4. 已知$x = 1是关于x的方程- 2ax + b = 3$的解,则$6a - 3b + 5$的值为()
A.$8$
B.$- 4$
C.$- 5$
D.$14$

B

将$x=1$代入方程$-2ax + b = 3$，得$-2a×1 + b = 3$，即$-2a + b = 3$。两边同时乘以$-3$，得$6a - 3b = -9$。则$6a - 3b + 5 = -9 + 5 = -4$。

5. 若关于$x的方程(k - 2)x^{\vert k - 1\vert} + 5k + 1 = 0$是一元一次方程,则$k = $,方程的解是$x = $.

答题卡：
根据一元一次方程定义，方程中$x$的最高次数为$1$，且$x$的系数不为$0$，
所以有：
$\vert k - 1\vert = 1$，
$k - 2 \neq 0$，
解$\vert k - 1\vert = 1$，得到：
$k - 1 = 1$ 或 $k - 1 = -1$，
即$k = 2$ 或 $k = 0$，
但由$k - 2 \neq 0$，排除$k = 2$，
所以$k = 0$，
将$k = 0$代入原方程，得到：
$-2x + 1 = 0$，
解得：
$x = \frac{1}{2}$，
故答案为：$0$；$\frac{1}{2}$。

6. 已知$(1 + b)y^{2} - y^{a - 1} = 3是关于y$的一元一次方程.
(1)求$a$,$b$的值；
(2)若$x = a是方程3x + 6 = x - m$的解,求$\vert a - b - 2\vert - \vert b - m\vert$的值.

(1)$a=2$，$b=-1$；(2)$-8$。

(1)因为方程$(1 + b)y^{2} - y^{a - 1} = 3$是关于$y$的一元一次方程，所以二次项系数为$0$，且一次项指数为$1$。
故$1 + b = 0$，解得$b=-1$；$a - 1 = 1$，解得$a=2$。
(2)由(1)知$a=2$，因为$x = a=2$是方程$3x + 6 = x - m$的解，代入得：
$3×2 + 6 = 2 - m$，即$12 = 2 - m$，解得$m=-10$。
又$a=2$，$b=-1$，$m=-10$，则：
$\vert a - b - 2\vert - \vert b - m\vert=\vert2 - (-1)-2\vert - \vert-1 - (-10)\vert=\vert1\vert - \vert9\vert=1 - 9=-8$。

7. 我们规定：若关于$x的一元一次方程ax = b的解为x = b - a$,则称该方程是“差解方程”,例如：$3x = 4.5的解为x = 1.5 = 4.5 - 3$,则方程$3x = 4.5$就是“差解方程”.请根据上述规定解答下列问题：
(1)判断：方程$2x = 4$差解方程；(填“是”或“不是”)
(2)若关于$x的一元一次方程4x = m$是“差解方程”,求$m$的值；
(3)已知关于$x的一元一次方程4x = mn + m和- 2x = mn + n$都是“差解方程”,求代数式$3(mn + m) - 9(mn + n)^{2}$的值.

(1) 是；(2) $\frac{16}{3}$；(3) $0$

(1) 是
(2) 由题意，方程$4x = m$的解为$x = m - 4$，又方程的解为$x = \frac{m}{4}$，则$\frac{m}{4}=m - 4$，解得$m=\frac{16}{3}$
(3) 对于方程$4x = mn + m$，解为$x=(mn + m)-4$，又解为$x=\frac{mn + m}{4}$，则$\frac{mn + m}{4}=(mn + m)-4$，设$a=mn + m$，得$\frac{a}{4}=a - 4$，解得$a=\frac{16}{3}$；对于方程$-2x = mn + n$，解为$x=(mn + n)-(-2)=mn + n + 2$，又解为$x=\frac{mn + n}{-2}$，则$\frac{mn + n}{-2}=mn + n + 2$，设$b=mn + n$，得$\frac{-b}{2}=b + 2$，解得$b=-\frac{4}{3}$。代数式$3(mn + m)-9(mn + n)^2=3a - 9b^2=3×\frac{16}{3}-9×\left(-\frac{4}{3}\right)^2=16 - 16=0$

例 1 有下列结论：①若 $ a = b $,则 $ 3a + m = 3b + m $；②若 $ a = b $,则 $ \frac{a}{c} = \frac{b}{c} $；③若 $ a^2 = b^2 $,则 $ a = b $；④若 $ a = b $,则 $ \frac{a}{c^2 + 1} = \frac{b}{c^2 + 1} $. 其中一定成立的有.(填序号)
名师导引 根据等式的性质逐项分析判断,即可求解.

①④

① 对于 $a = b$，两边同时乘以3，得到 $3a = 3b$，再两边同时加m，得到 $3a + m = 3b + m$。所以①成立。
② 对于 $a = b$，当 $c \neq 0$ 时，两边同时除以c，得到 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$。但当 $c = 0$ 时，分母为0，等式无意义。因此，②不一定成立。
③ 对于 $a^2 = b^2$，取平方根得到 $|a| = |b|$，这意味着 $a$ 和 $b$ 可能相等或互为相反数。所以③不一定成立。
④ 对于 $a = b$，由于 $c^2 + 1$ 总是大于0（因为 $c^2$ 是非负的，且加1后一定大于0），所以两边同时除以 $c^2 + 1$ 不会改变等式的真实性。因此，$\frac{a}{c^2 + 1} = \frac{b}{c^2 + 1}$。所以④成立。