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【典例1】已知抛物线$y=-\frac{3}{4}x^2+\frac{9}{4}x+3$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，点$P$在第一象限的抛物线上，$PQ⊥ x$轴交$AB$于点$M$，若$PM=3$，求点$P$的坐标。
答案
解:易知 A(4,0),B(0,3),
直线 AB 的解析式为 $y=-\frac{3}{4}x+3$,
设 $P(m,-\frac{3}{4}m^2+\frac{9}{4}m+3)$,
$\therefore M(m,-\frac{3}{4}m+3)$,
$\therefore PM = y_P - y_M = -\frac{3}{4} m^2 + \frac{9}{4} m + 3 -(-\frac{3}{4}m+3)$
$= -\frac{3}{4}m^2 +3m =3$,
$\therefore m^2 -4m +4=0$,
$\therefore m=2,\therefore P(2,\frac{9}{2})$.
直线 AB 的解析式为 $y=-\frac{3}{4}x+3$,
设 $P(m,-\frac{3}{4}m^2+\frac{9}{4}m+3)$,
$\therefore M(m,-\frac{3}{4}m+3)$,
$\therefore PM = y_P - y_M = -\frac{3}{4} m^2 + \frac{9}{4} m + 3 -(-\frac{3}{4}m+3)$
$= -\frac{3}{4}m^2 +3m =3$,
$\therefore m^2 -4m +4=0$,
$\therefore m=2,\therefore P(2,\frac{9}{2})$.
变式1.如图，直线$y=x+4$交抛物线$y=x^2$于A，B两点，交y轴于C点，点M在线段AB上，$MN// y$轴交抛物线$y=x^2$于N点，若$MN=\frac{1}{2}OC$，则点N的坐标为
(2,4)或(-1,1)
。答案
1. (2,4)或(-1,1)
解:设 $N(m,m^2)$,
则 $M(m,m+4)$,
$\because MN=\frac{1}{2}OC=2$,
$\therefore m+4 -m^2=2$,
$\therefore m_1=2,m_2=-1$,
$\therefore N(2,4)$或 $N(-1,1)$.
解:设 $N(m,m^2)$,
则 $M(m,m+4)$,
$\because MN=\frac{1}{2}OC=2$,
$\therefore m+4 -m^2=2$,
$\therefore m_1=2,m_2=-1$,
$\therefore N(2,4)$或 $N(-1,1)$.
变式2.如图，抛物线$y=x^2-2x-3$与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点E在第四象限抛物线上，$EF⊥AB$于F点，求$\frac{AF · BF}{EF}$的值。
答案
解:设 $E(m,m^2-2m-3)$,
$\therefore EF=2m+3 -m^2$,
$AF=m+1,BF=3-m$,
$\therefore \frac{AF · BF}{EF} = \frac{(m+1)(3-m)}{2m+3-m^2}=1$.
$\therefore EF=2m+3 -m^2$,
$AF=m+1,BF=3-m$,
$\therefore \frac{AF · BF}{EF} = \frac{(m+1)(3-m)}{2m+3-m^2}=1$.
【典例2】已知抛物线$y=x^2-2x-3$与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P在线段BC上，$PM// AB$交抛物线于点M(点M在第四象限)且$PM=2$，求点P的坐标。
答案
解:易知 B(3,0),C(0,-3),
直线 BC 的解析式为 $y=x-3$,
过点 M 作 y 轴的平行线交 BC 于点 N,
$\therefore MN=MP=2$,
设 $M(m,m^2-2m-3)$,
$\therefore N(m,m-3)$,
$\therefore MN = y_N - y_M = m -3 -(m^2 -2m -3)=3m -m^2=2$,
$m_1=1,m_2=2,m-2\ge0$,
$\therefore m=2$,此时 $P(0,-3)$.
