1. 在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 3,BC= 4,则Rt△ABC的外接圆的半径为 ()
A.4
B.2.4
C.5
D.2.5

D

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4。
由勾股定理，AB²=AC²+BC²=3²+4²=9+16=25，得AB=5。
直角三角形外接圆半径为斜边的一半，故外接圆半径为$\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}=2.5$。
D

2. 下列说法正确的是 ()
A.三点确定一个圆
B.三角形的外心是三角形三条角平分线的交点
C.等弧就是长度相等的两条弧
D.圆中最长的弦是直径

D

A. 选项A提到“三点确定一个圆”，但根据圆的基础性质，我们知道只有当三点不在同一直线上时，才能确定一个唯一的圆。若三点共线，则不能确定一个圆。因此，A选项错误。
B. 选项B说“三角形的外心是三角形三条角平分线的交点”，这是不准确的。三角形的外心实际上是三角形三边的垂直平分线的交点，而不是三条角平分线的交点。三条角平分线的交点是三角形的内心，而不是外心。因此，B选项错误。
C. 选项C提到“等弧就是长度相等的两条弧”，这也是不准确的。等弧的定义是在同一个圆或等圆中，能够完全重合的两条弧。仅仅长度相等并不足以称为等弧，它们还必须在同一个圆或等圆中能够完全重合。因此，C选项错误。
D. 选项D说“圆中最长的弦是直径”，这是正确的。根据圆的性质，我们知道直径是穿过圆心的弦，因此它是最长的弦。

3. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带去商店的一块碎片应该是 ()
A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块

B

要确定原来圆形镜子的大小，需找到圆心和半径。在圆中，不共线的三点确定一个圆，或利用垂径定理：弦的垂直平分线必过圆心。第②块碎片有一段完整的圆弧，在圆弧上任取两条弦，分别作这两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心，圆心到圆弧上任意一点的距离为半径，从而可确定原圆大小。其他碎片无法通过此方法确定圆心和半径。
B

4. 如图,已知△ABC,用尺规按照下列步骤操作：① 作线段AB的垂直平分线DE；② 作线段BC的垂直平分线FG,交DE于点O；③ 以点O为圆心,OB长为半径作⊙O.结论Ⅰ：点O是△ABC的外心；结论Ⅱ：$\widehat{BG}= \widehat{AD}$.对于结论Ⅰ和结论Ⅱ,下列判断正确的是 ()
A.Ⅰ和Ⅱ都对
B.Ⅰ和Ⅱ都不对
C.Ⅰ不对,Ⅱ对
D.Ⅰ对,Ⅱ不对

D

结论Ⅰ：点O是△ABC的外心。
∵DE是AB的垂直平分线，FG是BC的垂直平分线，
∴OA=OB，OB=OC，
∴OA=OB=OC，
∴点O是△ABC的外心，结论Ⅰ正确。
结论Ⅱ：$\widehat{BG}= \widehat{AD}$。
∵FG是BC的垂直平分线，
∴BG=CG，
∴$\widehat{BG}=\widehat{CG}$。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴$\widehat{AD}=\widehat{BD}$。
∵无法证明$\widehat{BG}=\widehat{AD}$，
∴结论Ⅱ错误。
D

5. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别是A(-3,0),B(-1,2),C(3,2),则△ABC的外心的坐标为.

(1,-2)

设△ABC的外心坐标为$(x,y)$。
因为外心到三角形三个顶点距离相等，所以有：
$\sqrt{(x + 3)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2}$
先由$\sqrt{(x + 1)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2}$，两边平方得：
$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2$
化简得：$(x + 1)^2 = (x - 3)^2$，展开：$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 6x + 9$，解得$8x = 8$，$x = 1$。
再将$x = 1$代入$\sqrt{(x + 3)^2 + y^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + (y - 2)^2}$，得：
$\sqrt{(1 + 3)^2 + y^2} = \sqrt{(1 + 1)^2 + (y - 2)^2}$
两边平方：$16 + y^2 = 4 + (y - 2)^2$，展开：$16 + y^2 = 4 + y^2 - 4y + 4$，化简得$16 = 8 - 4y$，解得$4y = -8$，$y = -2$。
故△ABC的外心坐标为$(1,-2)$。
$(1,-2)$

6. 如图,要把破残的圆片复制完整,已知弧上的三点A,B,C.
(1)用尺规作图法,找出$\widehat{BC}$所在圆的圆心O(保留作图痕迹,不写作法)；
(2)设△ABC是等腰三角形,底边BC= 24cm,腰AB= 13cm,求圆片的半径.

(1) 作图略（分别作线段AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心O，保留作图痕迹）。
(2) 设BC中点为D，连接AD、OB。
∵△ABC是等腰三角形，BC=24cm，∴BD=12cm，AD⊥BC。
在Rt△ABD中，AB=13cm，BD=12cm，
∴AD=√(AB²-BD²)=√(13²-12²)=5cm。
∵O是圆心，∴OB=R，O在BC的垂直平分线上，即O在直线AD上。
设OD=x，则OA=AD+OD=5+x=R。
在Rt△OBD中，OB²=OD²+BD²，即R²=x²+12²。
∴(5+x)²=x²+144，解得x=119/10。
∴R=5+119/10=169/10=16.9cm。
答：圆片的半径为169/10 cm（或16.9cm）。