某市政府实施一项重点民生工程,甲、乙两工程队承包此项工程.如果由甲工程队单独施工,刚好如期完成;如果由乙工程队单独施工,要比甲工程队多用4个月才能完成.现在甲、乙两队先共同施工3个月,剩下的工程由乙队单独施工,则刚好如期完成.规定的工期是多长时间?

设规定的工期是$x$个月，则甲工程队单独完成需$x$个月，乙工程队单独完成需$(x + 4)$个月，甲的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙的工作效率为$\frac{1}{x + 4}$。
根据题意，甲、乙共同施工3个月，乙再单独施工$(x - 3)$个月刚好完成工程，可列方程：
$3\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4}\right) + (x - 3)\cdot\frac{1}{x + 4} = 1$
化简方程左边：
$3\cdot\frac{1}{x} + 3\cdot\frac{1}{x + 4} + (x - 3)\cdot\frac{1}{x + 4} = \frac{3}{x} + \frac{3 + x - 3}{x + 4} = \frac{3}{x} + \frac{x}{x + 4}$
方程化为：
$\frac{3}{x} + \frac{x}{x + 4} = 1$
两边同乘$x(x + 4)$去分母：
$3(x + 4) + x^2 = x(x + 4)$
展开并化简：
$3x + 12 + x^2 = x^2 + 4x$
$3x + 12 = 4x$
$x = 12$
检验：当$x = 12$时，$x(x + 4) = 12×16 = 192 ≠ 0$，是原方程的解。
答：规定的工期是12个月。

例2 甲、乙两车分别从A、B两地出发沿同一公路相向而行,已知乙车的速度是甲车的1.5倍,A、B两地相距180公里.
(1)若甲车比乙车先出发1小时,则乙车出发2小时恰好与甲车相遇,求甲车的速度;
(2)若甲、乙两车同时出发,则甲车到B地的时间比乙车到A地的时间晚1小时,求甲车的速度.

(1)设甲车的速度为$x$公里/小时，则乙车的速度为$1.5x$公里/小时。
甲车行驶时间为$1 + 2 = 3$小时，乙车行驶时间为$2$小时。
根据题意得：$3x + 2×1.5x = 180$
化简得：$3x + 3x = 180$
$6x = 180$
解得：$x = 30$
答：甲车的速度为30公里/小时。
(2)设甲车的速度为$x$公里/小时，则乙车的速度为$1.5x$公里/小时。
甲车到B地时间为$\frac{180}{x}$小时，乙车到A地时间为$\frac{180}{1.5x}$小时。
根据题意得：$\frac{180}{x} = \frac{180}{1.5x} + 1$
化简$\frac{180}{1.5x} = \frac{120}{x}$，方程变为$\frac{180}{x} - \frac{120}{x} = 1$
$\frac{60}{x} = 1$
解得：$x = 60$
检验：当$x = 60$时，$1.5x = 90 \neq 0$，$x = 60$是原方程的解。
答：甲车的速度为60公里/小时。

某学校八年级学生前往距离学校10km的博物馆参观学习,其中一部分学生骑自行车先出发20min,其余的学生坐汽车出发,最终大家同时到达目的地.已知汽车行驶速度是学生骑行速度的2倍,求学生骑行速度与汽车行驶速度.

设学生骑行速度为 $x$ km/h，则汽车行驶速度为 $2x$ km/h。
根据题意，骑自行车的学生先出发 $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ h。
骑自行车的学生用时 $\frac{10}{x}$ h，坐汽车的学生用时 $\frac{10}{2x}$ h。
由于两者同时到达，所以骑自行车的学生用时比坐汽车的学生多 $\frac{1}{3}$ h，即：
$\frac{10}{x} - \frac{10}{2x} = \frac{1}{3}$。
两边乘以 $6x$，得到：
$60 - 30 = 2x$。
解得：
$x = 15$。
经检验，$x = 15$ 是原方程的解，并且符合题意。
所以，汽车的速度为 $2x = 30$ km/h。
答：学生骑行速度为 $15$ km/h，汽车行驶速度为 $30$ km/h。

例3 为了弘扬传统文化,提升信息时代学生的书写能力,重庆某校举办了书法比赛,并为获奖同学准备了丰富的奖品,其中A种奖品的单价比B种奖品的单价便宜20元,用400元购买A种奖品的数量与用600元购买B种奖品的数量相同.A,B两种奖品的单价分别是多少?

设A种奖品的单价为$x$元，则B种奖品的单价为$(x + 20)$元。
根据题意，用400元购买A种奖品的数量与用600元购买B种奖品的数量相同，可以列出方程：
$\frac{400}{x} = \frac{600}{x + 20}$
解这个方程，首先消去分母，得到：
$400(x + 20) = 600x$
展开并整理，得到：
$400x + 8000 = 600x$
$200x = 8000$
$x = 40$
经检验，$x = 40$是原方程的解，且符合题意。
所以，B种奖品的单价为$x + 20 = 60$元。
答：A种奖品的单价为40元，B种奖品的单价为60元。

元旦期间,某水果店预测冰糖橘会畅销,用1600元购进一批冰糖橘,上市后供不应求,该店又用6000元购进同类冰糖橘,第二批冰糖橘的数量是第一批的3倍,但单价比第一批高2元.
(1)第一批冰糖橘进货单价为多少元?
(2)若两次购进的冰糖橘按同样的价格销售,全部售完后,水果店获利为1200元,那么销售单价为多少元?

(1)设第一批冰糖橘进货单价为$x$元，则第一批进货数量为$\frac{1600}{x}$，第二批进货单价为$(x + 2)$元，第二批进货数量为$\frac{6000}{x + 2}$。
根据第二批冰糖橘的数量是第一批的$3$倍，可列方程：
$\frac{6000}{x + 2}=3×\frac{1600}{x}$
$6000x = 4800(x + 2)$
$6000x=4800x + 9600$
$1200x = 9600$
$x = 8$
经检验，$x = 8$是原分式方程的解，且符合题意。
(2)第一批进货数量为$\frac{1600}{8}=200$千克，第二批进货数量为$200×3 = 600$千克，两批共进货$200 + 600=800$千克。
设销售单价为$y$元，根据总售价$-$总进价$=$利润，可列方程：
$800y-(1600 + 6000)=1200$
$800y-7600 = 1200$
$800y=8800$
$y = 11$
答：(1)第一批冰糖橘进货单价为$8$元；(2)销售单价为$11$元。