17. 如图,直线 $ y = x + 1 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A_1 $,以 $ OA_1 $ 为边,在 $ y $ 轴右侧作正方形 $ OA_1B_1C_1 $,延长 $ C_1B_1 $ 交直线 $ y = x + 1 $ 于点 $ A_2 $,再以 $ C_1A_2 $ 为边作正方形,……,这些正方形与直线 $ y = x + 1 $ 的交点分别为 $ A_1 $,$ A_2 $,$ A_3 $,…,$ A_n $,则点 $ B_n $ 的坐标为.

$(2^n - 1, 2^{n - 1})$

1. 求$A_1$坐标：直线$y=x+1$与$y$轴交于$A_1$，令$x=0$，得$y=1$，故$A_1(0,1)$。
2. 求$B_1$坐标：以$OA_1$为边作正方形$OA_1B_1C_1$（$y$轴右侧），$OA_1=1$，则$B_1(1,1)$。
3. 求$A_2$坐标：延长$C_1B_1$（直线$x=1$）交$y=x+1$于$A_2$，令$x=1$，得$y=2$，故$A_2(1,2)$。
4. 求$B_2$坐标：以$C_1A_2$（长2）为边作正方形，$B_2$为$A_2$右移2个单位，即$(3,2)$。
5. 同理，$A_3$在直线$x=3$上，$y=4$，$A_3(3,4)$，$B_3(7,4)$；$A_4(7,8)$，$B_4(15,8)$...
6. 规律：$B_n$横坐标$2^n-1$，纵坐标$2^{n-1}$。

18. 已知点 $ A(x_1, y_1) $,$ B(x_2, y_2) $,$ C(x_3, y_3) $ 在直线 $ y = -2x + 4 $ 上,当 $ x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 $ 时,下列结论：①若 $ x_1 + x_2 ＜ 0 $,则 $ y_2y_3 ＞ 0 $；②若 $ x_2 + x_3 ＜ 0 $,则 $ y_1y_2 ＞ 0 $；③若 $ y_1y_3 ＞ 0 $,则 $ x_2x_3 ＞ 0 $；④若 $ y_1y_2 ＜ 0 $,则 $ x_2x_3 ＞ 0 $,其中正确结论的序号为.

②④

直线$y=-2x+4$中$k=-2\lt0$，$y$随$x$增大而减小，故$x_1\lt x_2\lt x_3$时，$y_1\gt y_2\gt y_3$。令$y=0$得$x=2$，则$x\lt2$时$y\gt0$，$x\gt2$时$y\lt0$。
①若$x_1+x_2\lt0$，取$x_1=-3$，$x_2=-2$（$x_1+x_2=-5\lt0$），$x_3=3$（$x_3\gt x_2$），则$y_2=8$，$y_3=-2$，$y_2y_3=-16\lt0$，①错误。
②若$x_2+x_3\lt0$，因$x_3\gt x_2$，则$x_2\lt0$，$x_1\lt x_2\lt0\lt2$，故$y_1\gt0$，$y_2\gt0$，$y_1y_2\gt0$，②正确。
③若$y_1y_3\gt0$，取$x_1=-1$，$x_2=0$，$x_3=1$（$y_1=6$，$y_2=4$，$y_3=2$，$y_1y_3=12\gt0$），则$x_2x_3=0$，③错误。
④若$y_1y_2\lt0$，则$y_1\gt0$，$y_2\lt0$，故$x_1\lt2$，$x_2\gt2$，又$x_3\gt x_2\gt2$，则$x_2\gt0$，$x_3\gt0$，$x_2x_3\gt0$，④正确。

19.(8 分)已知点 $ P(x, y) $ 在第一象限,且满足 $ x + y = 8 $,点 $ A $ 的坐标为 $ (6, 0) $,设 $ \triangle OPA $ 的面积为 $ S $.
(1)用含 $ x $ 的表达式表示 $ S $,写出 $ x $ 的取值范围,并画出函数 $ S $ 的图象.
(2)当点 $ P $ 的横坐标为 5 时,$ \triangle OPA $ 的面积为多少？
(3)$ \triangle OPA $ 的面积能等于 25 吗？为什么？

(1)∵点$P(x,y)$在第一象限，$x + y = 8$，∴$y = 8 - x$，且$x＞0$，$y＞0$，即$0＜x＜8$。
$\triangle OPA$中，$OA = 6$（$O(0,0)$，$A(6,0)$），高为点$P$纵坐标$y$，
$S=\frac{1}{2}× OA× y=\frac{1}{2}×6×(8 - x)=24 - 3x$。
$x$取值范围：$0＜x＜8$。
图象：过点$(0,24)$和$(8,0)$的线段（端点空心）。
(2)当$x = 5$时，$S=24 - 3×5=9$。
(3)不能。理由：若$S = 25$，则$24 - 3x=25$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
∵$0＜x＜8$，$x=-\frac{1}{3}$不在此范围内，∴面积不能等于25。