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8. 如图是一个按某种规律排列的数阵.若用有序实数对$(m,n)$表示第$m$行,从左到右第$n$个数,如$(4,3)$表示实数3,则$(8,5)$表示的实数是 (
A.$\sqrt{31}$
B.$\sqrt{33}$
C.$\sqrt{34}$
D.$\sqrt{42}$
B
)A.$\sqrt{31}$
B.$\sqrt{33}$
C.$\sqrt{34}$
D.$\sqrt{42}$
答案
8.B 【点拨】由表格可知每行数的个数与行数相同,被开方数为正整数且按顺序排列,所以第8行第1个数为$\sqrt{1+2+3+4+5+6+7+1}=\sqrt{29}$,所以第8行第5个数为$\sqrt{29+4}=\sqrt{33}$,所以$(8,5)$表示的实数是$\sqrt{33}$.
解析
【分析】
解题时先观察数阵的排列规律：首先看每行数字的个数，第1行1个，第2行2个，可得第m行有m个数字；再看数字的特征，所有数都可以写成算术平方根的形式，被开方数是从1开始依次递增的连续正整数。要找$(8,5)$对应的数，先计算前7行总共有多少个数字，就能得到第7行最后一个数的被开方数，进而推出第8行第5个数的被开方数，即可得到结果。
【解析】
第一步：总结数阵规律：
① 第$m$行的数字个数等于行数$m$；
② 数阵中所有数字均为正整数的算术平方根，被开方数按$1,2,3,\dots$的顺序连续排列，即按数阵顺序的第$k$个数为$\sqrt{k}$。
第二步：计算前7行的总数字个数：
前7行数字总数为$1+2+3+4+5+6+7=\frac{(1+7)×7}{2}=28$，说明第7行最后一个数是第28个数，即$\sqrt{28}$。
第三步：推导$(8,5)$对应的数：
第8行的第1个数是第$28+1=29$个数，即$\sqrt{29}$，那么第8行第5个数是第$28+5=33$个数，对应的实数为$\sqrt{33}$。
【答案】
B
【知识点】
数字规律探究，确定位置，算术平方根
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先明确数阵的两个排列规律：每行的数字个数规律、被开方数的排列顺序，再通过求和计算前若干行的总数量，定位目标位置对应的数，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.7
解题时先观察数阵的排列规律：首先看每行数字的个数，第1行1个，第2行2个，可得第m行有m个数字；再看数字的特征，所有数都可以写成算术平方根的形式，被开方数是从1开始依次递增的连续正整数。要找$(8,5)$对应的数，先计算前7行总共有多少个数字，就能得到第7行最后一个数的被开方数，进而推出第8行第5个数的被开方数，即可得到结果。
【解析】
第一步：总结数阵规律：
① 第$m$行的数字个数等于行数$m$；
② 数阵中所有数字均为正整数的算术平方根，被开方数按$1,2,3,\dots$的顺序连续排列，即按数阵顺序的第$k$个数为$\sqrt{k}$。
第二步：计算前7行的总数字个数：
前7行数字总数为$1+2+3+4+5+6+7=\frac{(1+7)×7}{2}=28$，说明第7行最后一个数是第28个数，即$\sqrt{28}$。
第三步：推导$(8,5)$对应的数：
第8行的第1个数是第$28+1=29$个数，即$\sqrt{29}$，那么第8行第5个数是第$28+5=33$个数，对应的实数为$\sqrt{33}$。
【答案】
B
【知识点】
数字规律探究，确定位置，算术平方根
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先明确数阵的两个排列规律：每行的数字个数规律、被开方数的排列顺序，再通过求和计算前若干行的总数量，定位目标位置对应的数，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.7
9. 七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用$(m,n)$表示第$m$行第$n$列的座位，新学期准备调整座位.设某学生原来的座位为$(m,n)$，调整后的座位为$(i,j)$，记$a=m-i$，$b=n-j$，则称该生作了平移$[a,b]=[m-i,n-j]$，并称$a+b$为该生的位置数.某生的位置数为8，当$m+n$取最小值时，则$mn$的最大值为（
A.25
B.30
C.36
D.48
A
）A.25
B.30
C.36
D.48
答案
9.A 【点拨】因为$[a,b]=[m-i,n-j]$,所以$a+b=m-i+n-j=m+n-(i+j)$.又因为$a+b=8$,所以$m+n-(i+j)=8$,即$m+n=i+j+8$.因为$1≤ i≤6,1≤ j≤8$,且$i,j$都是整数,所以$m+n$的最小值为10.因为$1≤ m≤6$,$1≤ n≤8$,且$m,n$都是整数,所以当$m=2,n=8$时,$mn=16$;当$m=3,n=7$时,$mn=21$;当$m=4,n=6$时,$mn=24$;当$m=5,n=5$时,$mn=25$;当$m=6,n=4$时,$mn=24$,所以$mn$的最大值为25,故选A.
