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11. 某组数据方差的计算公式是 $s^{2}= \frac{1}{8}[(x_{1}-4)^{2}+(x_{2}-4)^{2}+…(x_{a}-4)^{2}]$,则该组数据的总和为
32
.答案
32
解析
方差的计算公式为 $s^{2}= \frac{1}{8}[(x_{1}-4)^{2}+(x_{2}-4)^{2}+\cdots+(x_{8}-4)^{2}]$，其中分母为8，表示数据个数为8，平均值为4。
该组数据的总和为 $8 × 4 = 32$。
该组数据的总和为 $8 × 4 = 32$。
12. 某班有 40 人,数学老师第一次统计这个班的平均成绩为 85 分,在复查时发现漏掉了一名学生的成绩 80 分,那么这个班学生的实际平均成绩应为
87
分.答案
【解析】：第一次统计的总成绩为 $40 × 85 = 3400$ 分，加上漏掉的 80 分，实际总成绩为 $3400 + 80 = 3480$ 分，实际平均成绩为 $3480 ÷ 40 = 87$ 分。
【答案】：87
【答案】：87
13. 如图,五边形 $ABCDE$ 是正五边形,若 $l_{1}// l_{2}$,$\angle 1 = 47^{\circ}$,则$\angle 2 = $
61°
.答案
61°
解析
正五边形内角和为$(5-2)×180^{\circ}=540^{\circ}$，每个内角为$540^{\circ}÷5=108^{\circ}$。过点$B$作$BM// l_{1}$，因为$l_{1}// l_{2}$，所以$BM// l_{2}// l_{1}$。$\angle1=47^{\circ}$，由$BM// l_{1}$得$\angle ABM=\angle1=47^{\circ}$（内错角相等）。$\angle ABC=108^{\circ}$，则$\angle MBC=\angle ABC-\angle ABM=108^{\circ}-47^{\circ}=61^{\circ}$。由$BM// l_{2}$得$\angle2=\angle MBC=61^{\circ}$（内错角相等）。
14. 如图,在$□ ABCD$ 中,过对角线 $BD$ 上一点 $P$ 作 $EF// BC$,$GH// AB$,且 $CG = 2BG$,连接 $AP$,若 $S_{\triangle APH}= 2$,则 $S_{四边形PGCD}= $
8
.答案
8
解析
设BG=x，则CG=2x，BC=3x。因为ABCD是平行四边形，所以AD=BC=3x，GH//AB，故AH=BG=x，HD=AD-AH=2x，即AH:HD=1:2。
由于GH//AB，EF//BC，交点P在BD上，可得△DPH∽△DBA，相似比为DH:DA=2:3，故PH:AB=2:3。设平行四边形AEPH面积为S，因S△APH=2，所以S=4（△APH面积为平行四边形AEPH面积的一半）。
设AH=m，PH=n，平行四边形AEPH面积=AH×高=4，由AH:AD=1:3，结合相似比得高的关系。通过坐标法或面积比例，求得m×高=6。
四边形PGCD面积=S△PGC+S△PCD，其中S△PGC=2，S△PCD=6，故总面积=2+6=8。
由于GH//AB，EF//BC，交点P在BD上，可得△DPH∽△DBA，相似比为DH:DA=2:3，故PH:AB=2:3。设平行四边形AEPH面积为S，因S△APH=2，所以S=4（△APH面积为平行四边形AEPH面积的一半）。
设AH=m，PH=n，平行四边形AEPH面积=AH×高=4，由AH:AD=1:3，结合相似比得高的关系。通过坐标法或面积比例，求得m×高=6。
四边形PGCD面积=S△PGC+S△PCD，其中S△PGC=2，S△PCD=6，故总面积=2+6=8。
15. 现有一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时 $v_{1}$ 千米,下坡时的速度为每小时 $v_{2}$ 千米,则他在这段路上、下坡的平均速度是
$\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$
.答案
$\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$
解析
设上坡路程为$s$千米，则上坡所用时间为$\frac{s}{v_{1}}$小时，下坡所用时间为$\frac{s}{v_{2}}$小时。
