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3. 如图,在方格纸中,点 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $,$ E $,$ F $,$ G $ 均在格点上,则 $ \triangle ABC $ 的重心是(
$ A $. 点 $ G $ $ B $. 点 $ D $ $ C $. 点 $ E $ $ D $. 点 $ F $
B
)$ A $. 点 $ G $ $ B $. 点 $ D $ $ C $. 点 $ E $ $ D $. 点 $ F $
答案
B
解析
在方格纸中，分别作出△ABC的两条中线。取AC中点，连接该中点与B；取BC中点，连接该中点与A。两条中线的交点为点D，故△ABC的重心是点D。
4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,如果过点 $ B $ 作 $ PB \perp BC $ 交边 $ AC $ 于点 $ P $,过点 $ C $ 作 $ CQ \perp AB $ 交 $ AB $ 的延长线于点 $ Q $,那么图中线段
CQ
是 $ \triangle ABC $ 的一条高.答案
$CQ$
解析
三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。在本题中，过点$B$作$PB\perp BC$交边$AC$于点$P$，不满足高的定义；过点$C$作$CQ\perp AB$交$AB$的延长线于点$Q$，$CQ$是从$\triangle ABC$的顶点$C$向$AB$的延长线所作的垂线，所以$CQ$是$\triangle ABC$的一条高。
5. 如图,$ AE $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线,点 $ D $ 在边 $ AB $ 上,$ AD = 2 BD $,$ CD $ 与 $ AE $ 交于点 $ F $,设 $ \triangle ADF $ 的面积为 $ S _ { 1 } $,$ \triangle CEF $ 的面积为 $ S _ { 2 } $,若 $ S _ { \triangle ABC } = 9 $,则 $ S _ { 1 } - S _ { 2 } = $(
$ A $. $ \frac { 1 } { 2 } $ $ B $. $ 1 $
$ C $. $ \frac { 3 } { 2 } $ $ D $. $ 2 $
C
)$ A $. $ \frac { 1 } { 2 } $ $ B $. $ 1 $
$ C $. $ \frac { 3 } { 2 } $ $ D $. $ 2 $
答案
C
解析
∵AE是△ABC中线，S△ABC=9，
∴S△ABE=S△AEC=4.5（中线分三角形面积为相等两部分）。
∵AD=2BD，
∴AD:DB=2:1，
∴S△ADC=2/3 S△ABC=6，S△BDC=1/3 S△ABC=3（等高三角形面积比等于底之比）。
设S△CEF=S₂，
∵BE=EC，△BFE与△CFE等底等高，
∴S△BFE=S₂，故S△BFC=2S₂。
∵S△BDC=S△DFB+S△BFC=3，
∴S△DFB=3-2S₂。
△ABE面积=S△ADF+S△DFB+S△BFE，即4.5=S₁+(3-2S₂)+S₂，
化简得S₁ - S₂=4.5-3=1.5=3/2。
6. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle 1 = \angle 2 $,$ G $ 是 $ AD $ 的中点,延长 $ BG $ 交 $ AC $ 于点 $ E $,$ F $ 为 $ AB $ 上一点,$ CF \perp AD $ 交 $ AD $ 于点 $ H $.①$ AD $ 是 $ \triangle ABE $ 的角平分线；②$ BE $ 是 $ \triangle ABD $ 的边 $ AD $ 上的中线；③$ CH $ 为 $ \triangle ACD $ 的边 $ AD $ 上的高；④$ AH $ 是 $ \triangle ACF $ 的角平分线和高线. 上述说法正确的有
③④
.(填序号)答案
③④
解析
①AD是∠BAC的角平分线，但△ABE中∠BAE的角平分线应为线段AG（G在BE上），AD超出△ABE范围，故①错误；②△ABD边AD上的中线是BG（G为AD中点），BE是直线并非线段，故②错误；③CF⊥AD于H，CH是△ACD中AD边上的高，故③正确；④AH平分∠CAF（∠1=∠2）且AH⊥CF，故AH是△ACF的角平分线和高线，④正确。
7. 请仅用无刻度的直尺完成下列画图(不写画法,保留画图痕迹).
(1)如图 1,在 $ \triangle ABC $ 中,$ E $,$ F $ 分别为 $ AB $,$ BC $ 的中点,请在图 1 中画出 $ AC $ 的中点 $ M $；
(2)如图 2,在四边形 $ ABCD $ 中,$ E $,$ F $,$ G $ 分别为 $ AB $,$ BC $,$ AD $ 的中点,请在图 2 中画出 $ CD $ 的中点 $ N $.
(1)如图 1,在 $ \triangle ABC $ 中,$ E $,$ F $ 分别为 $ AB $,$ BC $ 的中点,请在图 1 中画出 $ AC $ 的中点 $ M $；
(2)如图 2,在四边形 $ ABCD $ 中,$ E $,$ F $,$ G $ 分别为 $ AB $,$ BC $,$ AD $ 的中点,请在图 2 中画出 $ CD $ 的中点 $ N $.
答案
(1) 图1中，连接EF，过点F作直线平行于AB，交AC于点M，点M即为AC的中点。（画图痕迹：连接EF，过F作平行AB的直线交AC于M）
(2) 图2中，连接EG，过点F作直线平行于EG，交CD于点N，点N即为CD的中点。（画图痕迹：连接EG，过F作平行EG的直线交CD于N）
8. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD \perp BC $,$ CE \perp AB $,垂足分别为点 $ D $ 和点 $ E $,$ AD $ 与 $ CE $ 交于点 $ O $,连接 $ BO $ 并延长交 $ AC $ 于点 $ F $,若 $ AB = 5 $,$ BC = 4 $,$ AC = 6 $,则 $ CE : AD : BF $ 的值为
12:15:10
.答案
12:15:10
解析
设△ABC的面积为S。
∵AD⊥BC，CE⊥AB，BF⊥AC（三角形三条高交于垂心O，故BF为AC边上的高），
∴S=1/2·BC·AD=1/2·AB·CE=1/2·AC·BF，
∴AD=2S/BC，CE=2S/AB，BF=2S/AC，
∴CE:AD:BF=(2S/AB):(2S/BC):(2S/AC)=1/AB:1/BC:1/AC。
∵AB=5，BC=4，AC=6，
∴CE:AD:BF=1/5:1/4:1/6=12:15:10（通分后各项乘以60）。
∵AD⊥BC，CE⊥AB，BF⊥AC（三角形三条高交于垂心O，故BF为AC边上的高），
∴S=1/2·BC·AD=1/2·AB·CE=1/2·AC·BF，
∴AD=2S/BC，CE=2S/AB，BF=2S/AC，
∴CE:AD:BF=(2S/AB):(2S/BC):(2S/AC)=1/AB:1/BC:1/AC。
∵AB=5，BC=4，AC=6，
∴CE:AD:BF=1/5:1/4:1/6=12:15:10（通分后各项乘以60）。
