1. 用一条长40cm的绳子围成一个面积为$64cm^2$的长方形。设长方形的长为x cm,则可列方程为()
A.$x(20 + x) = 64$
B.$x(20 - x) = 64$
C.$x(40 + x) = 64$
D.$x(40 - x) = 64$

B

长方形的周长为40cm，长为$x$cm，则宽为$\frac{40}{2}-x=(20 - x)$cm。
面积为长乘宽，即$x(20 - x)=64$。
B

2. 一个面积为$35m^2$的矩形苗圃,它的长比宽多2m,则这个苗圃的长为()
A.5m
B.6m
C.7m
D.8m

C

设苗圃的宽为$x\ m$，则长为$(x + 2)\ m$。
根据矩形面积公式，得$x(x + 2)=35$。
整理得$x^2 + 2x - 35 = 0$。
因式分解得$(x + 7)(x - 5)=0$。
解得$x_1 = 5$，$x_2=-7$（不合题意，舍去）。
长为$x + 2=5 + 2=7\ m$。
C

3. 如图21-3-3-3,正方形ABCD的边长是1,E,F分别是边BC,CD上的点,且△AEF是等边三角形,则BE的长为()

A.$2 - \sqrt{3}$
B.$2 + \sqrt{3}$
C.$2 + \sqrt{5}$

D.$\sqrt{5} - 2$

A

设$BE = x$，则$EC = 1 - x$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD = 1$，$\angle B = \angle D = 90°$。
由于$\triangle AEF$是等边三角形，所以$AE = AF = EF$。
在$Rt\triangle ABE$中，$AE^2 = AB^2 + BE^2 = 1^2 + x^2 = 1 + x^2$。
同理，设$DF = y$，则$FC = 1 - y$，在$Rt\triangle ADF$中，$AF^2 = AD^2 + DF^2 = 1 + y^2$，所以$1 + x^2 = 1 + y^2$，即$x = y$，故$DF = BE = x$，$FC = EC = 1 - x$。
在$Rt\triangle ECF$中，$EF^2 = EC^2 + FC^2 = (1 - x)^2 + (1 - x)^2 = 2(1 - x)^2$。
又因为$AE^2 = EF^2$，所以$1 + x^2 = 2(1 - x)^2$，展开得$1 + x^2 = 2(1 - 2x + x^2)$，即$1 + x^2 = 2 - 4x + 2x^2$，移项化简得$x^2 - 4x + 1 = 0$。
解得$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$，因为$x ＜ 1$，所以$x = 2 - \sqrt{3}$。
A

4. 如图21-3-3-4是一张长12cm、宽10cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是$24cm^2$的有盖的长方体铁盒,则剪去的正方形的边长为cm。

2

设剪去的正方形的边长为$x\ cm$，则长方体铁盒的高为$x\ cm$，底面长为$(12 - 2x)\ cm$，底面宽为$\dfrac{10 - 2x}{2} = (5 - x)\ cm$。
由题意得$(12 - 2x)(5 - x) = 24$，
展开得$60 - 12x - 10x + 2x^2 = 24$，
整理得$2x^2 - 22x + 36 = 0$，即$x^2 - 11x + 18 = 0$，
因式分解得$(x - 2)(x - 9) = 0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 9$。
因为$12 - 2x ＞ 0$且$5 - x ＞ 0$，所以$x ＜ 5$，故$x = 9$舍去，
则剪去的正方形的边长为$2\ cm$。
$2$

5. 一张长方形的会议桌长3m、宽2m,有一块台布的面积是桌面面积的1.5倍,并且铺在桌面上时,各边垂下的长度相同,则台布各边垂下的长度是m。(结果保留根号)

$\frac{-5+\sqrt{37}}{4}$

设台布各边垂下的长度是$x$m。
桌面面积为$3×2 = 6$m²，台布面积为$6×1.5 = 9$m²。
台布的长为$(3 + 2x)$m，宽为$(2 + 2x)$m，依题意得：
$(3 + 2x)(2 + 2x) = 9$
展开得：$6 + 6x + 4x + 4x² = 9$
化简为：$4x² + 10x - 3 = 0$
其中$a = 4$，$b = 10$，$c = -3$，
判别式$\Delta = 10² - 4×4×(-3) = 100 + 48 = 148$
$x = \frac{-10 \pm \sqrt{148}}{2×4} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{37}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{37}}{4}$
因为长度不能为负，所以$x = \frac{-5 + \sqrt{37}}{4}$
$\frac{-5+\sqrt{37}}{4}$

6. 如图21-3-3-5,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已备足可以砌50m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为$300m^2。$

围成AB为15 m,BC为20 m的矩形花园。

设AB的长为$x$ m，则BC的长为$(50 - 2x)$ m。
根据题意，得$x(50 - 2x) = 300$，
整理，得$x^2 - 25x + 150 = 0$，
解得$x_1 = 10$，$x_2 = 15$。
当$x = 10$时，$50 - 2x = 50 - 20 = 30$，因为$30 ＞ 25$，不符合题意，舍去；
当$x = 15$时，$50 - 2x = 50 - 30 = 20$，因为$20 ＜ 25$，符合题意。
围成AB为15 m，BC为20 m的矩形花园。

7. 要在一块长52m、宽48m的矩形绿地上,修建同样宽的两条互相垂直的甬路。下面分别是小亮和小颖的设计方案：
小亮设计的方案如图①所示,甬路宽度均为x m,剩下的四块绿地面积是2300m^2。小颖设计的方案如图②所示,$BC = HE = x$,$AB // CD$,$HG // EF$,$AB \perp EF$,$\angle 1 = 60°$。

(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x；
(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积。

(1)2 m；
(2)
∵BC//AD,AB//CD,
∴四边形ADCB为平行四边形,
∴BC=AD。由
(1)得x=2,
∴BC=HE=2=AD,过点A作AI⊥CD,垂足为I,则∠IAD = 30°,
∴ID = 1,AI=$\sqrt{3}$,
∴小颖设计方案中四块绿地的总面积=52×48 - 52×2 - 48×2+$(\sqrt{3})^2$=2299($m^2$)。