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10 函数$y=|2x|$的图象是（
C
）答案
10. C
解析
【分析】
解题时首先结合绝对值的非负性判断函数值的取值范围，排除不符合的选项；再通过分类讨论x≥0和x＜0两种情况，分别化简函数解析式，对应判断两段函数的图象特征，最终确定正确选项。
第一步：明确绝对值的性质，|a|≥0，因此y=|2x|的函数值恒大于等于0，图象不可能出现在x轴下方（y＜0的区域），可直接排除含第三、四象限图象的选项。
第二步：分情况化简解析式：当x≥0时，2x≥0，此时y=2x，是过原点、经过第一象限的射线，y随x增大而增大；当x＜0时，2x＜0，此时y=-2x，是过原点、经过第二象限的射线，y随x增大而减小，结合剩余选项判断即可。
【解析】
首先根据绝对值的非负性可知：$y=|2x|≥0$，因此函数图象上所有点的纵坐标都非负，图象仅存在于x轴及x轴上方：
选项A、B中存在x轴下方的图象（y＜0），不符合要求，排除；
选项D的图象全部在x轴下方，y均为负，不符合要求，排除；
再分情况讨论解析式：
1. 当$x≥0$时，$|2x|=2x$，此时函数为$y=2x$，是过原点、经过第一象限的射线，y随x的增大而增大；
2. 当$x＜0$时，$|2x|=-2x$，此时函数为$y=-2x$，是过原点、经过第二象限的射线，y随x的增大而减小。
符合该特征的图象为选项C。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质，正比例函数的图象，分段函数分析
【点评】
本题是绝对值与正比例函数图象结合的基础题型，既考查了绝对值的化简，也考查了正比例函数图象的性质，解题时可先通过取值范围快速排除错误选项，降低解题难度，分类讨论是解决这类带绝对值函数题的常用思路。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合绝对值的非负性判断函数值的取值范围，排除不符合的选项；再通过分类讨论x≥0和x＜0两种情况，分别化简函数解析式，对应判断两段函数的图象特征，最终确定正确选项。
第一步：明确绝对值的性质，|a|≥0，因此y=|2x|的函数值恒大于等于0，图象不可能出现在x轴下方（y＜0的区域），可直接排除含第三、四象限图象的选项。
第二步：分情况化简解析式：当x≥0时，2x≥0，此时y=2x，是过原点、经过第一象限的射线，y随x增大而增大；当x＜0时，2x＜0，此时y=-2x，是过原点、经过第二象限的射线，y随x增大而减小，结合剩余选项判断即可。
【解析】
首先根据绝对值的非负性可知：$y=|2x|≥0$，因此函数图象上所有点的纵坐标都非负，图象仅存在于x轴及x轴上方：
选项A、B中存在x轴下方的图象（y＜0），不符合要求，排除；
选项D的图象全部在x轴下方，y均为负，不符合要求，排除；
再分情况讨论解析式：
1. 当$x≥0$时，$|2x|=2x$，此时函数为$y=2x$，是过原点、经过第一象限的射线，y随x的增大而增大；
2. 当$x＜0$时，$|2x|=-2x$，此时函数为$y=-2x$，是过原点、经过第二象限的射线，y随x的增大而减小。
符合该特征的图象为选项C。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质，正比例函数的图象，分段函数分析
【点评】
本题是绝对值与正比例函数图象结合的基础题型，既考查了绝对值的化简，也考查了正比例函数图象的性质，解题时可先通过取值范围快速排除错误选项，降低解题难度，分类讨论是解决这类带绝对值函数题的常用思路。
【难度系数】
0.7
11 (2025 南通海门月考)如图，已知正比例函数$y=x$和$y=3x$，过点$A(2,0)$作$x$轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交于$B$，$C$两点，则$△ OBC$的面积为
4
。答案
11. 4
解析
【分析】
要求△OBC的面积，首先需要确定B、C两点的坐标，进而得到线段BC的长度，再结合三角形面积公式计算即可。首先，过点A(2,0)作x轴的垂线，该直线上所有点的横坐标均为2，因此将x=2分别代入两个正比例函数解析式，即可求出B、C的纵坐标，得到两点坐标；其次，B、C横坐标相同，两点纵坐标的差就是线段BC的长度；最后，点O到直线BC的距离等于A点的横坐标2，利用三角形面积公式即可求出△OBC的面积。
【解析】
解：
∵过点A(2,0)作x轴的垂线，
∴该垂线的解析式为$x=2$。
将$x=2$代入$y=x$，得$y=2$，
∴点B的坐标为$(2,2)$；
将$x=2$代入$y=3x$，得$y=3×2=6$，
∴点C的坐标为$(2,6)$。
∴线段BC的长度为$6-2=4$。
∵点O到直线$x=2$的距离为2，
