24. (12分)如图,抛物线$y_{1} = ax^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴交于点$C$,$OC = OA$,$AB = 4$,对称轴为直线$l_{1}:x = - 1$,将抛物线$y_{1}$绕点$O$旋转$180^{\circ}$后得到新抛物线$y_{2}$,抛物线$y_{2}$与$y$轴交于点$D$,顶点为$E$,对称轴为直线$l_{2}$.
(1) 分别求抛物线$y_{1}$和$y_{2}$的表达式;
(2) 如图1,点$F$的坐标为$(- 6,0)$,动点$M$在直线$l_{1}$上,过点$M$作$MN // x$轴与直线$l_{2}$交于点$N$,连接$FM,DN$.求$FM + MN + DN$的最小值;
(3) 如图2,点$H$的坐标为$(0,- 2)$,动点$P$在抛物线$y_{2}$上,试探究是否存在点$P$,使$\angle PEH = 2\angle DHE$?若存在,请直接写出所有符合条件的点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

(1) $y_1=x^2+2x-3$，$y_2=-x^2+2x+3$；
(2) $7$；
(3) $(7,-32)$，$\left(-\dfrac{91}{107},\dfrac{6592}{11449}\right)$。

(1) 设点$A(m,0)$，$B(n,0)$，$m ＜ n$。
∵对称轴为$x=-1$，
∴$\frac{m+n}{2}=-1$，即$m+n=-2$。
∵$AB=4$，
∴$n-m=4$。
解得$m=-3$，$n=1$，
∴$A(-3,0)$，$B(1,0)$。
∵$OC=OA=3$，
∴$C(0,3)$或$C(0,-3)$。
若$C(0,-3)$，抛物线开口向上，绕$O$旋转后与题意矛盾，故$C(0,3)$。
设$y_1=a(x+3)(x-1)$，代入$C(0,3)$得$3=a(3)(-1)$，解得$a=-1$。
∴$y_1=-x^2-2x+3$。
$y_1$顶点为$(-1,4)$，绕$O$旋转$180°$后，$y_2$顶点为$(1,-4)$，开口向上。
设$y_2=(x-1)^2-4$，即$y_2=x^2-2x-3$。
(2) $l_1:x=-1$，$l_2:x=1$，$D(0,3)$，$F(-6,0)$。
设$M(-1,t)$，则$N(1,t)$。
$FM=\sqrt{(-6+1)^2+(0-t)^2}=\sqrt{t^2+25}$，$DN=\sqrt{(1-0)^2+(t-3)^2}=\sqrt{t^2-6t+10}$，$MN=2$。
作$F'(-6,-t)$关于$y=t$对称，连接$F'N$，则$FM=F'N$。
$FM+DN=F'N+DN\geq F'D$（当$F',N,D$共线时取等）。
$F'(-6,-t)$，$D(0,3)$，直线$F'D$：$y=\frac{3+t}{6}x+3$。
$N(1,t)$在直线上：$t=\frac{3+t}{6}\cdot1+3$，解得$t=3$。
∴$FM+MN+DN$最小值为$\sqrt{3^2+25}+\sqrt{3^2-6\cdot3+10}+2=5+1+2=8$。
(3) $H(0,-2)$，$E(1,-4)$，$D(0,3)$。
$\tan\angle DHE=\frac{1}{2}$，设$\angle DHE=\alpha$，则$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{4}{3}$。
设$P(x,x^2-2x-3)$，分两种情况：
① 当$P$在直线$EH$上方时，$k_{PE}=\frac{4}{3}$，直线$PE:y+4=\frac{4}{3}(x-1)$。
联立$y=x^2-2x-3$得$x^2-2x-3+4=\frac{4}{3}(x-1)$，解得$x=\frac{1}{3}$或$x=1$（舍），$P(\frac{1}{3},-\frac{32}{9})$。
② 当$P$在直线$EH$下方时，$k_{PE}=-\frac{4}{3}$，直线$PE:y+4=-\frac{4}{3}(x-1)$。
联立得$x^2-2x-3+4=-\frac{4}{3}(x-1)$，解得$x=-\frac{1}{3}$或$x=1$（舍），$P(-\frac{1}{3},-\frac{20}{9})$。
(1)$y_1=-x^2-2x+3$，$y_2=x^2-2x-3$；
(2)$8$；
(3)$(\frac{1}{3},-\frac{32}{9})$，$(-\frac{1}{3},-\frac{20}{9})$。