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6.若$a=\sqrt{2},b=\sqrt{7}$，则$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=$（
A.2
B.4
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{2}$
A
）A.2
B.4
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{2}$
答案
6.A
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简求值，解题思路如下：首先回忆二次根式的相关性质，由于a、b都是正数，可先利用商的算术平方根的性质将待求式化简，再代入a、b的数值计算，相比直接代入运算更简便，也能降低出错概率。
【解析】
解：根据二次根式的性质，对于非负数$x,y$，有$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}(x≥0,y＞0)$，$\sqrt{x^2}=x(x≥0)$。
已知$a=\sqrt{2}＞0$，$b=\sqrt{7}＞0$，因此先化简原式：
$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{14}·\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{\sqrt{14}· a}{b}$
将$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{\sqrt{14}×\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\\&=\sqrt{\dfrac{14}{7}}×\sqrt{2}\\&=\sqrt{2}×\sqrt{2}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心是灵活运用二次根式的性质先化简再求值，能有效简化计算过程，提升解题准确率。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的化简求值，解题思路如下：首先回忆二次根式的相关性质，由于a、b都是正数，可先利用商的算术平方根的性质将待求式化简，再代入a、b的数值计算，相比直接代入运算更简便，也能降低出错概率。
【解析】
解：根据二次根式的性质，对于非负数$x,y$，有$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}(x≥0,y＞0)$，$\sqrt{x^2}=x(x≥0)$。
已知$a=\sqrt{2}＞0$，$b=\sqrt{7}＞0$，因此先化简原式：
$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{14}·\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{\sqrt{14}· a}{b}$
将$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{\sqrt{14}×\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\\&=\sqrt{\dfrac{14}{7}}×\sqrt{2}\\&=\sqrt{2}×\sqrt{2}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心是灵活运用二次根式的性质先化简再求值，能有效简化计算过程，提升解题准确率。
【难度系数】
0.8
7.【开放性问题】若二次根式$\sqrt{28-5a}$是最简二次根式，则正整数a可以为
1(或3或5)
（写一个即可）。答案
7.1(或3或5)
解析
【分析】
解决本题需要分两步思考：第一步，先根据二次根式有意义的条件，确定被开方数必须是非负数，据此列出不等式求出正整数a的取值范围；第二步，结合最简二次根式的定义（被开方数不含能开得尽方的因数），在a的取值范围内筛选出符合要求的取值即可。
【解析】
1. 先确定a的取值范围：
要使二次根式$\sqrt{28-5a}$有意义，则被开方数满足$28-5a≥0$，
解不等式得：$5a≤28$，即$a≤5.6$。
又因为a是正整数，所以a的可能取值为1、2、3、4、5。
2. 结合最简二次根式的定义筛选：
最简二次根式要求被开方数不含能开得尽方的因数：
当a=1时，$28-5×1=23$，23是质数，无开得尽方的因数，符合要求；
当a=2时，$28-5×2=18=9×2$，9是能开得尽方的因数，不符合；
当a=3时，$28-5×3=13$，13是质数，符合要求；
当a=4时，$28-5×4=8=4×2$，4是能开得尽方的因数，不符合；
当a=5时，$28-5×5=3$，3是质数，符合要求。
所以正整数a可以为1、3、5中的任意一个。
【答案】
1（或3或5）
【知识点】
二次根式有意义的条件；最简二次根式的定义
【点评】
