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8. (★★)(2023·天津)如图 23.1 - 6,把 △ABC 以点 A 为中心逆时针旋转得到 △ADE,点 B,C 的对应点分别是点 D,E,且点 E 在 BC 的延长线上,连接 BD,则下列结论一定正确的是【
A.∠CAE = ∠BED
B.AB = AE
C.∠ACE = ∠ADE
D.CE = BD
A
】A.∠CAE = ∠BED
B.AB = AE
C.∠ACE = ∠ADE
D.CE = BD
答案
A
由旋转性质知，△ABC≌△ADE，故AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠ACB=∠AED（旋转角相等）
∵∠BED=∠AED-∠AEC=∠ACB-∠AEC=∠CAE
∴∠CAE=∠BED
由旋转性质知，△ABC≌△ADE，故AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠ACB=∠AED（旋转角相等）
∵∠BED=∠AED-∠AEC=∠ACB-∠AEC=∠CAE
∴∠CAE=∠BED
解析
9. (★★)如图 23.1 - 7,在 6×4 方格纸中,格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙,则其旋转中心是【
A.点 M
B.格点 N
C.格点 P
D.格点 Q
B
】A.点 M
B.格点 N
C.格点 P
D.格点 Q
答案
B
解析
连接三角形甲与三角形乙的对应顶点，作对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心。经作图可得，旋转中心是格点N。
B
B
10. (★★)如图 23.1 - 8,将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到线段 A'B',那么 A(-2,5)的对应点 A'的坐标是【
A.(2,5)
B.(5,2)
C.(2,-5)
D.(5,-2)
B
】A.(2,5)
B.(5,2)
C.(2,-5)
D.(5,-2)
答案
B
解析
过点A作AC⊥x轴于C，过点A'作A'D⊥x轴于D。
∵A(-2,5)，∴OC=2，AC=5。
线段AB绕点O顺时针旋转90°得到A'B'，
∴OA=OA'，∠AOA'=90°，∠AOC+∠A'OD=90°。
∵∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠A'OD。
在△AOC和△OA'D中，
∠OCA=∠ODA'=90°，∠OAC=∠A'OD，OA=OA'，
∴△AOC≌△OA'D(AAS)。
∴OD=AC=5，A'D=OC=2。
∵A'在第一象限，∴A'(5,2)。
∵A(-2,5)，∴OC=2，AC=5。
线段AB绕点O顺时针旋转90°得到A'B'，
∴OA=OA'，∠AOA'=90°，∠AOC+∠A'OD=90°。
∵∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠A'OD。
在△AOC和△OA'D中，
∠OCA=∠ODA'=90°，∠OAC=∠A'OD，OA=OA'，
∴△AOC≌△OA'D(AAS)。
∴OD=AC=5，A'D=OC=2。
∵A'在第一象限，∴A'(5,2)。
11. (★★)如图 23.1 - 9,若正方形 DCEF 旋转后能与正方形 ABCD 重合,则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有【
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
C
】A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
C
解析
设正方形边长为1，建立坐标系：D(0,0)，C(1,0)，A(0,-1)，B(1,-1)，E(1,1)，F(0,1)。
1. 旋转中心为C点：DCEF绕C顺时针旋转90°，D→B，C→C，E→D，F→A，重合。
2. 旋转中心为D点：DCEF绕D顺时针旋转90°，C→A，D→D，E→B，F→C，重合。
3. 旋转中心为CD中点O(0.5,0)：DCEF绕O旋转180°，D→C，C→D，E→A，F→B，重合。
共3个旋转中心。
1. 旋转中心为C点：DCEF绕C顺时针旋转90°，D→B，C→C，E→D，F→A，重合。
2. 旋转中心为D点：DCEF绕D顺时针旋转90°，C→A，D→D，E→B，F→C，重合。
3. 旋转中心为CD中点O(0.5,0)：DCEF绕O旋转180°，D→C，C→D，E→A，F→B，重合。
共3个旋转中心。
12. (★★)如图 23.1 - 10,在 △ABC 中,∠CAB = 65°,将 △ABC 在平面内绕点 A 旋转到 △AB'C'的位置,使 CC'//AB,则旋转角的度数为【
A.35°
B.40°
C.50°
D.65°
C
】A.35°
B.40°
C.50°
D.65°
答案
C
解析
解：
∵△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，
∴AC=AC'，∠CAC'为旋转角。
∵CC'//AB，∠CAB=65°，
∴∠ACC'=∠CAB=65°。
在△ACC'中，AC=AC'，
∴∠AC'C=∠ACC'=65°。
∴∠CAC'=180°-∠ACC'-∠AC'C=180°-65°-65°=50°。
即旋转角的度数为50°。
C
∵△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，
∴AC=AC'，∠CAC'为旋转角。
∵CC'//AB，∠CAB=65°，
∴∠ACC'=∠CAB=65°。
在△ACC'中，AC=AC'，
∴∠AC'C=∠ACC'=65°。
∴∠CAC'=180°-∠ACC'-∠AC'C=180°-65°-65°=50°。
即旋转角的度数为50°。
C
13. (★★)一个平行四边形 ABCD,如果绕其对角线的交点 O 旋转,至少要旋转
180
度,才可与其自身重合.答案
$180$
解析
平行四边形是中心对称图形，其对角线的交点为对称中心。根据中心对称的性质，绕对称中心旋转$180$度后，图形能与自身重合，而旋转小于$180$度的角度时，不能与其自身重合。
14. (★★)如图 23.1 - 11,在 △ABC 中,∠BAC = 55°,将 △ABC 逆时针旋转 α(0° ＜ α ＜ 55°)得到 △ADE,DE 交 AC 于点 F. 当 α = 40°时,点 D 恰好落在 BC 上,此时 ∠AFE 的度数为
85
.答案
85
解析
∵△ABC逆时针旋转α=40°得到△ADE，∴AB=AD，∠BAD=40°，∠DAE=∠BAC=55°，∠ACB=∠AED。
∵点D在BC上，∴△ABD为等腰三角形，∠ABD=∠ADB。
在△ABD中，∠ABD=(180°-∠BAD)/2=(180°-40°)/2=70°。
∵∠BAC=55°，∠BAD=40°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=15°。
在△ADC中，∠ADC=180°-∠ADB=180°-70°=110°，
∴∠ACB=180°-∠DAC-∠ADC=180°-15°-110°=55°，故∠AED=∠ACB=55°。
∵∠CAE=α=40°，在△AFE中，∠AFE=180°-∠CAE-∠AED=180°-40°-55°=85°。
∵点D在BC上，∴△ABD为等腰三角形，∠ABD=∠ADB。
在△ABD中，∠ABD=(180°-∠BAD)/2=(180°-40°)/2=70°。
∵∠BAC=55°，∠BAD=40°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=15°。
在△ADC中，∠ADC=180°-∠ADB=180°-70°=110°，
∴∠ACB=180°-∠DAC-∠ADC=180°-15°-110°=55°，故∠AED=∠ACB=55°。
∵∠CAE=α=40°，在△AFE中，∠AFE=180°-∠CAE-∠AED=180°-40°-55°=85°。
