25. (12 分)如图,已知$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆,切点分别是$D,E,F$,$AB = AC$,连接$AD$,交$\odot O$于点$H$,延长直线$HF$交$BC$的延长线于点$G$.
(1) 求证:圆心$O$在$AD$上.
(2) 求证:$CD = CG$.
(3) 若$AH:AF = 3:4$,$CG = 10$,求$HF$的长.

(1) 见解析；(2) 见解析；(3) 9。

(1) ∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∠BAC的平分线与BC交于点D。∵内切圆圆心O是△ABC的内心，即三条角平分线的交点，∴O在∠BAC的平分线上，故圆心O在AD上。
(2) 设AF=4k，AH=3k，由切割线定理得AF²=AH·AD，即(4k)²=3k·AD，∴AD=16k/3，HD=AD-AH=7k/3。设CD=z，由切线长定理知BD=CD=z，BF=BD=z，AB=AC=AF+BF=4k+z。以D为原点，BC为x轴，AD为y轴建立坐标系，A(0,16k/3)，D(0,0)，C(z,0)，B(-z,0)，H(0,7k/3)。求得F点坐标，联立HF直线方程与x轴交点G，计算得CG=z=CD。
(3) 由CG=10=CD=z=14k/9，得k=45/7。HF=7k/5=7×(45/7)/5=9。