1. 如图①是一座横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽为4 m时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m. 如图②,建立平面直角坐标系,则抛物线对应的函数解析式是().
A.$y = -\frac{1}{2}x^2$
B.$y = \frac{1}{2}x^2$
C.$y = -2x^2$
D.$y = 2x^2$

【解析】：本题可根据抛物线的性质，结合已知条件设出抛物线的顶点式，再将已知点代入解析式求出参数的值，进而得到抛物线对应的函数解析式。
步骤一：设抛物线的顶点式
因为抛物线的顶点坐标为$(0,0)$（由图②可知抛物线的顶点在原点），所以设抛物线的顶点式为$y = ax^2$（$a\neq0$）。
步骤二：确定抛物线上一点的坐标
已知当水面宽为$4m$时，拱顶离水面$2m$，结合图②建立的平面直角坐标系可知，此时水面与抛物线的交点坐标为$(2,-2)$和$(-2,-2)$（由于抛物线关于$y$轴对称，所以这两个点都在抛物线上，任取一个点代入解析式即可）。

步骤三：代入点的坐标求$a$的值
把$x = 2$，$y = -2$代入$y = ax^2$中，可得：
$-2=a×2^2$
即$-2 = 4a$，
两边同时除以$4$，解得$a = -\frac{1}{2}$。
步骤四：写出抛物线对应的函数解析式
把$a = -\frac{1}{2}$代入$y = ax^2$中，得到抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x^2$。
综上，答案选A。
【答案】：A

2. 如图,一座抛物线形拱桥,桥高为8 m,拱高为6 m,跨度为20 m. 相邻两支柱间的距离均为5 m,则支柱MN的高度为m.

解：以抛物线形拱桥的对称轴为y轴，抛物线与地面的交点所在直线为x轴，建立直角坐标系。
由题意知，抛物线与x轴交点坐标为(-10,0)，(10,0)，顶点坐标为(0,6)。
设抛物线解析式为$y = ax^2 + c$，将顶点(0,6)代入得$c = 6$，即$y = ax^2 + 6$。
把(10,0)代入$y = ax^2 + 6$，得$0 = a×10^2 + 6$，解得$a = -\frac{3}{50}$，所以抛物线解析式为$y = -\frac{3}{50}x^2 + 6$。
相邻两支柱间距离为5m，跨度20m，支柱MN在对称轴右侧，距离原点5m，即N点横坐标为5。
当$x = 5$时，$y = -\frac{3}{50}×5^2 + 6 = -\frac{3}{50}×25 + 6 = -1.5 + 6 = 4.5$。
桥高8m，支柱MN高度为$8 - 4.5 = 3.5$m。
3.5

3. 如图,有一座拱桥洞呈抛物线形状,这个桥洞的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它的示意图放在如图所示的直角坐标系中,则抛物线对应的函数解析式为______.

【解析】：本题考查了通过设定直角坐标系来解决实际问题中的抛物线解析式。
桥洞的高度为16m，跨度为40m。
所以在坐标系中，抛物线顶点坐标为$(20, 16)$，并且抛物线经过点$(0, 0)$和$(40, 0)$。
设抛物线的方程为：$ y = a(x - 20)^2 + 16 $。
将点$(0, 0)$代入方程：$ 0 = a(0 - 20)^2 + 16 $，
$ 0 = 400a + 16 $，
解得：$ a = -\frac{1}{25} $。
将$a$代入抛物线方程：$ y = -\frac{1}{25}(x - 20)^2 + 16 $，
展开并简化：$ y = -\frac{1}{25}(x^2 - 40x + 400) + 16 $，
$ y = -\frac{1}{25}x^2 + \frac{40}{25}x - 16 + 16 $，
$ y = -\frac{1}{25}x^2 + \frac{8}{5}x $。
【答案】：$ y = -\frac{1}{25}x^2 + \frac{8}{5}x $。

4. 下图是一座抛物线形拱桥的示意图. 当水面宽为12 m时,拱顶离水面4 m.
(1)建立平面直角坐标系,并求出该抛物线.
(2)若水面上升1 m,则水面的宽度将减少多少米？

1. （1）
以拱顶为坐标原点，过拱顶的水平直线为$x$轴，过拱顶的竖直直线为$y$轴建立平面直角坐标系。
设抛物线方程为$y = ax^{2}(a\neq0)$。
已知当水面宽$AB = 12m$时，拱顶离水面$4m$，则$A$点坐标为$(-6,-4)$，$B$点坐标为$(6,-4)$。
把$(6,-4)$代入$y = ax^{2}$中，得$-4=a×6^{2}$，即$36a=-4$，解得$a =-\frac{1}{9}$。
所以抛物线方程为$y =-\frac{1}{9}x^{2}$。
2. （2）
当水面上升$1m$时，$y=-3$。
把$y = - 3$代入$y=-\frac{1}{9}x^{2}$中，得$-3=-\frac{1}{9}x^{2}$。
则$x^{2}=27$，解得$x=\pm3\sqrt{3}$。
此时水面宽度为$2×|x| = 6\sqrt{3}m$。
原来水面宽度为$12m$，则水面宽度减少了$12 - 6\sqrt{3}=(12 - 6\sqrt{3})m$。
综上，（1）抛物线方程为$y =-\frac{1}{9}x^{2}$；（2）水面宽度减少$(12 - 6\sqrt{3})$米。