18. (6 分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 6$,$AB = 10$,$D$为$BC$边的中点,以$AD$上一点$O$为圆心作$\odot O$和$AB,BC$均相切,求$\odot O$的半径.

$\frac{12}{7}$

解：
1. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=6$，$AB=10$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
2. $D$为$BC$中点，故$BD=DC=4$。
3. 以$C$为原点，$BC$为$x$轴，$AC$为$y$轴建立坐标系，则$C(0,0)$，$B(8,0)$，$A(0,6)$，$D(4,0)$。
4. 直线$AD$的解析式：设$y=kx+b$，将$A(0,6)$，$D(4,0)$代入得$b=6$，$k=-\frac{3}{2}$，故$AD:y=-\frac{3}{2}x+6$。
5. 设圆心$O(t,-\frac{3}{2}t+6)$（$0\leq t\leq4$），半径为$r$。
6. $\odot O$与$BC$相切，$BC$为$x$轴，故$r=-\frac{3}{2}t+6$（圆心纵坐标）。
7. 直线$AB$的解析式：设$y=mx+n$，将$A(0,6)$，$B(8,0)$代入得$n=6$，$m=-\frac{3}{4}$，故$AB:3x+4y-24=0$。
8. $\odot O$与$AB$相切，圆心$O(t,-\frac{3}{2}t+6)$到$AB$的距离为$r$，由点到直线距离公式得：
$\frac{|3t+4(-\frac{3}{2}t+6)-24|}{\sqrt{3^2+4^2}}=r$，化简得$\frac{3t}{5}=r$。
9. 联立$r=-\frac{3}{2}t+6$与$r=\frac{3t}{5}$，解得$t=\frac{20}{7}$，$r=\frac{12}{7}$。

19. (8 分)如图,已知在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,$OC$与$AD$相交于点$E$.
求证:
(1) $AD// BC$;
(2) 四边形$BCDE$为菱形.

(1) 连接AC.
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\angle BCA=\angle CAD$（等弧所对的圆周角相等）.
∵$\angle BCA$与$\angle CAD$是AD，BC被AC所截形成的内错角，
∴$AD// BC$.
(2) ∵$AD// BC$，E在AD上，∴$DE// BC$.
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，∴$BC=CD$（等弧对等弦）.
设$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\alpha$，则圆心角$\angle COD=\alpha$.
∵$OC=OD$，∴$\triangle OCD$为等腰三角形，$\angle DCE=\frac{180°-\alpha}{2}=90°-\frac{\alpha}{2}$.
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\alpha$，∴$\overset{\frown}{AD}=3\alpha$，圆心角$\angle AOD=3\alpha$.
∵$OA=OD$，∴$\triangle AOD$为等腰三角形，$\angle ODA=\frac{180°-3\alpha}{2}=90°-\frac{3\alpha}{2}$.
在$\triangle OED$中，$\angle OED=180°-\angle EOD-\angle ODE=180°-\alpha-(90°-\frac{3\alpha}{2})=90°+\frac{\alpha}{2}$.
∴$\angle DEC=180°-\angle OED=180°-(90°+\frac{\alpha}{2})=90°-\frac{\alpha}{2}$，
∴$\angle DCE=\angle DEC$，∴$DE=CD$.
∵$CD=BC$，∴$DE=BC$.
∵$DE// BC$且$DE=BC$，∴四边形$BCDE$是平行四边形.
又∵$BC=CD$，∴平行四边形$BCDE$是菱形.