【典型例题1】如图,点A,D,C在同一条直线上,AB//CE,AC= CE,∠ACB= ∠E。求证AB= CD。

【证明】∵AB//CE,
∴∠A= ∠ECD。
在△ABC与△CDE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠A= ∠ECD,\\ AC= CE,\\ ∠ACB= ∠E,\end{array} \right.$
∴△ABC≌△CDE(ASA)。∴AB= CD。
规律方法 用“ASA”来判定两个三角形全等时,一定要找准这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等。

证明：
∵AB//CE，
∴∠A=∠ECD。
在△ABC与△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠ECD,\\ AC=CE,\\ ∠ACB=∠E,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△CDE(ASA)。
∴AB=CD。

1. 如图,AD,BE是△ABC的高线,AD与BE相交于点F。若AD= BD= 4,且△ACD的面积为6,则AF的长度为()

A.4
B.3
C.2
D.1

D

∵AD是△ABC的高线，∴∠ADC=90°，AD⊥BC。
∵△ACD的面积为6，AD=4，
∴由S△ACD=1/2×CD×AD=6，得1/2×CD×4=6，解得CD=3。
∵AD，BE是高线，∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BEC=90°。
∵∠EBC+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠EBC=∠DAC（同角的余角相等）。
在△BDF和△ADC中：
∠DBF=∠DAC（已证），
BD=AD=4（已知），
∠BDF=∠ADC=90°（已证），
∴△BDF≌△ADC（ASA）。
∴FD=DC=3（全等三角形对应边相等）。
∵AD=4，∴AF=AD-FD=4-3=1。

【典型例题2】如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,AB= DC,∠1= ∠2。求证AC= BD。
【证明】在△AOB和△DOC中,

$\left\{\begin{array}{l} ∠1= ∠2,\\ ∠AOB= ∠DOC,\\ AB= DC,\end{array} \right.$
∴△AOB≌△DOC(AAS),
∴OA= OD,OB= OC,
∴OA+OC= OD+OB,即AC= BD。
规律方法 “ASA”与“AAS”可互相转化：只要两个三角形的两组角分别相等,则其第三组角也相等,所以两角及一边分别相等的两个三角形一定全等。无论这一边是“对边”还是“夹边”,只要对应相等即可判定两个三角形全等。

证明：在△AOB和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠1=∠2, \\ ∠AOB=∠DOC, \\ AB=DC, \end{array} \right.$
∴△AOB≌△DOC(AAS)，
∴OA=OD，OB=OC，
∴OA+OC=OD+OB，即AC=BD。

证明：在△AOB和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠1=∠2,\\ ∠AOB=∠DOC,\\ AB=DC,\end{array}\right.$
∴△AOB≌△DOC(AAS)，
∴OA=OD，OB=OC，
∴OA+OC=OD+OB，即AC=BD。

2. (2024·江苏镇江中考改编)如图,∠C= ∠D= 90°,∠CBA= ∠DAB。

(1)求证△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB= 70°,求∠CAB的度数。

答题卡：
(1)
在$\triangle ABC$与$\triangle BAD$中，
$\left\{\begin{matrix}\angle C=\angle D,\\\angle CBA=\angle DAB,\\AB=BA.\end{matrix}\right.$
根据$AAS$判定定理，$\triangle ABC\cong\triangle BAD$。
(2)
由(1)知$\triangle ABC\cong\triangle BAD$，
所以$\angle CAB=\angle DBA$，
因为$\angle DAB = 70^\circ$，
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle DBA=90^\circ-\angle DAB = 20^\circ$，
所以$\angle CAB = 20^\circ$。
综上：$\angle CAB$的度数为$20^\circ$。