6. 如图,在等腰 $ \triangle ABC $ 中, $ CA = CB $,点 $ D $ 是 $ AB $ 边上一点, $ DA = DC $.
(1) 如图 1, $ CH \perp AB $,若 $ \angle ACB = 78^{\circ} $,求 $ \angle HCD $ 的度数.
(2) 如图 2,若点 $ E $ 在 $ BC $ 边上且 $ DE = DB $,连接 $ AE $. 点 $ M $ 为线段 $ CE $ 的中点,过点 $ M $ 作 $ MN // DE $ 交 $ AB $ 于点 $ N $. 求证: $ CD = BN + DN $.

(1) 12°；(2) 证明见上述过程。

(1)
∵CA=CB，∠ACB=78°，
∴∠A=∠B=(180°-78°)/2=51°.
∵DA=DC，
∴∠ACD=∠A=51°.
∵CH⊥AB，CA=CB，
∴CH平分∠ACB，∠AHC=90°.
∴∠ACH=∠ACB/2=39°.
∴∠HCD=∠ACD-∠ACH=51°-39°=12°.
(2)
证明：延长NM至点F，使MF=MN，连接CF.
∵M为CE中点，
∴CM=EM.
在△CMF和△EMN中，
CM=EM，∠CMF=∠EMN，MF=MN，
∴△CMF≌△EMN(SAS).
∴CF=EN，∠F=∠MNE.
∵MN//DE，
∴∠MNE=∠EDB.
∵DE=DB，
∴∠EDB=∠B.
∴∠F=∠B.
∵CA=CB，DA=DC，
∴∠A=∠B，∠ACD=∠A.
∴∠ACD=∠B=∠F.
∵∠ADC=∠B+∠BCD，∠ADC=∠ACD+∠BCD=∠A+∠BCD，
又∠A=∠B，
∴∠ADC=∠B+∠BCD.
∵∠FCD=180°-∠F-∠CDF，∠NDB=180°-∠B-∠EDB=180°-2∠B，
且∠CDF=∠ADC-∠NDB-∠MNE=∠ADC-∠NDB-∠B，
∴∠FCD=∠ADC.
在△CDF和△ADC中，
∠F=∠A，∠FCD=∠ADC，CD=DC，
∴△CDF≌△ADC(AAS).
∴CF=AD.
∵AD=DC，
∴CF=DC.
∵CF=EN，
∴EN=DC.
∵EN=BN+DN，
∴CD=BN+DN.

有两个角相等的三角形是(简写成“等角对等边”).
思考 “等角对等边”与“等边对等角”有什么关系？哪一个是等腰三角形的性质？哪一个是等腰三角形的判定方法？
填空
(1)在$\triangle ABC$中,$∠A= 100^{\circ }$,当$∠B= $时,$\triangle ABC$是等腰三角形;
(2)在$\triangle ABC$中,$∠A= 80^{\circ }$,当$∠B= $时,$\triangle ABC$是等腰三角形.

等腰三角形；
（1）$40°$；
（2）$50°$或$80°$或$20°$。

有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）。
“等角对等边”是等腰三角形的判定方法，即如果一个三角形中有两个角相等，则这两个角对应的两边也相等，该三角形为等腰三角形；
“等边对等角”是等腰三角形的性质，即等腰三角形的两底角相等。
(1) 已知$\angle A=100°$，只有$\angle B=\angle C$时，$\triangle ABC$是等腰三角形，
根据三角形内角和为$180°$，
$\angle B=\angle C=\frac{180° -100°}{2}=40°$。
综上所述，答案为$40°$。
(2)
若$\angle A$是顶角，则$\angle B=\angle C$，
由于$\angle A=80°$，
则$\angle B=\angle C= \frac{180°-80°}{2}=50°$。
若$\angle A$和$\angle B$是底角，则$\angle A=\angle B=80°$。
若$\angle A$是底角，$\angle B$是顶角，
由于$\angle A=80°$，
则$\angle B=180°-2× 80°=20°$。
综上所述，答案为$50°$或$80°$或$20°$。

例1 如图,在$\triangle ABC$中,$BD平分∠ABC交AC于点D$,$DE// BC交AB于点E$. 求证:$\triangle BED$是等腰三角形.

名师导引 判定等腰三角形的方法有两个:①直接证两条边相等;②证两个角相等.
变式训练 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$.过点$A作AD// BC$,交$∠ACB的平分线于点D$,连接$BD$.
(1)求证:$\triangle ABD$为等腰三角形.
(2)若$∠BDC= 20^{\circ }$,求$∠ADC$的度数.

（1）证明见上；（2）80°．

例1证明：
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD（角平分线定义）．
∵DE//BC，∴∠EDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）．
∴∠ABD=∠EDB（等量代换）．
∴EB=ED（等角对等边）．
∴△BED是等腰三角形．
变式训练
（1）证明：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB/2（角平分线定义）．
∵AD//BC，∴∠ADC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）．
∴∠ADC=∠ACD（等量代换）．
∴AD=AC（等角对等边）．
∵AB=AC，∴AD=AB（等量代换）．
∴△ABD是等腰三角形．
（2）解：
设∠ADC=x，则∠ACD=∠ADC=x（等角对等边）．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACD=2x（角平分线定义）．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2x（等边对等角）．
∵AD//BC，∴∠DAB+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠DAB=180°-∠ABC=180°-2x．
∵AD=AB，∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）．
在△ABD中，∠ABD=∠ADB=(180°-∠DAB)/2=(180°-(180°-2x))/2=x．
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=2x-x=x．
在△BDC中，∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°（三角形内角和定理）．
∵∠BCD=x，∠BDC=20°，∴x+x+20°=180°．
解得x=80°．
∴∠ADC=80°．

例2 如图,在$\triangle ABC$中,$∠A= 90^{\circ },AB= AC$,$D为BC$的中点,$E,F分别是AB,AC$上的点,且$BE= AF$.试判断$\triangle DEF$的形状.

连接AD。
∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°。
∵D为BC中点，
∴AD=BD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），AD平分∠BAC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠BAD=∠CAD=45°，∠ADB=90°。
在△BDE和△ADF中，
∵BD=AD，∠B=∠DAF=45°，BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS）。
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF。
∵∠ADB=90°，即∠BDE+∠EDA=90°，
∴∠ADF+∠EDA=90°（等量代换），即∠EDF=90°。
∵DE=DF且∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形。
结论：△DEF是等腰直角三角形。