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一
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1.「2025黑龙江齐齐哈尔中考」假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$

画树状图如下：
由树状图可知,共有4种等可能的结果,其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种,
∴2只雏鸟都是雄鸟的概率是$\frac{1}{4}$.故选D.

【分析】
要计算2枚鸟卵孵化后均为雄鸟的概率，首先明确每次孵化时雏鸟为雌、雄的概率相等，且两次孵化属于独立事件，互不干扰。我们可以通过画树状图的方法，列举出所有等可能的孵化结果，再从中筛选出2只都是雄鸟的结果数，最后根据概率的计算公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”求解即可。
【解析】
画树状图如下：
由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种，
∴2只雏鸟都是雄鸟的概率是$\frac{1}{4}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
树状图法求概率，概率公式
【点评】
本题考查两步试验的概率计算，难度较低，解题关键是通过树状图不重不漏地列举出所有等可能的结果，再结合概率公式计算即可，掌握列举法求概率的基本步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 情境 中华优秀传统文化「2025河南中考」甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（）


A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$

画树状图如下：
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种,
∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.故选B.

【分析】
本题是两步试验的概率求解问题，解题思路为：首先明确试验规则：从4张不同的卡片中不放回随机抽取2张，所有结果出现的可能性相等；其次选择树状图法列举出所有等可能的抽取结果；再筛选出两张卡片恰好是“丽”和“山”的结果数；最后代入概率公式计算对应概率即可。
【解析】
画树状图如下：

由树状图可知，随机抽取两张卡片共有12种等可能的结果，其中两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有2种。
根据概率公式，可得所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
树状图法，概率公式，等可能事件
【点评】
本题结合中华优秀传统文化甲骨文设置情境，考查基础的概率计算问题，解题时需注意抽取卡片是不放回试验，列举结果时不要出现重复或遗漏的情况，整体难度较低。
【难度系数】
0.7

3.「2025江苏苏州中考改编」为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看.现有A,B,C 3部电影,甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看.
(1)甲同学选择A电影的概率为.
(2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率(请用画树状图法说明理由).

(1)$\frac{1}{3}$.
(2)画树状图如下：
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种,
∴甲、乙2位同学选择不同电影的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

【分析】
（1）甲从A、B、C3部电影中任意选择1部，每部电影被选中的可能性相等，属于等可能事件，直接用符合条件的情况数除以总情况数即可计算概率。
（2）本题是两步试验的概率问题，适合用树状图法列举所有结果：第一步先列出甲的3种选择，第二步对应甲的每一种选择，列出乙的3种选择，确保所有结果不重不漏，再从中筛选出甲、乙选择不同电影的结果，最后根据概率公式计算所求概率即可。
【解析】
(1) 甲选择电影共有3种等可能的情况，其中选择A电影的情况有1种，因此甲选择A电影的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 按照题意画出树状图：

由树状图可得，总共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种，分别为(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,C)、(C,A)、(C,B)。
根据概率公式，所求概率为符合条件的结果数除以总结果数，即$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$
(2)画树状图如下：
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种,
∴甲、乙2位同学选择不同电影的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.
【知识点】
概率公式，树状图法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题，核心考查两步试验的概率求解方法，解题的关键是掌握树状图列举所有等可能结果的方法，计算时注意化简最终结果。
【难度系数】
0.85

4.「2026江苏南京建邺一模」有两组扑克牌各三张，牌面数字分别为1,2,3,随机从每组牌中各抽取一张，牌面上的数字和是奇数的概率是（）

A.$\frac{5}{9}$
B.$\frac{2}{9}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{4}{9}$

列表如下：
| | 1 | 2 | 3 |
|----|----|----|----|
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
由表可知,共有9种等可能的结果,其中数字和是奇数的结果有4种,
∴随机从每组牌中各抽取一张,牌面上的数字和是奇数的概率是$\frac{4}{9}$.

【分析】
这是一道两步试验的概率计算问题，解题思路如下：首先明确从两组各3张牌中各抽1张，所有抽取结果是等可能的，总结果数为3×3=9种；要计算数字和为奇数的概率，可先明确“两数之和为奇数”的条件是两个数一奇一偶，也可以通过列表法直观列举所有组合的和，再统计符合条件的结果数，最后根据概率公式“P=符合条件的结果数/所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
采用列表法列举所有等可能的结果：
| | 1 | 2 | 3 |
|----|----|----|----|
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中牌面数字和为奇数的结果有4种，
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{4}{9}$。
【答案】
D
【知识点】
列表法求概率，概率计算公式，奇偶性判断
【点评】
本题是概率计算的常规考题，通过列表法可以清晰、不重不漏地列举所有等可能结果，降低计数错误的概率，掌握列表法或树状图法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

5.聚焦中考跨学科主题学习「2026江苏苏州姑苏月考」如图，随机闭合开关$\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_2,\mathrm{K}_3$中的两个，能让两盏灯泡$\mathrm{L}_1,\mathrm{L}_2$同时发光的概率为________。