∴$S_{△ OBC}=\frac{1}{2} × BC × 2 = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
正比例函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先求出B、C两点的坐标得到线段BC的长度，再结合三角形面积公式计算，主要考查对正比例函数图象性质的掌握和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
要求△OBC的面积，首先需要确定B、C两点的坐标，进而得到线段BC的长度，再结合三角形面积公式计算即可。首先，过点A(2,0)作x轴的垂线，该直线上所有点的横坐标均为2，因此将x=2分别代入两个正比例函数解析式，即可求出B、C的纵坐标，得到两点坐标；其次，B、C横坐标相同，两点纵坐标的差就是线段BC的长度；最后，点O到直线BC的距离等于A点的横坐标2，利用三角形面积公式即可求出△OBC的面积。
【解析】
解：
∵过点A(2,0)作x轴的垂线，
∴该垂线的解析式为$x=2$。
将$x=2$代入$y=x$，得$y=2$，
∴点B的坐标为$(2,2)$；
将$x=2$代入$y=3x$，得$y=3×2=6$，
∴点C的坐标为$(2,6)$。
∴线段BC的长度为$6-2=4$。
∵点O到直线$x=2$的距离为2，
∴$S_{△ OBC}=\frac{1}{2} × BC × 2 = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
正比例函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先求出B、C两点的坐标得到线段BC的长度，再结合三角形面积公式计算，主要考查对正比例函数图象性质的掌握和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
12 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(0,3)$,$△ OAB$沿$x$轴向右平移后得到$△ O'A'B'$,点A的对应点$A'$在直线$y=\frac{3}{4}x$上,则点A与点$A'$之间的距离为
4
.答案
12. 4
解析
【分析】
首先明确平移的性质：沿x轴向右平移时，图形上所有点的纵坐标保持不变，仅横坐标增大。已知点A的纵坐标为3，因此平移后点A'的纵坐标也为3。再结合点A'在正比例函数图象上，将y=3代入函数解析式即可求出A'的横坐标，由于A和A'纵坐标相同，两点横坐标的差就是两点间的距离。
【解析】
解：
∵△OAB沿x轴向右平移得到△O'A'B'，点A的坐标为$(0,3)$，
∴点A'的纵坐标与点A相等，即$y_{A'}=3$。
∵点$A'$在直线$y=\frac{3}{4}x$上，
∴把$y=3$代入$y=\frac{3}{4}x$，得$3=\frac{3}{4}x$，
解得$x=4$，即点$A'$的坐标为$(4,3)$。
∵点A、A'纵坐标相同，
∴点A与点$A'$的距离为$|4-0|=4$。
【答案】
4
【知识点】
平移的性质；正比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，解题关键是抓住平移过程中纵坐标不变的规律，结合正比例函数图象上的点满足函数解析式的特征，即可快速求解，考查了对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.8
首先明确平移的性质：沿x轴向右平移时，图形上所有点的纵坐标保持不变，仅横坐标增大。已知点A的纵坐标为3，因此平移后点A'的纵坐标也为3。再结合点A'在正比例函数图象上，将y=3代入函数解析式即可求出A'的横坐标，由于A和A'纵坐标相同，两点横坐标的差就是两点间的距离。
【解析】
解：
∵△OAB沿x轴向右平移得到△O'A'B'，点A的坐标为$(0,3)$，
∴点A'的纵坐标与点A相等，即$y_{A'}=3$。
∵点$A'$在直线$y=\frac{3}{4}x$上，
∴把$y=3$代入$y=\frac{3}{4}x$，得$3=\frac{3}{4}x$，
解得$x=4$，即点$A'$的坐标为$(4,3)$。
∵点A、A'纵坐标相同，
∴点A与点$A'$的距离为$|4-0|=4$。
【答案】
4
【知识点】
平移的性质；正比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，解题关键是抓住平移过程中纵坐标不变的规律，结合正比例函数图象上的点满足函数解析式的特征，即可快速求解，考查了对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.8