总路程为$2s$千米，总时间为$\frac{s}{v_{1}} + \frac{s}{v_{2}}$小时。
根据平均速度的定义，平均速度$=$总路程$÷$总时间，即：
$平均速度 = \frac{2s}{\frac{s}{v_{1}} + \frac{s}{v_{2}}} = \frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$（千米/小时）
总路程为$2s$千米，总时间为$\frac{s}{v_{1}} + \frac{s}{v_{2}}$小时。
根据平均速度的定义，平均速度$=$总路程$÷$总时间，即：
$平均速度 = \frac{2s}{\frac{s}{v_{1}} + \frac{s}{v_{2}}} = \frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$（千米/小时）
16. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle OA_{1}B_{1}$ 是边长为 2 的等边三角形,作$\triangle B_{1}A_{2}B_{2}$ 与$\triangle B_{1}A_{1}O$ 关于点 $B_{1}$ 成中心对称,再作$\triangle B_{2}A_{3}B_{3}与\triangle B_{2}A_{2}B_{1}$ 关于点 $B_{2}$ 成中心对称,继续作$\triangle B_{3}A_{4}B_{4}$ 与$\triangle B_{3}A_{3}B_{2}$ 关于点 $B_{3}$ 成中心对称,……按此规律作下去,则$\triangle B_{2021}A_{2022}B_{2022}$ 的顶点 $A_{2022}$ 的坐标是______
(4043,√3)
.答案
(4043,√3)
解析
1. 确定初始三角形顶点坐标：
△OA₁B₁是边长为2的等边三角形，O(0,0)，B₁(2,0)，A₁(1,-√3)。
2. 中心对称求后续点坐标：
关于B₁对称得△B₁A₂B₂：B₂=2B₁-O=(4,0)，A₂=2B₁-A₁=(3,√3)；
关于B₂对称得△B₂A₃B₃：B₃=2B₂-B₁=(6,0)，A₃=2B₂-A₂=(5,-√3)；
关于B₃对称得△B₃A₄B₄：B₄=2B₃-B₂=(8,0)，A₄=2B₃-A₃=(7,√3)。
3. 归纳Aₙ坐标规律：
横坐标：1,3,5,7,...，为等差数列，第n项为2n-1；
纵坐标：-√3,√3,-√3,√3,...，奇数项为-√3，偶数项为√3，即(-1)ⁿ√3。
4. 求A₂₀₂₂坐标：
横坐标：2×2022-1=4043；
纵坐标：(-1)²⁰²²√3=√3。
17. (本题 8 分)
因式分解.
(1) $a^{2}(b + 1)-4(b + 1)$;
(2) $x^{2}(x - y)+y^{2}(y - x)$.
因式分解.
(1) $a^{2}(b + 1)-4(b + 1)$;
(2) $x^{2}(x - y)+y^{2}(y - x)$.
答案
(1)
$\begin{aligned}a^{2}(b + 1)-4(b + 1) &= (b + 1)(a^{2}-4) \\&= (b + 1)(a + 2)(a - 2)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}x^{2}(x - y)+y^{2}(y - x) &=x^{2}(x - y)-y^{2}(x - y) \\&=(x - y)(x^{2}-y^{2}) \\&=(x - y)(x + y)(x - y) \\&=(x - y)^{2}(x + y)\end{aligned}$
$\begin{aligned}a^{2}(b + 1)-4(b + 1) &= (b + 1)(a^{2}-4) \\&= (b + 1)(a + 2)(a - 2)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}x^{2}(x - y)+y^{2}(y - x) &=x^{2}(x - y)-y^{2}(x - y) \\&=(x - y)(x^{2}-y^{2}) \\&=(x - y)(x + y)(x - y) \\&=(x - y)^{2}(x + y)\end{aligned}$
