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8 有下列说法:① $|+3.1|=3.1$;② $|-2.4|=2.4$;③ $-|-5|=5$;④ $|a| ≥ 0$;⑤ 绝对值最小的数是0.其中,正确的共有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8.D
解析
【分析】
本题考查绝对值的相关性质，解题时先回忆绝对值的定义和性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，所有数的绝对值都是非负数。接下来逐一判断5个说法的正误，统计正确说法的个数，再匹配对应选项即可。
【解析】
我们根据绝对值的性质逐一判断各说法：
① +3.1是正数，正数的绝对值是它本身，因此$\vert +3.1\vert=3.1$，说法正确；
② -2.4是负数，负数的绝对值是它的相反数，因此$\vert -2.4\vert=-(-2.4)=2.4$，说法正确；
③ 先计算内层绝对值：$\vert -5\vert=5$，因此$-\vert -5\vert=-5≠5$，说法错误；
④ 任意有理数的绝对值都是非负数，因此$\vert a\vert≥0$恒成立，说法正确；
⑤ 所有数的绝对值都是非负数，非负数中最小的数是0，因此绝对值最小的数是0，说法正确。
综上，正确的说法有①②④⑤，共4个。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的计算；绝对值的非负性
【点评】
本题重点考查对绝对值性质的理解和应用，解题时要注意带负号的绝对值运算，需先计算绝对值部分，再处理绝对值外的符号，避免因运算顺序出错导致判断错误。
【难度系数】
0.8
本题考查绝对值的相关性质，解题时先回忆绝对值的定义和性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，所有数的绝对值都是非负数。接下来逐一判断5个说法的正误，统计正确说法的个数，再匹配对应选项即可。
【解析】
我们根据绝对值的性质逐一判断各说法：
① +3.1是正数，正数的绝对值是它本身，因此$\vert +3.1\vert=3.1$，说法正确；
② -2.4是负数，负数的绝对值是它的相反数，因此$\vert -2.4\vert=-(-2.4)=2.4$，说法正确；
③ 先计算内层绝对值：$\vert -5\vert=5$，因此$-\vert -5\vert=-5≠5$，说法错误；
④ 任意有理数的绝对值都是非负数，因此$\vert a\vert≥0$恒成立，说法正确；
⑤ 所有数的绝对值都是非负数，非负数中最小的数是0，因此绝对值最小的数是0，说法正确。
综上，正确的说法有①②④⑤，共4个。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的计算；绝对值的非负性
【点评】
本题重点考查对绝对值性质的理解和应用，解题时要注意带负号的绝对值运算，需先计算绝对值部分，再处理绝对值外的符号，避免因运算顺序出错导致判断错误。
【难度系数】
0.8
9 如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，且点B恰好在点A，C的正中间。如果$|a|＞|c|＞|b|$，那么该数轴的原点的位置在（
A.点A的左边
B.点A与点B之间
C.点B与点C之间
D.点C的右边
C
）A.点A的左边
B.点A与点B之间
C.点B与点C之间
D.点C的右边
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心依据：一是绝对值的几何意义，即数轴上某数对应的点到原点的距离就是该数的绝对值，绝对值越大说明点到原点的距离越远；二是点B是AC中点，说明AB与BC长度相等。我们可以通过分类讨论原点的四个可能位置，结合已知的$|a|＞|c|＞|b|$的条件逐一排除错误选项，也可以举符合条件的特例验证选项是否正确。
【解析】
1. 梳理已知条件：①数轴上从左到右依次为A、B、C，对应数满足$a＜b＜c$；②B是AC中点，故$AB=BC$；③$|a|$是A到原点的距离，$|c|$是C到原点的距离，$|b|$是B到原点的距离，且$|a|＞|c|＞|b|$。
2. 逐一分析选项：
选项A：若原点在点A左边，那么$a、b、c$均为正数，可得$a＜b＜c$，因此$|a|＜|b|＜|c|$，与已知$|a|＞|c|＞|b|$矛盾，排除；
选项B：若原点在点A与点B之间，那么$a＜0$，$b、c$均为正数，此时C到原点的距离大于A到原点的距离，即$|c|＞|a|$，与已知$|a|＞|c|$矛盾，排除；
选项C：若原点在点B与点C之间，那么$a、b$均为负数，$c$为正数，此时B到原点的距离最小（$|b|$最小），又因为$AB=BC$，所以A到原点的距离大于C到原点的距离，即$|a|＞|c|$，刚好满足$|a|＞|c|＞|b|$，符合条件；
