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1. 如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°. P为$\overset{\frown}{AB}$上一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于点D. 若PD=2，CD=1，则该扇形的半径长为
5
. 答案
1. 5
解析
【分析】
首先观察图形特征：扇形OAB中∠AOB=90°，可得△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=45°。再结合PC⊥OA的条件，可推出△ACD也是等腰直角三角形，得到AC=CD=1。接下来设半径为r，用含r的式子表示出Rt△OPC的两条直角边OC和PC，最后利用勾股定理列方程即可求出半径长度。
【解析】
解：
∵在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=OB（扇形半径相等），
∴△OAB为等腰直角三角形，∠OAB=45°。
∵PC⊥OA，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=CD=1。
设扇形的半径为r，则OA=OP=r，
∴OC=OA - AC = r - 1，PC=PD + CD=2+1=3。
在Rt△OPC中，由勾股定理得：
$OC^2 + PC^2 = OP^2$
即$(r-1)^2 + 3^2 = r^2$
展开得：$r^2 - 2r +1 +9 = r^2$
化简得：$-2r +10 = 0$
解得：$r=5$
【答案】
5
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，扇形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的突破口是根据等腰直角三角形的性质得到AC的长度，再结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征：扇形OAB中∠AOB=90°，可得△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=45°。再结合PC⊥OA的条件，可推出△ACD也是等腰直角三角形，得到AC=CD=1。接下来设半径为r，用含r的式子表示出Rt△OPC的两条直角边OC和PC，最后利用勾股定理列方程即可求出半径长度。
【解析】
解：
∵在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=OB（扇形半径相等），
∴△OAB为等腰直角三角形，∠OAB=45°。
∵PC⊥OA，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=CD=1。
设扇形的半径为r，则OA=OP=r，
∴OC=OA - AC = r - 1，PC=PD + CD=2+1=3。
在Rt△OPC中，由勾股定理得：
$OC^2 + PC^2 = OP^2$
即$(r-1)^2 + 3^2 = r^2$
展开得：$r^2 - 2r +1 +9 = r^2$
化简得：$-2r +10 = 0$
解得：$r=5$
【答案】
5
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，扇形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的突破口是根据等腰直角三角形的性质得到AC的长度，再结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
如图，在$\odot O$中，$M$为弦$AB$上一点，且$AM=2BM=4$，连接$OM$，过$M$作$OM ⊥ MN$交$\odot O$于点$N$，则$MN$的长为（）
A.2.5
B.3
C.$2\sqrt{2}$
D.$\frac{5\sqrt{2}}{3}$
解析 如图，过点$O$作$OC ⊥ AB$于点$C$，连接$AO$，$NO$。
因为$AM=2BM=4$，所以$BM=2$。
所以$AB=AM+BM=4+2=6$。
因为$OC ⊥ AB$，
所以$AC=BC=\frac{1}{2}AB=3$。
所以$MC=BC-BM=3-2=1$。
设$OC=x$。
在$\mathrm{Rt}△ COM$中，根据勾股定理可得$OM^2=OC^2+MC^2=x^2+1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，根据勾股定理可
得$AO^2=OC^2+AC^2=x^2+9$。
所以$NO^2=AO^2=x^2+9$。
因为$OM ⊥ MN$，
所以$MN^2=NO^2-OM^2=x^2+9-(x^2+1)=8$。
所以$MN=2\sqrt{2}$（负值舍去）。
答案 C
A.2.5
B.3
C.$2\sqrt{2}$
D.$\frac{5\sqrt{2}}{3}$
解析 如图，过点$O$作$OC ⊥ AB$于点$C$，连接$AO$，$NO$。
因为$AM=2BM=4$，所以$BM=2$。
所以$AB=AM+BM=4+2=6$。
因为$OC ⊥ AB$，
所以$AC=BC=\frac{1}{2}AB=3$。
