1 新考向 新定义题[2024河北]在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度.若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点$Q_{16}(-1,9)$，则点Q的坐标为（）

A.$(6,1)$或$(7,1)$
B.$(15,-7)$或$(8,0)$
C.$(6,0)$或$(8,0)$
D.$(5,1)$或$(7,1)$

1. D

2 [2025德阳改编]如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB₁C₁的位置，再到△A₁B₁C₂的位置……依次进行下去.已知点A(4,0)，B(0,3)，则点C₁₀₀的坐标为. (第2题)

2. (600,0)
【解析】根据题意,可知每滚动3次为一个周期,点$C_1,C_3,C_5···$在第一象限,点$C_2,C_4,C_6···$在$x$轴上.
$\because A(4,0),B(0,3),\therefore OA=4,OB=3,\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$,$\therefore$点$C_2$的横坐标为$4+5+3=12=2×6$.同理,可得点$C_4$的横坐标为$4×6$,点$C_6$的横坐标为$6×6,···$,
$\therefore$点$C_{2n}$的横坐标为$2n×6$($n$为正整数),$\therefore$点$C_{100}$的横坐标为$100×6=600$,$\therefore$点$C_{100}$的坐标为$(600,0)$.

3 [2025齐齐哈尔改编]如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点$A_1(1,1)$；把点$A_1$向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点$A_2(-1,3)$；把点$A_2$向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点$A_3(-4,0)$；把点$A_3$向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点$A_4(0,-4)$……依次进行下去，则点$A_{10}$的坐标为。（第3题）

3. (-1,11)

4 如果将点 P 绕定点 M 旋转 180°后与点 Q 重合，那么称点 P 与点 Q 关于点 M 对称，定点 M 叫作对称中心，此时，M 是线段 PQ 的中点。如图，在平面直角坐标系中，△ABO 的顶点 A，B，O 的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(0,0)。点列 P₁，P₂，P₃…中的相邻两点都关于△ABO 的一个顶点对称：点 P₁ 与点 P₂ 关于点 A 对称，点 P₂ 与点 P₃ 关于点 B 对称，点 P₃ 与点 P₄ 关于点 O 对称，点 P₄ 与点 P₅ 关于点 A 对称，点 P₅ 与点 P₆ 关于点 B 对称，点 P₆ 与点 P₇ 关于点 O 对称……对称中心分别是点 A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环。已知点 P₁ 的坐标是(1,1)，试求点 P₂，P₇，P₁₀₀ 的坐标。

4. 根据所给的坐标,可知$O$为坐标原点.由于点$P_1$与点$P_2$关于点$A$对称,且点$P_1$的坐标是$(1,1),\therefore$点$P_2$的坐标是$(1,-1)$.$\because$点$P_2$与点$P_3$关于点$B$对称,$\therefore$点$P_3$的坐标是$(-1,3)$.$\because$点$P_3$与点$P_4$关于点$O$对称,$\therefore$点$P_4$的坐标是$(1,-3)$.$\because$点$P_4$与点$P_5$关于点$A$对称,$\therefore$点$P_5$的坐标是$(1,3)$.$\because$点$P_5$与点$P_6$关于点$B$对称,$\therefore$点$P_6$的坐标是$(-1,-1)$.$\because$点$P_6$与点$P_7$关于点$O$对称,$\therefore$点$P_7$的坐标是$(1,1)$.此时点$P_7$与点$P_1$重合.依次类推,反复循环,即点$P_8$与点$P_2$重合,点$P_9$与点$P_3$重合,点$P_{10}$与点$P_4$重合,点$P_{11}$与点$P_5$重合,点$P_{12}$与点$P_6$重合,点$P_{13}$与点$P_7$重合(即与点$P_1$重合),由此推断,点$P_n$的位置变换是以每6次对称为一个周期进行循环的.$\because 100=16×6+4$,$\therefore$点$P_{100}$的坐标与点$P_4$的坐标一致,即点$P_{100}$的坐标为$(1,-3)$