登录
1 下列关于投影的描述,不正确的是(
A.在阳光下,同一时刻同一物体的高度与影长的比值是一个定值
B.一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形
C.物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关
D.物体在平行投影下可以得到自己的主视图
C
)。A.在阳光下,同一时刻同一物体的高度与影长的比值是一个定值
B.一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形
C.物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关
D.物体在平行投影下可以得到自己的主视图
答案
1.C
解析
【分析】
本题属于投影相关概念的辨析题，解题思路为逐一判断各选项的正误：首先明确阳光下的投影属于平行投影，结合平行投影、正投影的性质，以及投影大小的影响因素，逐个分析选项，最终选出描述错误的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 阳光下的投影为平行投影，同一时刻同一地点的太阳光线互相平行，因此同一物体的高度与影长的比值是固定定值，该选项描述正确，不符合题意。
B. 当矩形纸板与投影面呈倾斜角度放置时，平行投影下矩形的两组对边投影仍保持平行，因此投影可以是平行四边形，该选项描述正确，不符合题意。
C. 物体在光线下的投影大小不仅和物体本身的大小有关，还和物体与光线的夹角、物体到投影面的距离等因素有关，该选项描述错误，符合题意。
D. 主视图是物体在正投影（光线垂直于投影面的平行投影）下得到的正立面投影，因此调整平行光线的角度和投影面的位置，就可以通过平行投影得到物体的主视图，该选项描述正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行投影的性质；投影大小的影响因素；正投影与视图
【点评】
本题是投影模块的基础概念题，核心考查对投影相关性质的理解，解题时要注意区分平行投影的不同情形，牢记投影大小的影响因素，避免概念混淆即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题属于投影相关概念的辨析题，解题思路为逐一判断各选项的正误：首先明确阳光下的投影属于平行投影，结合平行投影、正投影的性质，以及投影大小的影响因素，逐个分析选项，最终选出描述错误的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 阳光下的投影为平行投影，同一时刻同一地点的太阳光线互相平行，因此同一物体的高度与影长的比值是固定定值，该选项描述正确，不符合题意。
B. 当矩形纸板与投影面呈倾斜角度放置时，平行投影下矩形的两组对边投影仍保持平行，因此投影可以是平行四边形，该选项描述正确，不符合题意。
C. 物体在光线下的投影大小不仅和物体本身的大小有关，还和物体与光线的夹角、物体到投影面的距离等因素有关，该选项描述错误，符合题意。
D. 主视图是物体在正投影（光线垂直于投影面的平行投影）下得到的正立面投影，因此调整平行光线的角度和投影面的位置，就可以通过平行投影得到物体的主视图，该选项描述正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行投影的性质；投影大小的影响因素；正投影与视图
【点评】
本题是投影模块的基础概念题，核心考查对投影相关性质的理解，解题时要注意区分平行投影的不同情形，牢记投影大小的影响因素，避免概念混淆即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
2 下列图形中，主视图和左视图一样的是（
（A）（B）（C）（D）
D
）。（A）（B）（C）（D）
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确主视图和左视图的定义：主视图是从物体正前方观察得到的平面图形，左视图是从物体正左方观察得到的平面图形。解题时我们逐个分析四个选项中器物的结构，判断从正面和左面观察得到的图形是否一致：带侧把手的器物，把手分布在器物左右两侧，正面观察时把手在视图的左右两侧，从左面观察时，两个把手位于器物的前后方向，呈现效果和主视图不同；无把手的旋转对称器物，绕竖直中心轴旋转任意角度外形都不变，因此正面和左面观察得到的图形完全相同。
【解析】
1. 分析选项A：器物有两个异形侧把手，且瓶口为不规则花形口，正面看左右各有一个把手，左视图中把手位置、瓶口形状均和主视图不同，不符合要求。
2. 分析选项B：器物有两个U型侧把手，正面看把手在视图左右两侧，左视图看时两个把手位于前后位置，视图呈现的把手效果和主视图不同，不符合要求。
3. 分析选项C：器物有两个弯钩状侧把手，同理，正面和左面观察时把手的呈现效果不同，不符合要求。
