变式训练 如图,若例2中$E,F分别为AB,CA$延长线上的点,仍有$BE= AF$,其他条件不变,那么$DE与DF$具有怎样的关系? 证明你的结论.

DE=DF且DE⊥DF.
证明：
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，D是BC中点（其他条件不变，隐含AB=AC，D为BC中点），
∴BD=CD，AD平分∠BAC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一），∠ABC=∠ACB.
设∠ABC=∠ACB=β，则∠BAC=180°-2β，∠BAD=∠CAD=90°-β.
∵E在AB延长线上，F在CA延长线上，
∴∠EBD=180°-∠ABC=180°-β（平角定义），
∠FAD=180°-∠CAD=180°-(90°-β)=90°+β（平角定义）.
又∵∠BAC=180°-2β，∠FAB=∠ABC+∠ACB=2β（三角形外角性质），
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=2β+(90°-β)=90°+β，故∠EBD=∠FAD.
∵AD是等腰△ABC底边上的中线，∴AD=BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，若∠BAC=90°，则AD=BD=CD）.
又∵BE=AF（已知），
∴△EBD≌△FAD（SAS），∴DE=DF，∠EDB=∠FDA.
∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，即∠EDB+∠ADE=90°.
∵∠EDB=∠FDA，∴∠FDA+∠ADE=90°，即∠EDF=90°.
综上，DE=DF且DE⊥DF.

1. 根据下列条件,不能判断$\triangle ABC$是等腰三角形的是()
A.$∠A:∠B:∠C= 2:2:5$
B.$a:b:c= 3:3:4$
C.$∠A= 30^{\circ },∠C= 120^{\circ }$
D.$2∠A= ∠B+∠C$

D

A. 根据角的比例$∠A:∠B:∠C= 2:2:5$，设$∠A = 2x$, $∠B = 2x$, $∠C = 5x$。
由三角形内角和为$180°$，有$2x + 2x + 5x = 180°$，
解得$x = 20°$。
因此，$∠A = ∠B = 40°$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
B. 根据边的比例$a:b:c= 3:3:4$，直接得出$a = b$（或$a$与$b$长度相等），所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
C. 已知$∠A = 30°$，$∠C = 120°$，由三角形内角和为$180°$，可以求出$∠B = 180° - 30° - 120° = 30°$。
因为$∠A = ∠B$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
D. 根据条件$2∠A= ∠B+∠C$，并且三角形的内角和为$180°$，即$∠A + ∠B + ∠C = 180°$。
将$2∠A= ∠B+∠C$代入，得到$3∠A = 180°$，
解得$∠A = 60°$，但无法确定$∠B$和$∠C$的具体度数，也无法确定它们是否相等，因此不能判断$\triangle ABC$是否为等腰三角形。

2. 在平面直角坐标系中,已知$A(3,0)$,$B(0,3)$,若点$C$在坐标轴上,且$\triangle ABC$为等腰三角形,则满足条件的点$C$的个数是()

A.3

B.4
C.6
D.7

D

已知A(3,0)，B(0,3)，AB=3√2，点C在坐标轴上，分三种情况讨论：
1. 以A为顶点（AB=AC）
C在x轴：设C(x,0)，AC=|x-3|=3√2，得x=3±3√2，即C₁(3+3√2,0)，C₂(3-3√2,0)；
C在y轴：设C(0,y)，AC=√(3²+y²)=3√2，得y=±3，y=3与B重合舍去，即C₃(0,-3)；
共3个点。
2. 以B为顶点（BA=BC）
C在y轴：设C(0,y)，BC=|y-3|=3√2，得y=3±3√2，即C₄(0,3+3√2)，C₅(0,3-3√2)；
C在x轴：设C(x,0)，BC=√(x²+3²)=3√2，得x=±3，x=3与A重合舍去，即C₆(-3,0)；
共3个点。
3. 以C为顶点（CA=CB）
C在x轴：设C(x,0)，|x-3|=√(x²+9)，解得x=0，即C₇(0,0)；
C在y轴：设C(0,y)，√(3²+y²)=|y-3|，解得y=0，与C₇重合；
共1个点。
综上，满足条件的点C有7个。

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$ED// BC$,$∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G,F$,若$FG= 4$,$ED= 8$,则$EB+DC= $.

4

∵ED//BC，
∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等）。
∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABG=∠GBC，∠ACF=∠FCB。
∴∠ABG=∠EGB，∠ACF=∠DFC（等量代换）。
∴EB=EG，DC=DF（等角对等边）。
∵ED=8，FG=4，且ED=EG+GF+FD，
∴EG+FD=ED-FG=8-4=4。
∵EB=EG，DC=DF，
∴EB+DC=EG+FD=4。

4. 如图,在$\triangle ABC的BC边上截取BE= AB$,连接$AE$,作$∠ABE的角平分线BD交AE于点D$,若$∠EAC= ∠C$,$BC= 17$,$AB= 9$,则$AD= $.

4

∵BE=AB=9，BC=17，∴EC=BC-BE=17-9=8。
∵∠EAC=∠C，∴△AEC为等腰三角形，∴AE=EC=8。
∵AB=BE，∴△ABE为等腰三角形，BD是∠ABE的角平分线。
由等腰三角形三线合一性质，BD为AE边上的中线，∴D为AE中点。
∴AD=AE/2=8/2=4。

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC= BC$,$∠ACB= 84^{\circ }$,$D是AB$边上一点(不与$A,B$重合),以$CD为边作等腰\triangle CDE$,$CD= CE$,且$∠DCE= 84^{\circ }$,$CB与DE交于点F$,连接$BE$.
(1)求证:$\triangle ACD\cong \triangle BCE$;
(2)当$AD= BF$时,证明$\triangle DCF$是等腰三角形.