选项D：若原点在点C的右边，那么$a、b、c$均为负数，可得$a＜b＜c＜0$，因此$|a|＞|b|＞|c|$，与已知$|c|＞|b|$矛盾，排除。
【答案】
C
【知识点】
数轴的认识，绝对值的几何意义
【点评】
本题结合数轴和绝对值的性质考查分类讨论思想，解题时既可以通过分类推导排除错误选项，也可以通过赋值举特例的方法快速得出答案，能有效考查对绝对值几何意义的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两个核心依据：一是绝对值的几何意义，即数轴上某数对应的点到原点的距离就是该数的绝对值，绝对值越大说明点到原点的距离越远；二是点B是AC中点，说明AB与BC长度相等。我们可以通过分类讨论原点的四个可能位置，结合已知的$|a|＞|c|＞|b|$的条件逐一排除错误选项，也可以举符合条件的特例验证选项是否正确。
【解析】
1. 梳理已知条件：①数轴上从左到右依次为A、B、C，对应数满足$a＜b＜c$；②B是AC中点，故$AB=BC$；③$|a|$是A到原点的距离，$|c|$是C到原点的距离，$|b|$是B到原点的距离，且$|a|＞|c|＞|b|$。
2. 逐一分析选项：
选项A：若原点在点A左边，那么$a、b、c$均为正数，可得$a＜b＜c$，因此$|a|＜|b|＜|c|$，与已知$|a|＞|c|＞|b|$矛盾，排除；
选项B：若原点在点A与点B之间，那么$a＜0$，$b、c$均为正数，此时C到原点的距离大于A到原点的距离，即$|c|＞|a|$，与已知$|a|＞|c|$矛盾，排除；
选项C：若原点在点B与点C之间，那么$a、b$均为负数，$c$为正数，此时B到原点的距离最小（$|b|$最小），又因为$AB=BC$，所以A到原点的距离大于C到原点的距离，即$|a|＞|c|$，刚好满足$|a|＞|c|＞|b|$，符合条件；
选项D：若原点在点C的右边，那么$a、b、c$均为负数，可得$a＜b＜c＜0$，因此$|a|＞|b|＞|c|$，与已知$|c|＞|b|$矛盾，排除。
【答案】
C
【知识点】
数轴的认识，绝对值的几何意义
【点评】
本题结合数轴和绝对值的性质考查分类讨论思想，解题时既可以通过分类推导排除错误选项，也可以通过赋值举特例的方法快速得出答案，能有效考查对绝对值几何意义的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
10（易错题）（1）绝对值等于2026的数是
（2）绝对值小于2的整数是
（3）绝对值不大于3的负整数是
$\pm2026$
；（2）绝对值小于2的整数是
$-1,0,1$
；（3）绝对值不大于3的负整数是
$-3,-2,-1$
。答案
10.(1) $\pm2026$
(2) $-1,0,1$
(3) $-3,-2,-1$
易错分析
10.（1）易漏解$-2026$；
（2）易漏解$0$,另外小于2不包括2；
（3）不大于3包括3,且求的是负整数。
(2) $-1,0,1$
(3) $-3,-2,-1$
易错分析
10.（1）易漏解$-2026$；
（2）易漏解$0$,另外小于2不包括2；
（3）不大于3包括3,且求的是负整数。
解析
【分析】
解题前先明确绝对值的定义：数轴上一个数对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，互为相反数的两个数绝对值相等。
（1）求绝对值等于2026的数，就是找距离原点长度为2026的点对应的数，原点左右各一个，注意不要漏掉负数；
（2）求绝对值小于2的整数，先明确“小于2”不包含2，即对应数的范围是大于-2且小于2，再从范围内找出整数，注意不要漏掉0；
（3）求绝对值不大于3的负整数，先明确“不大于3”是小于等于3，对应数的范围是大于等于-3且小于等于3，再从范围内筛选出负整数，注意不要包含正整数和0。
【解析】
（1）根据绝对值的性质：$|2026|=2026$，$|-2026|=2026$，因此绝对值等于2026的数是$\pm2026$；
（2）设该整数为$x$，由题意得$|x|＜2$，即$-2＜x＜2$，符合条件的整数为$-1,0,1$；
（3）设该负整数为$x$，由题意得$|x|≤3$，即$-3≤ x≤3$，其中符合条件的负整数为$-3,-2,-1$。
【答案】
(1) $\pm2026$
(2) $-1,0,1$
(3) $-3,-2,-1$
【知识点】
绝对值的定义；绝对值的性质；有理数的分类
【点评】
本题是绝对值相关的基础易错题，主要考查对绝对值含义的理解和取值范围的判断，易错点在于容易漏解（如漏掉负数、漏掉0），或对“小于”“不大于”等边界表述理解错误，解题时需全面考虑所有符合条件的数，明确边界的取舍规则。
【难度系数】
0.7
解题前先明确绝对值的定义：数轴上一个数对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，互为相反数的两个数绝对值相等。
