25. (12分)如图1,抛物线$y = ax^{2}-2ax - 3a(a\neq0)$与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,连接AC,BC.已知$\triangle ABC$的面积为2.
(1)求抛物线的表达式.
(2)平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P,Q两点.过P,Q向x轴作垂线,垂足分别为点G,H.若四边形PGHQ为正方形,求正方形的边长.
(3)如图2,平行于y轴的直线交抛物线于点M,交x轴于点$N(2,0)$,点D是抛物线上A,M之间的一动点,且点D不与点A,M重合,连接DB,交MN于点E,连接AD并延长,交MN于点F.在点D的运动过程中,$3NE + NF$是否为定值? 若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.

(1) 令 $ y = 0 $，则 $ ax^2 - 2ax - 3a = 0 $，$ a \neq 0 $，解得 $ x_1 = -1 $，$ x_2 = 3 $，故 $ A(-1, 0) $，$ B(3, 0) $，$ AB = 4 $。令 $ x = 0 $，得 $ y = -3a $，则 $ C(0, -3a) $。$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AB × |y_C| = \frac{1}{2} × 4 × |-3a| = 6|a| = 2 $，解得 $ |a| = \frac{1}{3} $。由图1知抛物线开口向下，$ a ＜ 0 $，且 $ C $ 在 $ y $ 轴正半轴，$ -3a ＞ 0 $，故 $ a = -\frac{1}{3} $。抛物线表达式为 $ y = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + 1 $。
(2) 设直线 $ y = k $ 与抛物线交于 $ P(x_1, k) $，$ Q(x_2, k) $，$ x_1 ＜ x_2 $。联立 $ k = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + 1 $，整理得 $ x^2 - 2x + 3(k - 1) = 0 $。则 $ x_1 + x_2 = 2 $，$ x_1x_2 = 3(k - 1) $，$ GH = x_2 - x_1 = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{16 - 12k} $。四边形 $ PGHQ $ 为正方形，$ |k| = GH $，$ k ＞ 0 $ 时，$ k = \sqrt{16 - 12k} $，平方得 $ k^2 + 12k - 16 = 0 $，解得 $ k = -6 + 2\sqrt{13} $（负值舍去）。故正方形边长为 $ 2\sqrt{13} - 6 $。
(3) 直线 $ MN $ 为 $ x = 2 $，代入抛物线得 $ M(2, 1) $。设 $ D(t, -\frac{1}{3}t^2 + \frac{2}{3}t + 1) $，$ -1 ＜ t ＜ 2 $。
直线 $ DB $：$ y = \frac{y_D}{t - 3}(x - 3) $，令 $ x = 2 $，得 $ E(2, \frac{y_D}{3 - t}) $，$ NE = \frac{y_D}{3 - t} $。
直线 $ AD $：$ y = \frac{y_D}{t + 1}(x + 1) $，令 $ x = 2 $，得 $ F(2, \frac{3y_D}{t + 1}) $，$ NF = \frac{3y_D}{t + 1} $。
$ 3NE + NF = 3 \cdot \frac{y_D}{3 - t} + \frac{3y_D}{t + 1} = 3y_D \cdot \frac{4}{(3 - t)(t + 1)} $。
又 $ y_D = \frac{(3 - t)(t + 1)}{3} $，代入得 $ 3NE + NF = 4 $，为定值。
(1) $ y = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + 1 $
(2) $ 2\sqrt{13} - 6 $
(3) 是定值，$ 4 $