12. 在一次数学探究学习活动中,某数学兴趣小组计划制作一个圆锥模型(尺寸大小如图①,单位为 cm),操作规则是:在一张正方形的纸片上剪出一个扇形和一个圆,使得扇形围成圆锥的侧面时,圆恰好是该圆锥的底面.经过初步商量后,兴趣小组设计了两种方案(如图②),最后发现根据方案一无法制作出相关模型.(两种方案的图中,两圆圆心$O_1$、$O_2$与正方形纸片$O_1BCD$的顶点 C 在同一条直线上)
(1)请根据圆锥模型的尺寸(如图①),求出该圆锥的全面积;(结果保留$π$)
(2)请说明方案一不可行的理由;
(3)根据方案二最终成功制作出圆锥模型,求方案二中正方形纸片的边长.

解：​$(1)$​由题意，圆锥的母线长​$l = 16\ \mathrm {cm}，$​底面圆的半径​$r = 4\ \mathrm {cm}。$​​$ $​圆锥的全面积​$S=\pi r^2+\frac {1}{2}lR$​​$=\pi ×4^2+\frac {1}{2}×2×4×\pi ×16$​​$=16\pi + 64\pi$​​$=80\pi (\mathrm {cm}^2)。$​​$ (2)$​设​$\odot O_{2}$​与正方形​$BC$​边相切于点​$E，$​连接​$O_{2}E。$​​$ $​因为四边形​$O_{1}BCD$​是正方形，所以​$∠O_{1}CB = 45°，$​​$O_{1}C = 16\sqrt {2}\mathrm {cm}。$​设​$O_{2}E = r\mathrm {cm}，$​则​$O_{2}C=\sqrt {2}r\mathrm {cm}，$​所以​$O_{1}C=16 + r+\sqrt {2}r = 16\sqrt {2}，$​即​$r+\sqrt {2}r=16\sqrt {2}-16，$​​$r(1 + \sqrt {2})=16(\sqrt {2}-1)，$​​$r=\frac {16(\sqrt {2}-1)}{\sqrt {2}+1}=\frac {16(\sqrt {2}-1)^2}{(\sqrt {2}+1)(\sqrt {2}-1)}=48 - 32\sqrt {2}。$​​$ \overset {\frown }{BD}$​的长为​$\frac {90×16\pi }{180}=8\pi (\mathrm {cm})，$​​$\odot O_{2}$​的周长为​$2\pi r=2\pi ×(48 - 32\sqrt {2})$​​$=(96 - 64\sqrt {2})\pi\mathrm {cm}。$​因为​$8\pi \neq(96 - 64\sqrt {2})\pi ，$​所以方案一不可行。​$ (3)$​设​$\odot O_{2}$​与正方形​$BC$​边相切于点​$F，$​连接​$O_{2}F，$​设​$O_{2}F = r\mathrm {cm}。$​ 由圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长可得​$\frac {90×16\pi }{180}=2\pi r，$​解得​$r = 4。$​​$ O_{1}C=16 + 4+4\sqrt {2}=(20 + 4\sqrt {2})\mathrm {cm}。$​​$ $​因为四边形​$O_{1}BCD$​是正方形，​$∠O_{1}CB = 45°，$​所以​$BC=\frac {\sqrt {2}}{2}O_{1}C=(10\sqrt {2}+4)\mathrm {cm}，$​所以方案二中正方形纸片的边长为​$(10\sqrt {2}+4)\mathrm {cm}。$​

13. 新考法 阅读下列材料,解决问题:
【材料1】滤纸的折叠方法:如图①,小明将一直径为 10 cm 的圆形滤纸,对折两次,形成$\frac{1}{4}$圆,然后一边一层另外一边三层从中间拉开围成圆锥形,之后可利用三层的滤纸过滤液体.
【材料2】如图②,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,若底边 BC 与腰 AB(或 AC)的比值确定,则该等腰三角形的顶角$∠ A$的大小也是确定的.如:当$\frac{BC}{AB}=\sqrt{2}$时,$∠ A=90°$.

(1)如图③,取一漏斗,忽略漏斗管口处,上部的圆锥形内壁的母线 OB 长为 6 cm,开口圆的直径为 6 cm,则将小明所折的滤纸放入该漏斗中,能否紧贴此漏斗上部圆锥形的内壁?请利用上述材料说明理由.
(2)折好的滤纸可以进行调整,使其重叠部分发生变化.假设有一特殊规格的漏斗,其上部圆锥形母线长为 6 cm,开口圆的直径为7.2 cm,现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形,放入此漏斗中,且能紧贴漏斗内壁.则重叠部分每层的面积为________$\mathrm{cm}^2$.

解​$：(1)$​能​$，$​理由如下​$：$​∵将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层​$ $​为​$\frac {1}{4}$​圆，∴围成的圆锥形的侧面积​$=(1−2×\frac {1}{4})S_{滤纸圆}=\frac {1}{2}S_{滤纸圆}，$​母线长为​$5\ \mathrm {cm}.$​∵​$S=πrl，$​∴围成圆锥形的底面半径为​$2.5\ \mathrm {cm}，$​从正面看，漏斗上部圆锥形是等边三角形,围成圆锥也是 一个等边三角形，故顶角度数相等，故能紧贴此漏斗上部圆锥形的内壁 ; $5\pi$