解析
【分析】
首先理解题目给出的平移、位置数的新定义，推导位置数与$m+n$的数量关系。已知位置数为8，可得到$m+n$和$i+j$的等量关系，要让$m+n$取最小值，就要先求出$i+j$的最小值，$i、j$是调整后座位的行列数，有明确的取值范围，据此可算出$m+n$的最小值。接下来在$m+n$为固定最小值，且$m、n$符合座位行列取值范围的条件下，依据“两个数和固定时，两数越接近乘积越大”的规律，结合取值范围枚举验证，就能求出$mn$的最大值。
【解析】
根据题意，位置数$a+b=(m-i)+(n-j)=m+n-(i+j)$，已知$a+b=8$，因此可得：
$m+n-(i+j)=8$，即$m+n=i+j+8$。
因为调整后的座位$(i,j)$满足$1≤ i≤6$，$1≤ j≤8$，且$i、j$均为正整数，所以$i+j$的最小值为$1+1=2$，代入得$m+n$的最小值为$2+8=10$。
此时$m+n=10$，原座位满足$1≤ m≤6$，$1≤ n≤8$，$m、n$均为正整数，即$n=10-m$，代入取值范围解得$2≤ m≤6$，分别计算$mn$的值：
当$m=2$，$n=8$时，$mn=2×8=16$；
当$m=3$，$n=7$时，$mn=3×7=21$；
当$m=4$，$n=6$时，$mn=4×6=24$；
当$m=5$，$n=5$时，$mn=5×5=25$；
当$m=6$，$n=4$时，$mn=6×4=24$。
对比可知$mn$的最大值为25。
【答案】
A
【知识点】
新定义应用，代数式最值，有序数对
【点评】
本题结合座位调整的实际场景，考查对新定义的理解能力和最值求解能力，解题时要注意行列数的取值范围限制，避免脱离实际范围计算得到错误结果。
【难度系数】
0.6
首先理解题目给出的平移、位置数的新定义，推导位置数与$m+n$的数量关系。已知位置数为8，可得到$m+n$和$i+j$的等量关系，要让$m+n$取最小值，就要先求出$i+j$的最小值，$i、j$是调整后座位的行列数，有明确的取值范围，据此可算出$m+n$的最小值。接下来在$m+n$为固定最小值，且$m、n$符合座位行列取值范围的条件下，依据“两个数和固定时，两数越接近乘积越大”的规律，结合取值范围枚举验证，就能求出$mn$的最大值。
【解析】
根据题意，位置数$a+b=(m-i)+(n-j)=m+n-(i+j)$，已知$a+b=8$，因此可得：
$m+n-(i+j)=8$，即$m+n=i+j+8$。
因为调整后的座位$(i,j)$满足$1≤ i≤6$，$1≤ j≤8$，且$i、j$均为正整数，所以$i+j$的最小值为$1+1=2$，代入得$m+n$的最小值为$2+8=10$。
此时$m+n=10$，原座位满足$1≤ m≤6$，$1≤ n≤8$，$m、n$均为正整数，即$n=10-m$，代入取值范围解得$2≤ m≤6$，分别计算$mn$的值：
当$m=2$，$n=8$时，$mn=2×8=16$；
当$m=3$，$n=7$时，$mn=3×7=21$；
当$m=4$，$n=6$时，$mn=4×6=24$；
当$m=5$，$n=5$时，$mn=5×5=25$；
当$m=6$，$n=4$时，$mn=6×4=24$。
对比可知$mn$的最大值为25。
【答案】
A
【知识点】
新定义应用，代数式最值，有序数对
【点评】
本题结合座位调整的实际场景，考查对新定义的理解能力和最值求解能力，解题时要注意行列数的取值范围限制，避免脱离实际范围计算得到错误结果。
【难度系数】
0.6
10. [2026上海浦东新区期中]如图,在$5×5$的方格(每个小正方形的边长为1)内有1只甲虫,它爬行规律总是先左右,再上下.规定:向右与向上为正,向左与向下为负.$A→B$的爬行路线记为$(+1,+4)$,$B→A$的爬行路线记为$(-1,-4)$,其中第一个数表示左右爬行信息,第二个数表示上下爬行信息.