4. 分析选项D：器物无把手，整体是绕竖直中心轴对称的旋转体，从正面和左面观察得到的图形完全一致，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
主视图定义、左视图定义、旋转体的三视图
【点评】
这道题结合生活中器物的造型考查三视图相关知识，解题时需要先明确不同视图的观察方向，再结合物体的结构特点判断视图是否一致，核心是抓住“无侧向外凸的不对称部件、旋转对称的物体主视图和左视图相同”这一规律。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确主视图和左视图的定义：主视图是从物体正前方观察得到的平面图形，左视图是从物体正左方观察得到的平面图形。解题时我们逐个分析四个选项中器物的结构，判断从正面和左面观察得到的图形是否一致：带侧把手的器物，把手分布在器物左右两侧，正面观察时把手在视图的左右两侧，从左面观察时，两个把手位于器物的前后方向，呈现效果和主视图不同；无把手的旋转对称器物，绕竖直中心轴旋转任意角度外形都不变，因此正面和左面观察得到的图形完全相同。
【解析】
1. 分析选项A：器物有两个异形侧把手，且瓶口为不规则花形口，正面看左右各有一个把手，左视图中把手位置、瓶口形状均和主视图不同，不符合要求。
2. 分析选项B：器物有两个U型侧把手，正面看把手在视图左右两侧，左视图看时两个把手位于前后位置，视图呈现的把手效果和主视图不同，不符合要求。
3. 分析选项C：器物有两个弯钩状侧把手，同理，正面和左面观察时把手的呈现效果不同，不符合要求。
4. 分析选项D：器物无把手，整体是绕竖直中心轴对称的旋转体，从正面和左面观察得到的图形完全一致，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
主视图定义、左视图定义、旋转体的三视图
【点评】
这道题结合生活中器物的造型考查三视图相关知识，解题时需要先明确不同视图的观察方向，再结合物体的结构特点判断视图是否一致，核心是抓住“无侧向外凸的不对称部件、旋转对称的物体主视图和左视图相同”这一规律。
【难度系数】
0.7
3 太阳光线与地面成$60°$的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长是$10\sqrt{3}$，则皮球的直径是(
A.15
B.$8\sqrt{3}$
C.$10\sqrt{3}$
D.10
A
)。A.15
B.$8\sqrt{3}$
C.$10\sqrt{3}$
D.10
答案
3.A
解析
【分析】
这是平行投影结合解直角三角形的实际应用题，解题思路如下：首先将实物抽象为几何图形，皮球对应圆，太阳光线是互相平行的直线，光线与地面夹角为60°，投影长就是两条与球相切的边界光线和地面交点的距离；其次明确两条平行切线之间的距离就是球的直径，通过构造直角三角形，把直径作为直角三角形的直角边，投影长作为斜边，结合三角函数关系即可求出直径。
【解析】
设皮球的直径为$d$，皮球在地面的投影长$AB=10\sqrt{3}$，太阳光线与地面的夹角为$60°$。
两条与皮球相切的太阳光线互相平行，过点$A$作$AE$垂直于边界光线，垂足为$E$，根据平行线间的距离处处相等、切线垂直于过切点的半径，可得$AE$的长度等于皮球的直径$d$。
在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，$∠ ABE=60°$，斜边$AB=10\sqrt{3}$，由正弦的定义得：
$d=AE=AB·\sin60°=10\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=15$
【答案】
A
【知识点】
平行投影的性质、解直角三角形、切线的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的综合应用，解题核心是将实际问题转化为几何模型，构造合适的直角三角形利用三角函数计算，考查了学生的知识迁移能力和数形结合思想。
【难度系数】
0.6
这是平行投影结合解直角三角形的实际应用题，解题思路如下：首先将实物抽象为几何图形，皮球对应圆，太阳光线是互相平行的直线，光线与地面夹角为60°，投影长就是两条与球相切的边界光线和地面交点的距离；其次明确两条平行切线之间的距离就是球的直径，通过构造直角三角形，把直径作为直角三角形的直角边，投影长作为斜边，结合三角函数关系即可求出直径。
【解析】
设皮球的直径为$d$，皮球在地面的投影长$AB=10\sqrt{3}$，太阳光线与地面的夹角为$60°$。
两条与皮球相切的太阳光线互相平行，过点$A$作$AE$垂直于边界光线，垂足为$E$，根据平行线间的距离处处相等、切线垂直于过切点的半径，可得$AE$的长度等于皮球的直径$d$。
在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，$∠ ABE=60°$，斜边$AB=10\sqrt{3}$，由正弦的定义得：
