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12. 如图甲所示，足够高的圆柱形容器底面积为$50\ \mathrm{cm}^2$，容器内装有一定量的水，容器正上方天花板上有轻质细杆（体积忽略不计），黏合着由两个横截面积不同的实心圆柱体M、N组成的组合体，此组合体是由不吸水的复合材料构成，且柱体M的高度$h_M = 20\ \mathrm{cm}$。容器底部有一个出水口，最初水面与N的上表面相平，打开阀门放水直到水放完。杆上方有一传感器可显示杆对物体作用力的大小，图乙中坐标记录了杆对物体作用力大小与排出水的体积之间的关系，$\rho_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$。求：
（1）M与N的总重力。
（2）放水前物体浸在水中的体积。
（3）当杆对物体的作用力大小为$3F_1$时，水对容器底的压强。
（1）M与N的总重力。
（2）放水前物体浸在水中的体积。
（3）当杆对物体的作用力大小为$3F_1$时，水对容器底的压强。
答案
12. 解：(1) 由题图乙可知，当M、N全部露出水面时，杆对物体的作用力为$F_D=10\ \mathrm{N}$，M与N的总重:$G_总=10\ \mathrm{N}$。
(2) 由题图乙可知，放水前，杆对物体的作用力为$F_A=3\ \mathrm{N}$，力的方向竖直向下，此时浮力:$F_{浮}=G_总+F_A=10\ \mathrm{N}+3\ \mathrm{N}=13\ \mathrm{N}$，放水前物体浸在水中的体积：
$\begin{aligned}V_{浸}&=V_{\mathrm{MN}}=V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}\\&=\frac{13\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}\\&=1.3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=1300\ \mathrm{cm}^3。\end{aligned}$
(3) 由题图乙可知，物体M下端与容器底部相距：
$h_1=\frac{V_{DE}}{S_{容}}=\frac{550\ \mathrm{cm}^3-500\ \mathrm{cm}^3}{50\ \mathrm{cm}^2}=1\ \mathrm{cm}=0.01\ \mathrm{m}，$
水面从M、N的结合处下降到M的底部时，放出的水：
$V_{放}=V_D-V_C=500\ \mathrm{cm}^3-300\ \mathrm{cm}^3=200\ \mathrm{cm}^3，$
根据体积关系可得$S_Mh_M+V_{放}=S_{容}h_M$，
故$S_M=\frac{50\ \mathrm{cm}^2×20\ \mathrm{cm}-200\ \mathrm{cm}^3}{20\ \mathrm{cm}}=40\ \mathrm{cm}^2$，
当水面恰好到达M、N的结合处时，杆对物体作用力为$F_1$，力的方向竖直向上，此时M、N排开水的体积：
$V_{排1}=V_M=S_Mh_M=40\ \mathrm{cm}^2×20\ \mathrm{cm}=800\ \mathrm{cm}^3，$
根据受力关系得$F_1+F_{浮1}=G_总$，
故$F_1=G_总-\rho_{水}gV_{排1}=10\ \mathrm{N}-1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×800×10^{-6}\ \mathrm{m}^3=2\ \mathrm{N}$，
设水面下降到距M底部$h_2$时，杆的示数为$3F_1$，根据受力关系得$3F_1+F_{浮2}=G_总$，
$F_{浮2}=G_总-3F_1=10\ \mathrm{N}-3×2\ \mathrm{N}=4\ \mathrm{N}，$
$\begin{aligned}h_2&=\frac{F_{浮2}}{\rho_{水}gS_M}\\&=\frac{4\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×40×10^{-4}\ \mathrm{m}^2}\\&=0.1\ \mathrm{m}，\end{aligned}$
此时水面到容器底部的深度：
$h_3=h_1+h_2=0.01\ \mathrm{m}+0.1\ \mathrm{m}=0.11\ \mathrm{m}，$
水对容器底的压强：
$p=\rho_{水}gh_3=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.11\ \mathrm{m}=1100\ \mathrm{Pa}。$
(2) 由题图乙可知，放水前，杆对物体的作用力为$F_A=3\ \mathrm{N}$，力的方向竖直向下，此时浮力:$F_{浮}=G_总+F_A=10\ \mathrm{N}+3\ \mathrm{N}=13\ \mathrm{N}$，放水前物体浸在水中的体积：