（1）求绝对值等于2026的数，就是找距离原点长度为2026的点对应的数，原点左右各一个，注意不要漏掉负数；
（2）求绝对值小于2的整数，先明确“小于2”不包含2，即对应数的范围是大于-2且小于2，再从范围内找出整数，注意不要漏掉0；
（3）求绝对值不大于3的负整数，先明确“不大于3”是小于等于3，对应数的范围是大于等于-3且小于等于3，再从范围内筛选出负整数，注意不要包含正整数和0。
【解析】
（1）根据绝对值的性质：$|2026|=2026$，$|-2026|=2026$，因此绝对值等于2026的数是$\pm2026$；
（2）设该整数为$x$，由题意得$|x|＜2$，即$-2＜x＜2$，符合条件的整数为$-1,0,1$；
（3）设该负整数为$x$，由题意得$|x|≤3$，即$-3≤ x≤3$，其中符合条件的负整数为$-3,-2,-1$。
【答案】
(1) $\pm2026$
(2) $-1,0,1$
(3) $-3,-2,-1$
【知识点】
绝对值的定义；绝对值的性质；有理数的分类
【点评】
本题是绝对值相关的基础易错题，主要考查对绝对值含义的理解和取值范围的判断，易错点在于容易漏解（如漏掉负数、漏掉0），或对“小于”“不大于”等边界表述理解错误，解题时需全面考虑所有符合条件的数，明确边界的取舍规则。
【难度系数】
0.7
11 计算:
(1) $\left|-3\dfrac{4}{5}\right| - \left|+\dfrac{4}{5}\right| + \left|-3\dfrac{1}{2}\right|$；
(2) $\left|-49\right| × \left|-2\dfrac{1}{7}\right| - \left|+46\right|$.
(1) $\left|-3\dfrac{4}{5}\right| - \left|+\dfrac{4}{5}\right| + \left|-3\dfrac{1}{2}\right|$；
(2) $\left|-49\right| × \left|-2\dfrac{1}{7}\right| - \left|+46\right|$.
答案
11.(1) $6\dfrac{1}{2}$
(2) 59
(2) 59
解析
【分析】
本题是含绝对值的有理数运算题，解题思路如下：第一步先根据绝对值的性质化简所有绝对值项：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；第二步按照有理数的运算顺序计算，同级运算从左到右依次计算，两级运算先算乘除后算加减，最终求出结果即可。
【解析】
(1) 先化简各绝对值项：
$\left|-3\dfrac{4}{5}\right|=3\dfrac{4}{5}$，$\left|+\dfrac{4}{5}\right|=\dfrac{4}{5}$，$\left|-3\dfrac{1}{2}\right|=3\dfrac{1}{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=3\dfrac{4}{5} - \dfrac{4}{5} + 3\dfrac{1}{2}\\&=3 + 3\dfrac{1}{2}\\&=6\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 先化简各绝对值项，同时把带分数化为假分数：
$\left|-49\right|=49$，$\left|-2\dfrac{1}{7}\right|=2\dfrac{1}{7}=\dfrac{15}{7}$，$\left|+46\right|=46$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=49×\dfrac{15}{7} - 46\\&=7×15 - 46\\&=105 - 46\\&=59\end{aligned}$
【答案】
(1) $6\dfrac{1}{2}$；(2) $59$
【知识点】
绝对值的化简；有理数加减法；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查绝对值的性质和有理数运算规则，计算时注意先化简绝对值，再按运算顺序计算，带分数参与乘法运算时先化为假分数可降低出错概率。
【难度系数】
0.85
本题是含绝对值的有理数运算题，解题思路如下：第一步先根据绝对值的性质化简所有绝对值项：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；第二步按照有理数的运算顺序计算，同级运算从左到右依次计算，两级运算先算乘除后算加减，最终求出结果即可。
【解析】
(1) 先化简各绝对值项：
