19. (8 分)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 6,点 F 是正方形内一点,连接 CF,DF,且$\angle ADF = \angle DCF$,点 E 是 AD 边上一动点,连接 EB,EF,求$EB + EF$长度的最小值.

解：
1. 建立坐标系与点F轨迹分析
设正方形ABCD中，$A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(6,6)$，$D(0,6)$，则$AD$边为$x=0$（$0\leq y\leq6$）。设$F(x,y)$，由$\angle ADF=\angle DCF=\theta$，利用正切函数定义可得：
$\tan\theta=\frac{x}{6-y}=\frac{6-y}{6-x}$，化简得$(x-3)^2+(y-6)^2=9$。
故点$F$在以$CD$中点$O'(3,6)$为圆心，半径$r=3$的圆上。
2. 转化为距离和最小值问题
求$EB+EF$最小值，即求$E$在$AD$上、$F$在圆上时$EB+EF$的最小值。因$EF\geq|EO'|-r$（$O'$为圆心），故$EB+EF\geq EB+|EO'|-r$。只需最小化$EB+|EO'|$，再减$r=3$。
3. 利用轴对称求最小值
$E$在$AD$（$x=0$）上，设$E(0,t)$。作$B(6,0)$关于$AD$的对称点$B'(-6,0)$，则$EB=EB'$。$EB+|EO'|=EB'+EO'\geq B'O'$（当$E$为$B'O'$与$AD$交点时取等）。
4. 计算最小值
$B'(-6,0)$，$O'(3,6)$，$B'O'=\sqrt{(3+6)^2+(6-0)^2}=\sqrt{81+36}=3\sqrt{13}$。
故$EB+EF$最小值为$3\sqrt{13}-3$。
结论：
$EB + EF$长度的最小值为$\boxed{3\sqrt{13}-3}$。

20. (8 分)冰壶被大家喻为冰上的“国际象棋”,起源于苏格兰,1838 年出现了正式的比赛规则.北京冬奥会前,某中学对 1 000 名学生就“冰壶比赛规则”的了解程度进行了抽样调查(参与调查的同学只能选择其中一项),并将调查结果绘制成以下不完整的统计图表,请根据统计图表回答下列问题.


(1) $a = $, $b = $, $m = $, $n = $;
(2) 补全条形统计图;

(3) 估计该校 1 000 名学生中“基本了解”的人数约为 ;
(4) 若“很了解”的 4 名学生是三男一女,现从这 4 人中随机抽取 2 人去参加北京市举办的“冰壶比赛规则”知识竞赛,请用画树状图或列表的方法说明,抽到 2 名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同.
设三男分别为男1，男2，男3，一女为女，列表如下：
| | 男1 | 男2 | 男3 | 女 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 男1 | - | （男1，男2） | （男1，男3） | （男1，女） |
| 男2 | （男2，男1） | - | （男2，男3） | （男2，女） |
| 男3 | （男3，男1） | （男3，男2） | - | （男3，女） |
| 女 | （女，男1） | （女，男2） | （女，男3） | - |
共有12种等可能结果，其中抽到2名学生均为男生有6种，抽到一男一女有6种，所以P(抽到2名学生均为男生)=P(抽到一男一女)=6/12=1/2，概率相同。

（1）
$a=10÷\frac{10 + 16+4中（10对应的比例（由了解很少的频数与频率可得）}{} = 10÷\frac{10}{10 + 16+4}对应的比例计算（了解很少频率0.32，其频数16，所以总数a = 16÷0.32 = 50$；
$b=50-(10 + 16+4)=20$；
$m = 10÷50 = 0.2$；
$n = 4÷50 = 0.08$；
故答案为：$50$；$20$；$0.2$；$0.08$。
（2）
补全条形统计图：基本了解对应的条形高度为$20$（在基本了解对应的位置画高度为$20$的条形）。
（3）
$1000×\frac{20}{50}=400$（人），
故答案为：$400$人。
（4）
设三男分别为男$1$，男$2$，男$3$，一女为女，列表如下：
| | 男$1$ | 男$2$ | 男$3$ | 女 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 男$1$ | - | （男$1$，男$2$） | （男$1$，男$3$） | （男$1$，女） |
| 男$2$ | （男$2$，男$1$） | - | （男$2$，男$3$） | （男$2$，女） |
| 男$3$ | （男$3$，男$1$） | （男$3$，男$2$） | - | （男$3$，女） |
| 女 | （女，男$1$） | （女，男$2$） | （女，男$3$） | - |
共有$12$种等可能结果，其中抽到$2$名学生均为男生有$6$种，抽到一男一女有$6$种，所以$P(抽到2名学生均为男生)=P(抽到一男一女)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，概率相同。