(1)图中$B→D$的爬行路线为(
(2)若甲虫的爬行路线为$A→B→C→D$,计算甲虫爬行的路程.
(3)若甲虫从点$A$出发,爬行路线依次为$(+2,+3)$,$(-2,+1)$,$(+3,-5)$,$(-4,+2)$,最终到达点$P$处,请在图中标出点$P$的位置.
(1)图中$B→D$的爬行路线为(
$+3$
,$-2$
),$C→B$的爬行路线为$(-2,$$+1$
$)$;(2)若甲虫的爬行路线为$A→B→C→D$,计算甲虫爬行的路程.
(3)若甲虫从点$A$出发,爬行路线依次为$(+2,+3)$,$(-2,+1)$,$(+3,-5)$,$(-4,+2)$,最终到达点$P$处,请在图中标出点$P$的位置.
答案
10.【解】(1)$+3$;$-2$;$+1$
(2)$A→B$的爬行路线为$(+1,+4)$,$B→C$的爬行路线为$(+2,-1)$,$C→D$的爬行路线为$(+1,-1)$,所以甲虫爬行的路程为$1+2+1+4+1+1=10$.
(3)如图,点P即为所求.
解析
【分析】
解题首先明确规则：爬行路线的第一个数表示左右方向移动，向右为正、向左为负；第二个数表示上下方向移动，向上为正、向下为负。(1)问中，数出对应点之间横向、纵向的移动格数，结合正负规则填写即可；(2)问中，路程是所有移动的长度之和，与方向无关，只需把每段路线两个数的绝对值相加即可；(3)问中，把所有爬行路线的横向变化量、纵向变化量分别累加，得到相对于A点的最终位移，即可确定P点位置。
【解析】
(1) 观察方格可知，B到D需向右移动3格，向下移动2格，按规则记为$(+3,-2)$；C到B向左移动2格，向上移动1格，已知左右部分为$-2$，因此上下部分为$+1$。
(2) 先写出各段爬行路线：
$A→B$：$(+1,+4)$，$B→C$：$(+2,-1)$，$C→D$：$(+1,-1)$
路程为各段移动长度之和，即各数的绝对值相加：
$|+1|+|+4|+|+2|+|-1|+|+1|+|-1|=1+4+2+1+1+1=10$
(3) 计算总位移：
横向总变化：$+2+(-2)+(+3)+(-4)=-1$，即从A点向左移动1格；
纵向总变化：$+3+(+1)+(-5)+(+2)=+1$，即从A点向上移动1格，按此位置标出点P即可。
【答案】
(1) $+3$；$-2$；$+1$
(2) $10$
(3) 如图，点P即为所求。
【知识点】
1. 有序数对的应用
2. 正负数的实际意义
3. 路程计算
【点评】
本题结合方格场景考查用正负数、有序数对表示位置的能力，需要注意区分位移和路程：路程与方向无关，是所有移动段的长度总和，计算时取各移动量的绝对值相加即可，整体考查内容基础，侧重对规则的理解和简单计算。
【难度系数】
0.7
解题首先明确规则：爬行路线的第一个数表示左右方向移动，向右为正、向左为负；第二个数表示上下方向移动，向上为正、向下为负。(1)问中，数出对应点之间横向、纵向的移动格数，结合正负规则填写即可；(2)问中，路程是所有移动的长度之和，与方向无关，只需把每段路线两个数的绝对值相加即可；(3)问中，把所有爬行路线的横向变化量、纵向变化量分别累加，得到相对于A点的最终位移，即可确定P点位置。
【解析】
(1) 观察方格可知，B到D需向右移动3格，向下移动2格，按规则记为$(+3,-2)$；C到B向左移动2格，向上移动1格，已知左右部分为$-2$，因此上下部分为$+1$。
(2) 先写出各段爬行路线：
$A→B$：$(+1,+4)$，$B→C$：$(+2,-1)$，$C→D$：$(+1,-1)$
路程为各段移动长度之和，即各数的绝对值相加：
$|+1|+|+4|+|+2|+|-1|+|+1|+|-1|=1+4+2+1+1+1=10$
(3) 计算总位移：
横向总变化：$+2+(-2)+(+3)+(-4)=-1$，即从A点向左移动1格；
纵向总变化：$+3+(+1)+(-5)+(+2)=+1$，即从A点向上移动1格，按此位置标出点P即可。
【答案】
(1) $+3$；$-2$；$+1$
(2) $10$
(3) 如图，点P即为所求。
【知识点】
1. 有序数对的应用
2. 正负数的实际意义
3. 路程计算
【点评】
本题结合方格场景考查用正负数、有序数对表示位置的能力，需要注意区分位移和路程：路程与方向无关，是所有移动段的长度总和，计算时取各移动量的绝对值相加即可，整体考查内容基础，侧重对规则的理解和简单计算。
【难度系数】
0.7