$\left|-3\dfrac{4}{5}\right|=3\dfrac{4}{5}$，$\left|+\dfrac{4}{5}\right|=\dfrac{4}{5}$，$\left|-3\dfrac{1}{2}\right|=3\dfrac{1}{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=3\dfrac{4}{5} - \dfrac{4}{5} + 3\dfrac{1}{2}\\&=3 + 3\dfrac{1}{2}\\&=6\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 先化简各绝对值项，同时把带分数化为假分数：
$\left|-49\right|=49$，$\left|-2\dfrac{1}{7}\right|=2\dfrac{1}{7}=\dfrac{15}{7}$，$\left|+46\right|=46$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=49×\dfrac{15}{7} - 46\\&=7×15 - 46\\&=105 - 46\\&=59\end{aligned}$
【答案】
(1) $6\dfrac{1}{2}$；(2) $59$
【知识点】
绝对值的化简；有理数加减法；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查绝对值的性质和有理数运算规则，计算时注意先化简绝对值，再按运算顺序计算，带分数参与乘法运算时先化为假分数可降低出错概率。
【难度系数】
0.85
12 新情境 生活实际 [2024 威海改编]某车间生产一批圆形机器零件，从中抽取6个进行检验，比规定直径长的毫米数记作正数，比规定直径短的毫米数记作负数，记录结果如下表：
第几个零件好一些？请用学过的绝对值知识来说明理由。
第几个零件好一些？请用学过的绝对值知识来说明理由。
答案
12. 第6个零件好一些 理由:因为$|+0.2|=0.2,|-0.3|=0.3,|-0.2|=0.2,|+0.3|=0.3,|+0.4|=0.4,|-0.1|=0.1$,其中0.1最小,所以第6个零件好一些.
解析
【分析】
要判断哪个零件更好，首先明确偏差的绝对值代表零件实际直径和规定直径的偏离程度：绝对值越小，说明零件尺寸越接近规定标准，质量越好。解题时先计算每个偏差值的绝对值，再比较绝对值的大小，最小绝对值对应的零件就是质量最好的。
【解析】
先计算6个零件偏差的绝对值：
$|+0.2|=0.2$，
$|-0.3|=0.3$，
$|-0.2|=0.2$，
$|+0.3|=0.3$，
$|+0.4|=0.4$，
$|-0.1|=0.1$。
比较绝对值大小可得：$0.1＜0.2=0.2＜0.3=0.3＜0.4$，第6个零件的偏差绝对值最小，说明它的直径最接近规定直径，因此第6个零件更好。
【答案】
第6个零件好一些。理由:因为$|+0.2|=0.2,|-0.3|=0.3,|-0.2|=0.2,|+0.3|=0.3,|+0.4|=0.4,|-0.1|=0.1$,其中0.1最小,所以第6个零件好一些。
【知识点】
1.绝对值的意义 2.正负数的实际应用
【点评】
本题结合生产检验的实际场景，考查绝对值知识在实际问题中的应用，解题关键是理解绝对值可以衡量实际值和标准值的偏差程度，绝对值越小越符合标准要求。
【难度系数】
0.8
要判断哪个零件更好，首先明确偏差的绝对值代表零件实际直径和规定直径的偏离程度：绝对值越小，说明零件尺寸越接近规定标准，质量越好。解题时先计算每个偏差值的绝对值，再比较绝对值的大小，最小绝对值对应的零件就是质量最好的。
【解析】
先计算6个零件偏差的绝对值：
$|+0.2|=0.2$，
$|-0.3|=0.3$，
$|-0.2|=0.2$，
$|+0.3|=0.3$，
$|+0.4|=0.4$，
$|-0.1|=0.1$。
比较绝对值大小可得：$0.1＜0.2=0.2＜0.3=0.3＜0.4$，第6个零件的偏差绝对值最小，说明它的直径最接近规定直径，因此第6个零件更好。
【答案】
第6个零件好一些。理由:因为$|+0.2|=0.2,|-0.3|=0.3,|-0.2|=0.2,|+0.3|=0.3,|+0.4|=0.4,|-0.1|=0.1$,其中0.1最小,所以第6个零件好一些。
【知识点】
1.绝对值的意义 2.正负数的实际应用
【点评】
本题结合生产检验的实际场景，考查绝对值知识在实际问题中的应用，解题关键是理解绝对值可以衡量实际值和标准值的偏差程度，绝对值越小越符合标准要求。
【难度系数】
0.8
13（易错题）非零整数m，n满足|m|+|n|=4，请写出所有这样的整数组(m,n)。
答案
13. 当$|m|=1$时,$|n|=3$;当$|m|=2$时,$|n|=2$;当$|m|=3$时,$|n|=1$.所以整数组为$(1,3),(1,-3),(-1,3),(-1,-3),(2,2),(2,-2),(-2,2),(-2,-2),(3,1),(3,-1),(-3,1),(-3,-1)$
易错分析
13. 运用分类讨论解决问题是难点,也是易错点.