13 (2025 南通海门月考)如图，在平面直角坐标系中，正方形 $ A_1B_1C_1A_2, A_2B_2C_2A_3, A_3B_3C_3A_4, \dots $ 的顶点 $ A_1, A_2, A_3, A_4, \dots $ 都在 $ x $ 轴的正半轴上，顶点 $ B_1, B_2, B_3, \dots $ 都在直线 $ y=x $ 上。若点 $ A_1 $ 的坐标为 $ (1,0) $，则点 $ C_{2025} $ 的坐标为
$(2^{2\ 025},2^{2\ 024})$
。答案
13. $(2^{2\ 025},2^{2\ 024})$
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，首先利用直线y=x上的点横纵坐标相等的性质，结合正方形边相等、邻边垂直的特点，先求出前3个点$C_1$、$C_2$、$C_3$的坐标，再观察坐标与序号$n$的对应关系，归纳出$C_n$的坐标规律，最后将$n=2025$代入规律即可得到结果。
【解析】
已知点$A_1$的坐标为$(1,0)$：
1. 求$C_1$的坐标：
因为点$B_1$在直线$y=x$上，且$A_1B_1$垂直$x$轴，所以$B_1$的横坐标为1，纵坐标等于横坐标，即$B_1(1,1)$，则正方形$A_1B_1C_1A_2$的边长为1，因此$A_2$的坐标为$(1+1,0)=(2,0)$，$C_1$的横坐标与$A_2$相同，纵坐标等于正方形边长，即$C_1(2,1)=(2^1,2^0)$。
2. 求$C_2$的坐标：
点$B_2$在直线$y=x$上，横坐标与$A_2$相同为2，所以$B_2(2,2)$，正方形$A_2B_2C_2A_3$的边长为2，$A_3$的坐标为$(2+2,0)=(4,0)$，因此$C_2(4,2)=(2^2,2^1)$。
3. 求$C_3$的坐标：
点$B_3$在直线$y=x$上，横坐标与$A_3$相同为4，所以$B_3(4,4)$，正方形$A_3B_3C_3A_4$的边长为4，$A_4$的坐标为$(4+4,0)=(8,0)$，因此$C_3(8,4)=(2^3,2^2)$。
4. 归纳规律：
观察可得，点$C_n$的坐标为$(2^n,2^{n-1})$。
5. 代入$n=2025$：
当$n=2025$时，$C_{2025}$的坐标为$(2^{2025},2^{2025-1})=(2^{2025},2^{2024})$。
【答案】
$(2^{2025},2^{2024})$
【知识点】
正比例函数图象性质，正方形的性质，规律探究
【点评】
本题是函数与几何结合的规律探究题，解题的核心是先通过计算前几个特殊点的坐标，挖掘序号与横、纵坐标的对应关系，总结出通用规律后再求解对应点坐标，解题时要注意仔细核对坐标的计算，避免规律归纳错误。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件出发，首先利用直线y=x上的点横纵坐标相等的性质，结合正方形边相等、邻边垂直的特点，先求出前3个点$C_1$、$C_2$、$C_3$的坐标，再观察坐标与序号$n$的对应关系，归纳出$C_n$的坐标规律，最后将$n=2025$代入规律即可得到结果。
【解析】
已知点$A_1$的坐标为$(1,0)$：
1. 求$C_1$的坐标：
因为点$B_1$在直线$y=x$上，且$A_1B_1$垂直$x$轴，所以$B_1$的横坐标为1，纵坐标等于横坐标，即$B_1(1,1)$，则正方形$A_1B_1C_1A_2$的边长为1，因此$A_2$的坐标为$(1+1,0)=(2,0)$，$C_1$的横坐标与$A_2$相同，纵坐标等于正方形边长，即$C_1(2,1)=(2^1,2^0)$。
2. 求$C_2$的坐标：
点$B_2$在直线$y=x$上，横坐标与$A_2$相同为2，所以$B_2(2,2)$，正方形$A_2B_2C_2A_3$的边长为2，$A_3$的坐标为$(2+2,0)=(4,0)$，因此$C_2(4,2)=(2^2,2^1)$。
3. 求$C_3$的坐标：
点$B_3$在直线$y=x$上，横坐标与$A_3$相同为4，所以$B_3(4,4)$，正方形$A_3B_3C_3A_4$的边长为4，$A_4$的坐标为$(4+4,0)=(8,0)$，因此$C_3(8,4)=(2^3,2^2)$。
4. 归纳规律：
观察可得，点$C_n$的坐标为$(2^n,2^{n-1})$。
5. 代入$n=2025$：
当$n=2025$时，$C_{2025}$的坐标为$(2^{2025},2^{2025-1})=(2^{2025},2^{2024})$。
【答案】
$(2^{2025},2^{2024})$
【知识点】
正比例函数图象性质，正方形的性质，规律探究
【点评】
本题是函数与几何结合的规律探究题，解题的核心是先通过计算前几个特殊点的坐标，挖掘序号与横、纵坐标的对应关系，总结出通用规律后再求解对应点坐标，解题时要注意仔细核对坐标的计算，避免规律归纳错误。
【难度系数】
0.6
14 如图，点$A(1,4)$在正比例函数$y=mx$的图象上，点$B(3,n)$在正比例函数$y=\frac{2}{3}x$的图象上.