$d=AE=AB·\sin60°=10\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=15$
【答案】
A
【知识点】
平行投影的性质、解直角三角形、切线的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的综合应用，解题核心是将实际问题转化为几何模型，构造合适的直角三角形利用三角函数计算，考查了学生的知识迁移能力和数形结合思想。
【难度系数】
0.6
4 如图所示的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是(
A.主视图不同
B.俯视图不同
C.左视图不同
D.主视图、左视图和俯视图都相同
D
)。A.主视图不同
B.俯视图不同
C.左视图不同
D.主视图、左视图和俯视图都相同
答案
4.D
解析
【分析】
解决本题首先要明确三视图的观察规则：主视图是从几何体正前方观察得到的平面图形，左视图是从几何体左面观察得到的平面图形，俯视图是从几何体正上方观察得到的平面图形。接下来分别想象两个几何体从三个方向观察时能看到的小正方形的数量和位置，逐一对比视图是否一致，即可得出结论。
【解析】
我们分别对比两个几何体的三类视图：
1. 对比主视图：从正前方观察两个几何体，看到的图形均为下层2个小正方形，上层靠左1个小正方形，二者主视图相同；
2. 对比左视图：从左面观察两个几何体，看到的图形均为下层2个小正方形，上层靠左1个小正方形，二者左视图相同；
3. 对比俯视图：从正上方观察两个几何体，看到的图形均为2行2列排列的4个小正方形，二者俯视图相同。
综上，两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同。
【答案】
D
【知识点】
1. 三视图的概念
2. 组合体三视图判断
【点评】
本题属于视图类基础题型，重点考查对三视图定义的理解和基础空间想象能力，解题关键是明确不同观察方向下可见的小正方体的位置，被遮挡的小正方体不会出现在视图中。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确三视图的观察规则：主视图是从几何体正前方观察得到的平面图形，左视图是从几何体左面观察得到的平面图形，俯视图是从几何体正上方观察得到的平面图形。接下来分别想象两个几何体从三个方向观察时能看到的小正方形的数量和位置，逐一对比视图是否一致，即可得出结论。
【解析】
我们分别对比两个几何体的三类视图：
1. 对比主视图：从正前方观察两个几何体，看到的图形均为下层2个小正方形，上层靠左1个小正方形，二者主视图相同；
2. 对比左视图：从左面观察两个几何体，看到的图形均为下层2个小正方形，上层靠左1个小正方形，二者左视图相同；
3. 对比俯视图：从正上方观察两个几何体，看到的图形均为2行2列排列的4个小正方形，二者俯视图相同。
综上，两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同。
【答案】
D
【知识点】
1. 三视图的概念
2. 组合体三视图判断
【点评】
本题属于视图类基础题型，重点考查对三视图定义的理解和基础空间想象能力，解题关键是明确不同观察方向下可见的小正方体的位置，被遮挡的小正方体不会出现在视图中。
【难度系数】
0.8
5 图②是图①中长方体的三视图，若用S表示面积，$S_{\mathrm{主}}=x^2+2x$，$S_{\mathrm{左}}=x^2+x$，则$S_{\mathrm{俯}}=$（
A.$x^2+3x+2$
B.$x^2+2$
C.$x^2+2x+1$
D.$2x^2+3x$
A
）。A.$x^2+3x+2$
B.$x^2+2$
C.$x^2+2x+1$
D.$2x^2+3x$
答案
5.A
解析
【分析】
解题的核心是明确长方体三视图对应棱长的关系：主视图面积=长×高，左视图面积=宽×高，俯视图面积=长×宽。首先对已知的主视图、左视图面积表达式因式分解，找到两个表达式的公因式（即长方体的高），即可得到长和宽的表达式，最后计算长与宽的乘积就是俯视图面积。
【解析】
首先对两个已知面积因式分解：
$S_{\mathrm{主}}=x^2+2x=x(x+2)$，对应长×高；
$S_{\mathrm{左}}=x^2+x=x(x+1)$，对应宽×高。
两个式子的公因式为$x$，因此长方体的高为$x$，可得长为$x+2$，宽为$x+1$。
俯视图面积为长×宽，计算得：
$S_{\mathrm{俯}}=(x+2)(x+1)=x^2 + x + 2x + 2 = x^2+3x+2$。
【答案】
A
【知识点】
三视图的面积关系、因式分解、多项式乘多项式
【点评】
本题是三视图与整式运算的结合题型，解题关键是掌握三视图对应的几何体棱长的关系，再结合因式分解和整式乘法运算即可求解，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