所以$MC=BC-BM=3-2=1$。
设$OC=x$。
在$\mathrm{Rt}△ COM$中，根据勾股定理可得$OM^2=OC^2+MC^2=x^2+1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，根据勾股定理可
得$AO^2=OC^2+AC^2=x^2+9$。
所以$NO^2=AO^2=x^2+9$。
因为$OM ⊥ MN$，
所以$MN^2=NO^2-OM^2=x^2+9-(x^2+1)=8$。
所以$MN=2\sqrt{2}$（负值舍去）。
答案 C
答案
C
解析
【分析】
要求MN的长，已知OM⊥MN，因此△OMN是直角三角形，根据勾股定理可得$MN^2=ON^2-OM^2$，只需计算$ON^2$与$OM^2$的差值即可。已知弦AB的分段长度，首先考虑圆中常用辅助线：过圆心作弦的垂线，结合垂径定理得到AB的中点，算出各小线段的长度；再设未知数表示圆心到AB的距离，分别用勾股定理表示$OM^2$和半径（即ON）的平方，两式相减可消去未知数，进而求出MN的长度。
【解析】
解：过点O作$OC⊥AB$于点C，连接AO、NO。
$\because AM=2BM=4$，$\therefore BM=2$，
$\therefore AB=AM+BM=4+2=6$。
$\because OC⊥AB$，根据垂径定理，
$\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=3$，
$\therefore MC=BC-BM=3-2=1$。
设$OC=x$，
在$\mathrm{Rt}△COM$中，由勾股定理得：$OM^2=OC^2+MC^2=x^2+1$，
在$\mathrm{Rt}△AOC$中，由勾股定理得：$AO^2=OC^2+AC^2=x^2+9$，
$\because AO、NO$均为$\odot O$的半径，$\therefore NO=AO$，即$NO^2=AO^2=x^2+9$，
$\because OM⊥MN$，$\therefore △OMN$为直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△OMN$中，由勾股定理得：
$MN^2=NO^2-OM^2=(x^2+9)-(x^2+1)=8$，
$\therefore MN=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$（负值不符合实际，舍去）。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题是圆中线段计算的常见题型，核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理建立等量关系，计算过程中未知数可直接消去，无需求出具体值，掌握圆中常用辅助线的作法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
要求MN的长，已知OM⊥MN，因此△OMN是直角三角形，根据勾股定理可得$MN^2=ON^2-OM^2$，只需计算$ON^2$与$OM^2$的差值即可。已知弦AB的分段长度，首先考虑圆中常用辅助线：过圆心作弦的垂线，结合垂径定理得到AB的中点，算出各小线段的长度；再设未知数表示圆心到AB的距离，分别用勾股定理表示$OM^2$和半径（即ON）的平方，两式相减可消去未知数，进而求出MN的长度。
【解析】
解：过点O作$OC⊥AB$于点C，连接AO、NO。
$\because AM=2BM=4$，$\therefore BM=2$，
$\therefore AB=AM+BM=4+2=6$。
$\because OC⊥AB$，根据垂径定理，
$\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=3$，
$\therefore MC=BC-BM=3-2=1$。
设$OC=x$，
在$\mathrm{Rt}△COM$中，由勾股定理得：$OM^2=OC^2+MC^2=x^2+1$，
在$\mathrm{Rt}△AOC$中，由勾股定理得：$AO^2=OC^2+AC^2=x^2+9$，
$\because AO、NO$均为$\odot O$的半径，$\therefore NO=AO$，即$NO^2=AO^2=x^2+9$，
$\because OM⊥MN$，$\therefore △OMN$为直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△OMN$中，由勾股定理得：
$MN^2=NO^2-OM^2=(x^2+9)-(x^2+1)=8$，
$\therefore MN=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$（负值不符合实际，舍去）。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题是圆中线段计算的常见题型，核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理建立等量关系，计算过程中未知数可直接消去，无需求出具体值，掌握圆中常用辅助线的作法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