(1) 求$m,n$的值；
(2) 在$x$轴上找一点$P$，使得$PA+PB$的值最小，请求出$PA+PB$的最小值.
(1) 求$m,n$的值；
(2) 在$x$轴上找一点$P$，使得$PA+PB$的值最小，请求出$PA+PB$的最小值.
答案
14. 解:(1) 因为点A(1,4)在正比例函数y=mx的图象上，
所以4=1×m,所以m=4.
因为点B(3,n)在正比例函数$y=\frac{2}{3}x$的图象上，
所以$n=\frac{2}{3}×3=2$，
所以m的值为4,n的值为2.
(2) 如图,作点B关于x轴的对称点B',连接AB'交x轴于点P,此时PA+PB的值最小,最小值为线段AB'的长.
因为点B的坐标为(3,2),所以点B'的坐标为(3,-2),
所以线段AB'的长为$\sqrt{(3-1)^2+(-2-4)^2}=2\sqrt{10}$，
所以PA+PB的最小值为$2\sqrt{10}$.
解析
【分析】
(1) 若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，因此将点A坐标代入$y=mx$即可求m，将点B坐标代入$y=\frac{2}{3}x$即可求n。
(2) 本题为经典的“将军饮马”最短路径问题：根据轴对称性质，作点B关于x轴的对称点$B'$，可得$PB=PB'$，因此$PA+PB=PA+PB'$；根据两点之间线段最短，当A、P、$B'$共线时，$PA+PB'$最小，即为线段$AB'$的长度，最后用两点间距离公式计算即可。
【解析】
(1) $\because$点$A(1,4)$在正比例函数$y=mx$的图象上，
$\therefore 4=1× m$，解得$m=4$。
$\because$点$B(3,n)$在正比例函数$y=\frac{2}{3}x$的图象上，
$\therefore n=\frac{2}{3}×3=2$。
(2) 作点B关于x轴的对称点$B'$，连接$AB'$交x轴于点P，此时$PA+PB$的值最小，最小值为线段$AB'$的长度。
$\because$点B的坐标为$(3,2)$，$\therefore$点$B'$的坐标为$(3,-2)$，
$\therefore AB'=\sqrt{(3-1)^2+(-2-4)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
(1) m的值为4，n的值为2；
(2) $PA+PB$的最小值为$2\sqrt{10}$。
【知识点】
正比例函数图象性质，最短路径问题，两点间距离计算
【点评】
本题属于基础综合题，既考查了正比例函数图象上点的坐标特征，又考查了利用轴对称转化求解线段和最小值的经典模型，解题时需熟练掌握基础知识点，灵活运用转化思想简化问题。
【难度系数】
0.7
(1) 若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，因此将点A坐标代入$y=mx$即可求m，将点B坐标代入$y=\frac{2}{3}x$即可求n。
(2) 本题为经典的“将军饮马”最短路径问题：根据轴对称性质，作点B关于x轴的对称点$B'$，可得$PB=PB'$，因此$PA+PB=PA+PB'$；根据两点之间线段最短，当A、P、$B'$共线时，$PA+PB'$最小，即为线段$AB'$的长度，最后用两点间距离公式计算即可。
【解析】
(1) $\because$点$A(1,4)$在正比例函数$y=mx$的图象上，
$\therefore 4=1× m$，解得$m=4$。
$\because$点$B(3,n)$在正比例函数$y=\frac{2}{3}x$的图象上，
$\therefore n=\frac{2}{3}×3=2$。
(2) 作点B关于x轴的对称点$B'$，连接$AB'$交x轴于点P，此时$PA+PB$的值最小，最小值为线段$AB'$的长度。
$\because$点B的坐标为$(3,2)$，$\therefore$点$B'$的坐标为$(3,-2)$，
$\therefore AB'=\sqrt{(3-1)^2+(-2-4)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
(1) m的值为4，n的值为2；
(2) $PA+PB$的最小值为$2\sqrt{10}$。
【知识点】
正比例函数图象性质，最短路径问题，两点间距离计算
【点评】
本题属于基础综合题，既考查了正比例函数图象上点的坐标特征，又考查了利用轴对称转化求解线段和最小值的经典模型，解题时需熟练掌握基础知识点，灵活运用转化思想简化问题。
【难度系数】
0.7
15 如图，已知四边形ABCD是正方形，点B,C分别在两条直线y=2x和y=kx上，A,D是x轴上的两点.