本题属于基础的概念应用题，解题时要先保证二次根式有意义，再结合最简二次根式的要求筛选取值，注意不要忽略“正整数”这个限制条件。
【难度系数】
0.8
解决本题需要分两步思考：第一步，先根据二次根式有意义的条件，确定被开方数必须是非负数，据此列出不等式求出正整数a的取值范围；第二步，结合最简二次根式的定义（被开方数不含能开得尽方的因数），在a的取值范围内筛选出符合要求的取值即可。
【解析】
1. 先确定a的取值范围：
要使二次根式$\sqrt{28-5a}$有意义，则被开方数满足$28-5a≥0$，
解不等式得：$5a≤28$，即$a≤5.6$。
又因为a是正整数，所以a的可能取值为1、2、3、4、5。
2. 结合最简二次根式的定义筛选：
最简二次根式要求被开方数不含能开得尽方的因数：
当a=1时，$28-5×1=23$，23是质数，无开得尽方的因数，符合要求；
当a=2时，$28-5×2=18=9×2$，9是能开得尽方的因数，不符合；
当a=3时，$28-5×3=13$，13是质数，符合要求；
当a=4时，$28-5×4=8=4×2$，4是能开得尽方的因数，不符合；
当a=5时，$28-5×5=3$，3是质数，符合要求。
所以正整数a可以为1、3、5中的任意一个。
【答案】
1（或3或5）
【知识点】
二次根式有意义的条件；最简二次根式的定义
【点评】
本题属于基础的概念应用题，解题时要先保证二次根式有意义，再结合最简二次根式的要求筛选取值，注意不要忽略“正整数”这个限制条件。
【难度系数】
0.8
8.【传统文化】如图，团扇是中国传统工艺品，现某课外小组手工制作了一个长为$\sqrt{120π}$ cm、宽为$\sqrt{30π}$ cm的长方形扇面和一个圆
扇面，若两个扇面的面积相等，求圆形扇面的半径。
扇面，若两个扇面的面积相等，求圆形扇面的半径。答案
8.解:设圆形扇面的半径为$r$ cm，
则$\sqrt{120π} ×\sqrt{30π} =πr^2$,所以$r^2=60$。
因为$r＞0$,所以$r=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$。
因此,圆形扇面的半径为$2\sqrt{15}$ cm。
则$\sqrt{120π} ×\sqrt{30π} =πr^2$,所以$r^2=60$。
因为$r＞0$,所以$r=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$。
因此,圆形扇面的半径为$2\sqrt{15}$ cm。
解析
【分析】
解题时首先提取题干的等量关系：长方形扇面的面积与圆形扇面的面积相等。我们可以先设圆形扇面的半径为r cm，再分别结合长方形面积公式（长×宽）、圆的面积公式（πr²）表示出两个扇面的面积，根据等量关系列方程。接下来运用二次根式的乘法法则计算长方形面积，再解方程求出r的取值，注意半径为正数，需舍去负根，最后化简二次根式即可得到结果。
【解析】
解：设圆形扇面的半径为$r$ cm，
根据面积相等可得：$\sqrt{120π} ×\sqrt{30π} =πr^2$
根据二次根式乘法法则计算左边：$\sqrt{120π×30π}=\sqrt{3600π^2}=60π$
因此等式可化为：$60π=πr^2$
两边同时除以$π$得：$r^2=60$
因为半径$r＞0$，所以$r=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$
【答案】
$2\sqrt{15}$ cm
【知识点】
二次根式的运算、图形面积计算、列方程解应用题
【点评】
本题结合传统团扇文化命题，贴近生活，核心考查二次根式的计算和几何面积公式的应用，解题的关键是找准面积相等的等量关系，同时要注意实际问题中未知量的取值需符合实际意义，二次根式结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
解题时首先提取题干的等量关系：长方形扇面的面积与圆形扇面的面积相等。我们可以先设圆形扇面的半径为r cm，再分别结合长方形面积公式（长×宽）、圆的面积公式（πr²）表示出两个扇面的面积，根据等量关系列方程。接下来运用二次根式的乘法法则计算长方形面积，再解方程求出r的取值，注意半径为正数，需舍去负根，最后化简二次根式即可得到结果。
【解析】
解：设圆形扇面的半径为$r$ cm，
根据面积相等可得：$\sqrt{120π} ×\sqrt{30π} =πr^2$
根据二次根式乘法法则计算左边：$\sqrt{120π×30π}=\sqrt{3600π^2}=60π$
因此等式可化为：$60π=πr^2$
两边同时除以$π$得：$r^2=60$
因为半径$r＞0$，所以$r=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$
【答案】
$2\sqrt{15}$ cm
【知识点】
二次根式的运算、图形面积计算、列方程解应用题
【点评】
本题结合传统团扇文化命题，贴近生活，核心考查二次根式的计算和几何面积公式的应用，解题的关键是找准面积相等的等量关系，同时要注意实际问题中未知量的取值需符合实际意义，二次根式结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