$\begin{aligned}V_{浸}&=V_{\mathrm{MN}}=V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}\\&=\frac{13\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}\\&=1.3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=1300\ \mathrm{cm}^3。\end{aligned}$
(3) 由题图乙可知，物体M下端与容器底部相距：
$h_1=\frac{V_{DE}}{S_{容}}=\frac{550\ \mathrm{cm}^3-500\ \mathrm{cm}^3}{50\ \mathrm{cm}^2}=1\ \mathrm{cm}=0.01\ \mathrm{m}，$
水面从M、N的结合处下降到M的底部时，放出的水：
$V_{放}=V_D-V_C=500\ \mathrm{cm}^3-300\ \mathrm{cm}^3=200\ \mathrm{cm}^3，$
根据体积关系可得$S_Mh_M+V_{放}=S_{容}h_M$，
故$S_M=\frac{50\ \mathrm{cm}^2×20\ \mathrm{cm}-200\ \mathrm{cm}^3}{20\ \mathrm{cm}}=40\ \mathrm{cm}^2$，
当水面恰好到达M、N的结合处时，杆对物体作用力为$F_1$，力的方向竖直向上，此时M、N排开水的体积：
$V_{排1}=V_M=S_Mh_M=40\ \mathrm{cm}^2×20\ \mathrm{cm}=800\ \mathrm{cm}^3，$
根据受力关系得$F_1+F_{浮1}=G_总$，
故$F_1=G_总-\rho_{水}gV_{排1}=10\ \mathrm{N}-1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×800×10^{-6}\ \mathrm{m}^3=2\ \mathrm{N}$，
设水面下降到距M底部$h_2$时，杆的示数为$3F_1$，根据受力关系得$3F_1+F_{浮2}=G_总$，
$F_{浮2}=G_总-3F_1=10\ \mathrm{N}-3×2\ \mathrm{N}=4\ \mathrm{N}，$
$\begin{aligned}h_2&=\frac{F_{浮2}}{\rho_{水}gS_M}\\&=\frac{4\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×40×10^{-4}\ \mathrm{m}^2}\\&=0.1\ \mathrm{m}，\end{aligned}$
此时水面到容器底部的深度：
$h_3=h_1+h_2=0.01\ \mathrm{m}+0.1\ \mathrm{m}=0.11\ \mathrm{m}，$
水对容器底的压强：
$p=\rho_{水}gh_3=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.11\ \mathrm{m}=1100\ \mathrm{Pa}。$
13. 如图所示，小明在做探究“圆锥体所受浮力大小与哪些因素有关”的实验，两个相同的容器中分别装有水和某种液体，请你回答下列有关的问题。
（1）由图1中步骤A、B、C、D可得出结论：物体受到的浮力大小与
（2）图1步骤F中，用弹簧测力计拉着圆锥体从其底部刚好接触水面开始缓慢匀速下降进入水中，直到快接触到杯底，能大致反应圆锥体所受水的浮力$ F_{浮} $的大小与物体进入水中的深度$ h_{深} $关系的图像是图2中的
（3）根据图1中的实验数据，可计算出圆锥体的密度是
（4）实验完成后，小刚取下合金块，他发现竖直向上提着弹簧测力计拉环时，指针对准了“0.1 N”刻度线，则第（3）问中算出的圆锥体密度相对真实值
（1）由图1中步骤A、B、C、D可得出结论：物体受到的浮力大小与
排开液体的体积
有关；根据图1步骤A、D、E
可得出：浮力的大小与排开液体的密度有关。在图1步骤E中，圆锥体所受液体的浮力是1.1
N。（2）图1步骤F中，用弹簧测力计拉着圆锥体从其底部刚好接触水面开始缓慢匀速下降进入水中，直到快接触到杯底，能大致反应圆锥体所受水的浮力$ F_{浮} $的大小与物体进入水中的深度$ h_{深} $关系的图像是图2中的
B
（填字母）。（3）根据图1中的实验数据，可计算出圆锥体的密度是
$3.75×10^3$
$ kg/m^3 $。（4）实验完成后，小刚取下合金块，他发现竖直向上提着弹簧测力计拉环时，指针对准了“0.1 N”刻度线，则第（3）问中算出的圆锥体密度相对真实值
偏大
（选填“偏大”“偏小”或“仍准确”）。答案
13.(1) 排开液体的体积 A、D、E 1.1 (2) B (3) $3.75×10^3$ (4) 偏大