(1)证明：∵AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=84°，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE。在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}AC=BC\\ \angle ACD=\angle BCE\\ CD=CE\end{array}\right.$，∴△ACD≌△BCE(SAS)。
(2)证明：∵AC=BC，∠ACB=84°，∴∠A=∠ABC=$\frac{180^{\circ}-84^{\circ}}{2}=48^{\circ}$。由(1)知△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠A=∠CBE=48°。∵AD=BF，∴BE=BF，∴△BEF中，∠BEF=∠BFE=$\frac{180^{\circ}-\angle CBE}{2}=\frac{180^{\circ}-48^{\circ}}{2}=66^{\circ}$。∵∠BFE=∠DFC，∴∠DFC=66°。∵CD=CE，∠DCE=84°，∴∠CDE=$\frac{180^{\circ}-84^{\circ}}{2}=48^{\circ}$。在△DCF中，∠DCF=180°-∠CDE-∠DFC=180°-48°-66°=66°。∴∠DCF=∠DFC，∴DF=DC，即△DCF是等腰三角形。

(1)证明：因为$AC=BC$，$\angle ACB=84^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
因为$CD=CE$，$\angle DCE=84^{\circ}$，所以$\triangle CDE$是等腰三角形。
所以$\angle ACB=\angle DCE=84^{\circ}$，则$\angle ACB - \angle DCB = \angle DCE - \angle DCB$，即$\angle ACD=\angle BCE$。
在$\triangle ACD$和$\triangle BCE$中，$\left\{\begin{array}{l}AC=BC\\\angle ACD=\angle BCE\\CD=CE\end{array}\right.$，所以$\triangle ACD\cong\triangle BCE(SAS)$。
(2)证明：因为$AC=BC$，$\angle ACB=84^{\circ}$，所以$\angle A=\angle ABC=\frac{180^{\circ}-84^{\circ}}{2}=48^{\circ}$。
由
(1)知$\triangle ACD\cong\triangle BCE$，所以$AD=BE$，$\angle A=\angle CBE=48^{\circ}$。
因为$AD=BF$，所以$BE=BF$，则$\angle BEF=\angle BFE$。
因为$\angle CBE=48^{\circ}$，所以$\angle BEF=\angle BFE=\frac{180^{\circ}-48^{\circ}}{2}=66^{\circ}$。
所以$\angle DFC=\angle BFE=66^{\circ}$。
因为$CD=CE$，$\angle DCE=84^{\circ}$，所以$\angle CDE=\angle CED=\frac{180^{\circ}-84^{\circ}}{2}=48^{\circ}$。
在$\triangle DCF$中，$\angle DCF=180^{\circ}-\angle DFC-\angle CDE=180^{\circ}-66^{\circ}-48^{\circ}=66^{\circ}$。
所以$\angle DCF=\angle DFC=66^{\circ}$，因此$CD=DF$，即$\triangle DCF$是等腰三角形。

6. 如图,$\triangle ABC和\triangle CDE$均为等腰三角形,$AC= BC$,$EC= DC$,$A,E,D$三点共线,$BD⊥AD于点D$,$AD交BC于点F$.
(1)若$∠ACE= ∠BCD$,$AD= 8$,$BD= \frac {2}{5}AD$,求$DE$的长;
(2)若$∠ACB= ∠ECD= 90^{\circ }$,且$BD= CE$,求证:$BC= AB - CF$.

(1)$\frac{24}{5}$；(2)证明见上

(1)
∵△ABC和△CDE为等腰三角形，AC=BC，EC=DC，∠ACE=∠BCD，
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB，∠ECD=∠BCD+∠ECB，故∠ACB=∠ECD.
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=BC\\ ∠ACE=∠BCD\\ CE=CD\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD.
∵AD=8，BD=$\frac{2}{5}$AD，∴BD=$\frac{16}{5}$.
∵A，E，D三点共线，∴AD=AE+DE，
∴DE=AD-AE=AD-BD=8-$\frac{16}{5}$=$\frac{24}{5}$.
(2)
∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC，EC=DC，
∴△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠CAB=∠CBA=45°，∠CDE=∠CED=45°.
∵∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB，∴∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=BC\\ ∠ACE=∠BCD\\ CE=CD\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD，∠CAE=∠CBD.
∵BD=CE，CE=CD，∴BD=CD，△BCD中∠CBD=∠BCD.
设AC=BC=a，则AB=$\sqrt{2}a$.
∵∠ACB=90°，∠BDC=∠ADC=45°(∠CDE=45°)，
∴∠BCD=(180°-45°)/2=67.5°，∠ACD=90°-67.5°=22.5°.
△AFC中，∠CAF=∠CBD=67.5°，∠ACF=90°，∴∠AFC=22.5°=∠ACD，
∴△AFC∽△ACD，$\frac{CF}{CD}=\frac{AC}{AD}$.
∵AD=AE+ED=BD+ED=CD+$\sqrt{2}CD$=CD(1+$\sqrt{2}$)，AC=a，
∴$\frac{CF}{CD}=\frac{a}{CD(1+\sqrt{2})}$，CF=$\frac{a}{1+\sqrt{2}}=a(\sqrt{2}-1)$.
∵AB=$\sqrt{2}a$，∴AB-BC=$\sqrt{2}a - a=a(\sqrt{2}-1)=CF$，
即BC=AB-CF.