11. 如图①，将射线OX按逆时针方向旋转$x°$，得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且$OP=a$，那么我们用$(a,x)$表示点P在平面内的位置，并记为$P(a,x)$。例如，在图②中，如果$OM=8$，$∠ XOM=110°$，那么点M在平面内的位置记为$M(8,110)$。根据图形，解答下面的问题：
(1) 如图③，如果点N在平面内的位置记为$N(6,30)$，那么$ON=$
(2) 如果点A,B在平面内的位置分别记为$A(5,30),B(12,120)$，画出图形，并求A,B两点之间的距离。
(1) 如图③，如果点N在平面内的位置记为$N(6,30)$，那么$ON=$
$6$
，$∠ XON=$$30°$
；(2) 如果点A,B在平面内的位置分别记为$A(5,30),B(12,120)$，画出图形，并求A,B两点之间的距离。
答案
11.【解】(1)$6$;$30°$
(2)如图所示,连接AB,因为$A(5,30),B(12,120)$,所以$∠ BOX=120°,∠ AOX=30°$,$OA=5,OB=12$,所以$∠ AOB=90°$,所以在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$AB=\sqrt{12^2+5^2}=13$.
解析
【分析】
(1) 先明确题目给出的位置表示规则：$(a,x)$中第一个数$a$表示该点到原点$O$的距离，第二个数$x$表示射线$OX$逆时针旋转到该点与$O$连线的夹角，据此直接读取对应数值即可。
(2) 先根据位置表示规则得到$OA$、$OB$的长度，以及$∠ AOX$、$∠ BOX$的度数，计算得出$∠ AOB$的度数，判断$△ AOB$为直角三角形，再用勾股定理计算$AB$的长度。
【解析】
(1) 根据定义，点$N$的位置记为$N(6,30)$，因此$ON$等于第一个参数$6$，$∠ XON$等于第二个参数$30°$。
(2) 首先根据点的位置表示规则：
$\because A(5,30),B(12,120)$
$\therefore OA=5$，$∠ AOX=30°$，$OB=12$，$∠ BOX=120°$
$\therefore ∠ AOB = ∠ BOX - ∠ AOX = 120° - 30° = 90°$，即$△ AOB$是直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
【答案】
(1) $6$；$30°$
(2) 如图所示，连接AB，A、B两点之间的距离为13。
【知识点】
1. 新定义位置表示
2. 角度计算
3. 勾股定理
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解新的位置表示规则，将其转化为熟悉的线段长度和角度条件，再结合勾股定理求解，侧重考查信息提取能力和基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.75
(1) 先明确题目给出的位置表示规则：$(a,x)$中第一个数$a$表示该点到原点$O$的距离，第二个数$x$表示射线$OX$逆时针旋转到该点与$O$连线的夹角，据此直接读取对应数值即可。
(2) 先根据位置表示规则得到$OA$、$OB$的长度，以及$∠ AOX$、$∠ BOX$的度数，计算得出$∠ AOB$的度数，判断$△ AOB$为直角三角形，再用勾股定理计算$AB$的长度。
【解析】
(1) 根据定义，点$N$的位置记为$N(6,30)$，因此$ON$等于第一个参数$6$，$∠ XON$等于第二个参数$30°$。
(2) 首先根据点的位置表示规则：
$\because A(5,30),B(12,120)$
$\therefore OA=5$，$∠ AOX=30°$，$OB=12$，$∠ BOX=120°$
$\therefore ∠ AOB = ∠ BOX - ∠ AOX = 120° - 30° = 90°$，即$△ AOB$是直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
【答案】
(1) $6$；$30°$
(2) 如图所示，连接AB，A、B两点之间的距离为13。
【知识点】
1. 新定义位置表示
2. 角度计算
3. 勾股定理
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解新的位置表示规则，将其转化为熟悉的线段长度和角度条件，再结合勾股定理求解，侧重考查信息提取能力和基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.75