解题的核心是明确长方体三视图对应棱长的关系：主视图面积=长×高，左视图面积=宽×高，俯视图面积=长×宽。首先对已知的主视图、左视图面积表达式因式分解，找到两个表达式的公因式（即长方体的高），即可得到长和宽的表达式，最后计算长与宽的乘积就是俯视图面积。
【解析】
首先对两个已知面积因式分解：
$S_{\mathrm{主}}=x^2+2x=x(x+2)$，对应长×高；
$S_{\mathrm{左}}=x^2+x=x(x+1)$，对应宽×高。
两个式子的公因式为$x$，因此长方体的高为$x$，可得长为$x+2$，宽为$x+1$。
俯视图面积为长×宽，计算得：
$S_{\mathrm{俯}}=(x+2)(x+1)=x^2 + x + 2x + 2 = x^2+3x+2$。
【答案】
A
【知识点】
三视图的面积关系、因式分解、多项式乘多项式
【点评】
本题是三视图与整式运算的结合题型，解题关键是掌握三视图对应的几何体棱长的关系，再结合因式分解和整式乘法运算即可求解，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
⑥ 如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足$3FD=2FA$，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为(
A.$\frac{11}{7}$米
B.$\frac{12}{7}$米
C.$\frac{13}{7}$米
D.2米
B
)。A.$\frac{11}{7}$米
B.$\frac{12}{7}$米
C.$\frac{13}{7}$米
D.2米
答案
6.B
解析
【分析】
观察图形可知，矩形FACD的对边FA平行于地面EB，可推出△PFA与△PEB相似，相似三角形对应边的比等于对应高的比。我们可以先设车宽FA的长度为x，根据3FD=2FA的关系表示出FD的长度，再分别得到点P到FA、EB的垂直距离，代入相似比列方程即可求解。
【解析】
设FA的长度为$x$米，
∵ $3FD=2FA$，
∴ $FD=\frac{2}{3}x$米。
∵ 四边形FACD是矩形，
∴ $FA// EB$，
∴ $△ PFA ∽ △ PEB$。
由题意得，点P到EB的垂直距离为1.6米，点P到FA的垂直距离为$1.6-FD=1.6-\frac{2}{3}x$米。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{FA}{EB}=\frac{1.6-\frac{2}{3}x}{1.6}$
将$EB=6$代入上式：
$\frac{x}{6}=\frac{1.6-\frac{2}{3}x}{1.6}$
交叉相乘得：
$1.6x=6×(1.6-\frac{2}{3}x)$
化简计算：
$1.6x=9.6-4x$
$5.6x=9.6$
$x=\frac{9.6}{5.6}=\frac{12}{7}$
即FA的长度为$\frac{12}{7}$米。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质
【点评】
本题结合生活中的盲区场景考查相似三角形的实际应用，解题的关键是从实际图形中抽象出相似三角形，利用相似的性质建立方程求解，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.7
观察图形可知，矩形FACD的对边FA平行于地面EB，可推出△PFA与△PEB相似，相似三角形对应边的比等于对应高的比。我们可以先设车宽FA的长度为x，根据3FD=2FA的关系表示出FD的长度，再分别得到点P到FA、EB的垂直距离，代入相似比列方程即可求解。
【解析】
设FA的长度为$x$米，
∵ $3FD=2FA$，
∴ $FD=\frac{2}{3}x$米。
∵ 四边形FACD是矩形，
∴ $FA// EB$，
∴ $△ PFA ∽ △ PEB$。
由题意得，点P到EB的垂直距离为1.6米，点P到FA的垂直距离为$1.6-FD=1.6-\frac{2}{3}x$米。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{FA}{EB}=\frac{1.6-\frac{2}{3}x}{1.6}$
将$EB=6$代入上式：
$\frac{x}{6}=\frac{1.6-\frac{2}{3}x}{1.6}$
交叉相乘得：
$1.6x=6×(1.6-\frac{2}{3}x)$
化简计算：
$1.6x=9.6-4x$
$5.6x=9.6$
$x=\frac{9.6}{5.6}=\frac{12}{7}$
即FA的长度为$\frac{12}{7}$米。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质
【点评】
本题结合生活中的盲区场景考查相似三角形的实际应用，解题的关键是从实际图形中抽象出相似三角形，利用相似的性质建立方程求解，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.7