（1）若此正方形的边长为2，则k=
（2）若此正方形的边长为a，k的值是否会发生变化？若不会发生变化，请说明理由；若会发生变化，求出k的值.
（1）若此正方形的边长为2，则k=
$\frac{2}{3}$
；（2）若此正方形的边长为a，k的值是否会发生变化？若不会发生变化，请说明理由；若会发生变化，求出k的值.
答案
15. 解:(1) $\frac{2}{3}$
(2) $k$的值不会发生变化.理由如下：
因为正方形ABCD的边长为a,所以AB=a.
在y=2x中,当y=a时,$x=\frac{a}{2}$,
所以$OA=\frac{a}{2},OD=\frac{a}{2}+a=\frac{3}{2}a$,
所以点$C(\frac{3}{2}a,a)$,
所以$a=k×\frac{3}{2}a$,
解得$k=\frac{2}{3}$.
(2) $k$的值不会发生变化.理由如下：
因为正方形ABCD的边长为a,所以AB=a.
在y=2x中,当y=a时,$x=\frac{a}{2}$,
所以$OA=\frac{a}{2},OD=\frac{a}{2}+a=\frac{3}{2}a$,
所以点$C(\frac{3}{2}a,a)$,
所以$a=k×\frac{3}{2}a$,
解得$k=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
（1）解决第一问时，先利用正方形边长相等的性质得到点B的纵坐标，代入y=2x求出点B的横坐标即OA的长度；再结合正方形边长算出OD的长度，得到点C的坐标，最后将点C坐标代入y=kx即可求出k值。
（2）解决第二问时，将正方形边长设为a，沿用第一问的思路，先求点B横坐标，再得到点C坐标，代入y=kx化简，观察k的取值是否和a有关即可。
【解析】
（1）已知正方形边长为2，因此AB=AD=2，点B的纵坐标为2。
将y=2代入y=2x，得2=2x，解得x=1，即OA=1。
因此OD=OA+AD=1+2=3，点C的坐标为(3,2)。
把C(3,2)代入y=kx，得2=3k，解得$k=\frac{2}{3}$。
（2）k的值不会发生变化，理由如下：
设正方形的边长为a，则AB=AD=a，点B的纵坐标为a。
将y=a代入y=2x，得a=2x，解得$x=\frac{a}{2}$，即$OA=\frac{a}{2}$。
因此$OD=OA+AD=\frac{a}{2}+a=\frac{3a}{2}$，点C的坐标为$(\frac{3a}{2},a)$。
把$C(\frac{3a}{2},a)$代入y=kx，得$a=k·\frac{3a}{2}$，由于a≠0，两边同时除以a，解得$k=\frac{2}{3}$，k的取值和a无关，因此k的值不会变化。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
（2）k的值不会发生变化，$k=\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
【知识点】
正比例函数图象与性质；正方形的性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题是正比例函数与几何图形的综合基础题，核心是通过正方形的性质确定函数上点的坐标，再代入解析式求解参数，能很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问时，先利用正方形边长相等的性质得到点B的纵坐标，代入y=2x求出点B的横坐标即OA的长度；再结合正方形边长算出OD的长度，得到点C的坐标，最后将点C坐标代入y=kx即可求出k值。
（2）解决第二问时，将正方形边长设为a，沿用第一问的思路，先求点B横坐标，再得到点C坐标，代入y=kx化简，观察k的取值是否和a有关即可。
【解析】
（1）已知正方形边长为2，因此AB=AD=2，点B的纵坐标为2。
将y=2代入y=2x，得2=2x，解得x=1，即OA=1。
因此OD=OA+AD=1+2=3，点C的坐标为(3,2)。
把C(3,2)代入y=kx，得2=3k，解得$k=\frac{2}{3}$。
（2）k的值不会发生变化，理由如下：
设正方形的边长为a，则AB=AD=a，点B的纵坐标为a。
将y=a代入y=2x，得a=2x，解得$x=\frac{a}{2}$，即$OA=\frac{a}{2}$。
因此$OD=OA+AD=\frac{a}{2}+a=\frac{3a}{2}$，点C的坐标为$(\frac{3a}{2},a)$。
把$C(\frac{3a}{2},a)$代入y=kx，得$a=k·\frac{3a}{2}$，由于a≠0，两边同时除以a，解得$k=\frac{2}{3}$，k的取值和a无关，因此k的值不会变化。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
（2）k的值不会发生变化，$k=\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
【知识点】
正比例函数图象与性质；正方形的性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题是正比例函数与几何图形的综合基础题，核心是通过正方形的性质确定函数上点的坐标，再代入解析式求解参数，能很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
