24-3-4,以$AB$为边,在$AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边三角形ABF$,连接$FE$,$FC$,则$\angle EFA$的度数是
66°
。

答案

66°

解析

解：
∵ABCDE是正五边形，
∴内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角$\angle EAB=\frac{540°}{5}=108°$，且$EA=AB$。
∵ABF是等边三角形，
∴$\angle FAB=60°$，$FA=AB$。
∴$EA=FA$，$\angle EAF=\angle EAB-\angle FAB=108°-60°=48°$。
在$\triangle EFA$中，$EA=FA$，
∴$\angle EFA=\frac{180°-\angle EAF}{2}=\frac{180°-48°}{2}=66°$。
66°
5. 如图24-3-5,$A$,$B$,$C$,$D$为一个正多边形的顶点,$O$为正多边形的中心,若$\angle ADB = 18^{\circ}$,则这个正多边形的边数为
10
。

答案

10

解析

连接OA，OB，OD。
∵A，B，C，D为正多边形的顶点，O为中心，
∴A，B，D在以O为圆心，OA为半径的圆上。
∵∠ADB=18°，
∴∠AOB=2∠ADB=36°（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。
∵正多边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，
∴$\frac{360°}{n}=36°$，
解得n=10。
10
6. 如图24-3-6,已知在正五边形$ABCDE$中,$M是CD$的中点,连接$AC$,$BE$,$AM$。
求证：(1)$AC = BE$；(2)$AM\perp CD$。

答案

(1) ∵ABCDE是正五边形，∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE。在△ABC和△BAE中，$\left\{\begin{array}{l} AB=BA\\ ∠ABC=∠BAE\\ BC=AE\end{array}\right.$，∴△ABC≌△BAE(SAS)，∴AC=BE。
(2) ∵ABCDE是正五边形，∴它是轴对称图形，且对称轴过顶点A和对边CD的中点。∵M是CD的中点，∴直线AM是正五边形ABCDE的对称轴，∴AM⊥CD。