易错分析
13. 运用分类讨论解决问题是难点,也是易错点.
解析
【分析】
解题时首先明确题目的两个限制条件：①m、n都是非零整数，因此|m|≥1，|n|≥1；②|m|+|n|=4。我们可以按|m|的可能取值分类讨论，因为|m|最小为1，最大为4-1=3，所以|m|的取值只有1、2、3三种情况，对每种情况先算出对应的|n|，再根据绝对值的意义写出m、n所有可能的正负取值，最后列举出所有符合条件的整数组即可，注意(m,n)是有序数组，顺序不同代表不同的数组，不要漏写。
【解析】
解：
∵m、n是非零整数，
∴|m|≥1，|n|≥1，且|m|、|n|均为正整数。
结合|m|+|n|=4，分情况讨论：
1. 当|m|=1时，|n|=4-1=3：
此时m=±1，n=±3，对应的整数组为(1,3)、(1,-3)、(-1,3)、(-1,-3)；
2. 当|m|=2时，|n|=4-2=2：
此时m=±2，n=±2，对应的整数组为(2,2)、(2,-2)、(-2,2)、(-2,-2)；
3. 当|m|=3时，|n|=4-3=1：
此时m=±3，n=±1，对应的整数组为(3,1)、(3,-1)、(-3,1)、(-3,-1)。
【答案】
(1,3),(1,-3),(-1,3),(-1,-3),(2,2),(2,-2),(-2,2),(-2,-2),(3,1),(3,-1),(-3,1),(-3,-1)
【知识点】
绝对值的性质，分类讨论思想，整数的概念
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是先根据非零整数的限制确定分类标准，按绝对值的取值逐一讨论，要注意每个绝对值对应正负两个取值，同时不要忽略整数组的有序性，避免出现漏解、多解（如写出含0的数组）的错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确题目的两个限制条件：①m、n都是非零整数，因此|m|≥1，|n|≥1；②|m|+|n|=4。我们可以按|m|的可能取值分类讨论，因为|m|最小为1，最大为4-1=3，所以|m|的取值只有1、2、3三种情况，对每种情况先算出对应的|n|，再根据绝对值的意义写出m、n所有可能的正负取值，最后列举出所有符合条件的整数组即可，注意(m,n)是有序数组，顺序不同代表不同的数组，不要漏写。
【解析】
解：
∵m、n是非零整数，
∴|m|≥1，|n|≥1，且|m|、|n|均为正整数。
结合|m|+|n|=4，分情况讨论：
1. 当|m|=1时，|n|=4-1=3：
此时m=±1，n=±3，对应的整数组为(1,3)、(1,-3)、(-1,3)、(-1,-3)；
2. 当|m|=2时，|n|=4-2=2：
此时m=±2，n=±2，对应的整数组为(2,2)、(2,-2)、(-2,2)、(-2,-2)；
3. 当|m|=3时，|n|=4-3=1：
此时m=±3，n=±1，对应的整数组为(3,1)、(3,-1)、(-3,1)、(-3,-1)。
【答案】
(1,3),(1,-3),(-1,3),(-1,-3),(2,2),(2,-2),(-2,2),(-2,-2),(3,1),(3,-1),(-3,1),(-3,-1)
【知识点】
绝对值的性质，分类讨论思想，整数的概念
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是先根据非零整数的限制确定分类标准，按绝对值的取值逐一讨论，要注意每个绝对值对应正负两个取值，同时不要忽略整数组的有序性，避免出现漏解、多解（如写出含0的数组）的错误。
【难度系数】
0.6