$\frac{1}{3}$
解析 列表如下：
| | $\mathrm{K}_1$ | $\mathrm{K}_2$ | $\mathrm{K}_3$ |
|----|----|----|----|
| $\mathrm{K}_1$ | | $(\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_2)$ | $(\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_3)$ |
| $\mathrm{K}_2$ | $(\mathrm{K}_2,\mathrm{K}_1)$ | | $(\mathrm{K}_2,\mathrm{K}_3)$ |
| $\mathrm{K}_3$ | $(\mathrm{K}_3,\mathrm{K}_1)$ | $(\mathrm{K}_3,\mathrm{K}_2)$ | |
由表可知,共有6种等可能的结果,其中能让两盏灯泡$\mathrm{L}_1,\mathrm{L}_2$同时发光的结果有$(\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_3),(\mathrm{K}_3,\mathrm{K}_1)$,共2种,
∴能让两盏灯泡$\mathrm{L}_1,\mathrm{L}_2$同时发光的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

【分析】
解题可按三步思考：第一步，先列举出随机闭合2个开关的所有等可能结果，三个开关选两个，共6种等可能情况；第二步，结合电路图判断能让两灯同时发光的开关组合：要让L₁、L₂都发光，电流需依次通过L₂和L₁，因此必须闭合K₃保证L₂通路，同时闭合K₁保证L₁通路，不能闭合K₂（否则L₁会被短路），即只有同时闭合K₁、K₃的组合符合要求；第三步，利用概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”，代入数据计算即可得到结果。
【解析】
用列表法列举所有随机闭合两个开关的等可能结果：
| | $\mathrm{K}_1$ | $\mathrm{K}_2$ | $\mathrm{K}_3$ |
|----|----|----|----|
| $\mathrm{K}_1$ | | $(\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_2)$ | $(\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_3)$ |
| $\mathrm{K}_2$ | $(\mathrm{K}_2,\mathrm{K}_1)$ | | $(\mathrm{K}_2,\mathrm{K}_3)$ |
| $\mathrm{K}_3$ | $(\mathrm{K}_3,\mathrm{K}_1)$ | $(\mathrm{K}_3,\mathrm{K}_2)$ | |
由表可知，共有6种等可能的结果。结合电路判断：闭合$(\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_2)$时两灯都不亮，闭合$(\mathrm{K}_2,\mathrm{K}_3)$时仅L₂发光，仅闭合$(\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_3)$、$(\mathrm{K}_3,\mathrm{K}_1)$时两灯同时发光，即符合条件的结果共2种。
根据概率公式可得：$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列表法求概率，简单电路分析，概率公式
【点评】
本题是电路知识与概率计算的综合题，需要先根据电路通路、短路的原理筛选符合要求的开关组合，再通过列举法统计情况后代入概率公式计算，注重考察跨学科基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

6.「2025江苏连云港海州二模节选」通过学习化学我们知道:紫色石蕊试液遇酸性溶液变红色,遇碱性溶液变蓝色.化学课上老师让同学用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性,已知这四种溶液分别是A.盐酸(呈酸性),B.白醋(呈酸性),C.氢氧化钠溶液(呈碱性),D.氢氧化钙溶液(呈碱性)中的一种.
(1)甲同学从中任选一瓶无色溶液,将紫色石蕊试液滴入其中进行检测,则该瓶溶液恰好变蓝的概率为.
(2)乙同学从中任选两瓶无色溶液,将紫色石蕊试液滴入其中进行检测,请用列表法求两瓶无色溶液恰好都变蓝的概率.

(1)$\frac{1}{2}$.
(2)列表如下：
| | A | B | C | D |
|----|----|----|----|----|
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表可知,共有12种等可能的结果,其中两瓶溶液恰好都变蓝的结果有2种,
∴两瓶溶液恰好都变蓝的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.

【分析】
(1) 第一问属于一步概率计算，首先明确总共有4种等可能的溶液可供选择，其中滴入紫色石蕊试液变蓝的是碱性溶液，共2种，根据古典概型“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”的公式即可求解。
(2) 第二问是不放回的两步试验求概率，首先用列表法罗列出任选两瓶溶液的所有等可能结果，注意需排除重复选取同一瓶的情况，再从中筛选出两瓶均为碱性溶液（即都变蓝）的情况数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 任选一瓶溶液，总共有4种等可能的结果，其中滴入石蕊试液变蓝的碱性溶液有氢氧化钠溶液、氢氧化钙溶液共2种，
因此恰好变蓝的概率为 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 任选两瓶溶液，所有等可能的结果列表如下：
| | A | B | C | D |
|----|----|----|----|----|
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液都为碱性（即都变蓝）的结果有(C,D)、(D,C)共2种，
因此两瓶无色溶液恰好都变蓝的概率为 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
概率公式应用、列表法求概率、不放回事件概率
【点评】
本题结合酸碱性的跨学科知识考查概率计算，属于基础应用题，既考查了一步概率的直接计算，也考查了用列表法梳理两步试验的所有等可能结果，解题时需注意准确筛选符合条件的结果，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.75