3. 如图,在$△ ABC$中,$D$是$BC$的中点,$DE ⊥ AB$于$E$,$DF ⊥ AC$于点$F$,且$BE=CF$.求证:
$AD$平分$∠ BAC$.

证明：$\because D$是$BC$的中点，$\therefore BD = CD。$
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，$\begin{cases}BD = CD\\BE = CF\end{cases}，$
$\therefore Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF(HL)，$
$\therefore DE = DF，$
$\therefore$点$D$在$\angle BAC$的平分线上，即$AD$平分$\angle BAC。$

1. 若等腰三角形中有一个角为$50°$,则这个等腰三角形的顶角的度数为 （ ）
A. $50°$
B. $80°$
C. $65°$或$50°$
D. $50°$或$80°$

D

2. 如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,若C也是图中的格点,且使得$△ ABC$为等腰三角形,则符合条件的点C有 （ ）
A. 6个
B. 7个
C. 8个
D. 9个

C

3. 在等腰三角形$ABC$中，$AB=AC$，一边上的中线$BD$将这个三角形的周长分为12和18两个部分，则这个等腰三角形的底边长为 （ ）
A. 6或14
B. 12或14
C. 8或14
D. 6或8

A

4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=10$,$AC=8$,$∠ ABC$、$∠ ACB$的平分线相交于点$O$,$MN$过点$O$,且$MN // BC$,分别交$AB$、$AC$于点$M$、$N$,则$△ AMN$的周长为$\underline{\hspace{5em}}$.

18

5. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$45°$,则这个等腰三角形的顶角的度数为______.

$45^{\circ}$或$135^{\circ}$

6. 如图,在$△ ABC$和$△ AED$中,$AB=AC$,$AE=AD$,$∠ BAC=∠ EAD$,且点$E$、$A$、$B$在同一直线上,点$C$、$D$在$EB$同侧,连接$BD$、$CE$交于点$M$.
(1)求证:$△ ABD≌△ ACE$.
(2)若$∠ CAD=110°$,求$∠ DME$的度数.

(1)证明：$\because\angle BAC = \angle EAD，$
$\therefore\angle BAC + \angle DAC = \angle EAD + \angle DAC，$
即$\angle BAD = \angle CAE。$
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，$\begin{cases}AD = AE\\\angle BAD = \angle CAE\\AB = AC\end{cases}，$
$\therefore\triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS)。$ (2)$\because\angle BAC = \angle EAD，$$\angle CAD = 110^{\circ}，$
$\therefore\angle BAC = \angle EAD = \frac{180^{\circ}-\angle CAD}{2}=\frac{180^{\circ}-110^{\circ}}{2}=35^{\circ}。$
$\because\angle BAC$是$\triangle EAC$的外角，$\therefore\angle BAC = \angle AEC + \angle ACE = 35^{\circ}。$
$\because\triangle ABD\cong\triangle ACE，$$\therefore\angle ABD = \angle ACE。$
$\because\angle DME$是$\triangle BME$的外角，$\therefore\angle DME = \angle AEC + \angle ABD = \angle AEC + \angle ACE = \angle BAC = 35^{\circ}。$