10.【数学文化】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一个。如图,这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是 1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了 $(a + b)^{n}$($n$ 为正整数)的展开式(按 $a$ 的次数由大到小的顺序排列)中各项的系数规律。例如,在三角形中第三行的三个数 1,2,1,恰好对应着 $(a + b)^{2}$ 的展开式中各项的系数；第四行的四个数 1,3,3,1,恰好对应着 $(a + b)^{3}$ 的展开式中各项的系数。
(1)根据上面的规律,写出 $(a + b)^{5}$ 的展开式；
(2)利用(1)的规律计算：$2^{5} - 5×2^{4} + 10×2^{3} - 10×2^{2} + 5×2 - 1$。
]

解:
(1)(a+b)⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵。
(2)2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1=(2-1)⁵=1。

1. 是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略。

归纳

2. 在运用归纳策略寻找规律时,要先在若干情形中寻找相应的。初步发现规律后,可以通过更多的情形,再考虑一般情况。最后,试着给出合理的解释,并用简洁地表达规律。

简单 规律 验证 数学语言

1. 一组按规律排列的多项式：$a + b$,$a^{2} - b^{3}$,$a^{3} + b^{5}$,$a^{4} - b^{7}$,…,其中第 10 个式子是()。
A.$a^{10} + b^{19}$
B.$a^{10} - b^{19}$
C.$a^{10} - b^{17}$
D.$a^{10} - b^{21}$

B

观察多项式规律：
第1个式子：$a^1 + b^{2×1 - 1} = a + b$
第2个式子：$a^2 - b^{2×2 - 1} = a^2 - b^3$
第3个式子：$a^3 + b^{2×3 - 1} = a^3 + b^5$
第4个式子：$a^4 - b^{2×4 - 1} = a^4 - b^7$
规律总结：
$a$的次数等于式子序号$n$，即$a^n$；
符号：奇数项为“$+$”，偶数项为“$-$”；
$b$的次数为$2n - 1$。
第10个式子（$n=10$）：
$a$的次数：$10$，即$a^{10}$；
符号：偶数项为“$-$”；
$b$的次数：$2×10 - 1 = 19$，即$b^{19}$。
综上，第10个式子是$a^{10} - b^{19}$。
B

2. 四个小朋友站成一排,老师按图中的规则数数,数到 107 时对应的小朋友可得一朵红花,那么得红花的小朋友是( )。

A.小沈
B.小叶
C.小李
D.小王

C

观察数数规则，从1开始，按“小沈→小叶→小李→小王→小李→小叶→小沈→小叶→小李→小王→小李→小叶→小沈…”循环，周期为6：（小沈，小叶，小李，小王，小李，小叶）。
107÷6=17……5，余数为5。
周期内第5个对应小李。
C