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4.一个圆形花坛原来的直径是18m，扩建后直径增加了$\frac{1}{3}$。扩建后花坛的面积是多少平方米？
答案
$18×(1+\frac{1}{3})=24(\mathrm{m})$ $24÷2=12(\mathrm{m})$ $3.14×12^2=452.16(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
要计算扩建后花坛的面积，首先要明确圆的面积计算公式为$S=π r^2$，因此需要先求出扩建后花坛的半径。解题步骤可分为三步：第一步，把原来的直径看作单位“1”，扩建后直径是原来直径的$(1+\frac{1}{3})$，用乘法可算出扩建后的直径；第二步，用扩建后的直径除以2得到对应的半径；第三步，将半径代入圆的面积公式即可算出最终面积。
【解析】
1. 计算扩建后花坛的直径：
$18×(1+\frac{1}{3})=24(\mathrm{m})$
2. 计算扩建后花坛的半径：
$24÷2=12(\mathrm{m})$
3. 代入圆的面积公式计算扩建后面积：
$3.14×12^2=3.14×144=452.16(\mathrm{m}^2)$
【答案】
452.16平方米
【知识点】
分数乘法应用；圆的面积计算；直径与半径的关系
【点评】
本题是分数运算与几何面积计算的结合题型，解题核心是先找准单位“1”求出扩建后的直径，再结合圆的面积公式计算即可，解题时要注意区分直径和半径，避免代入公式时混淆出错。
【难度系数】
0.8
要计算扩建后花坛的面积，首先要明确圆的面积计算公式为$S=π r^2$，因此需要先求出扩建后花坛的半径。解题步骤可分为三步：第一步，把原来的直径看作单位“1”，扩建后直径是原来直径的$(1+\frac{1}{3})$，用乘法可算出扩建后的直径；第二步，用扩建后的直径除以2得到对应的半径；第三步，将半径代入圆的面积公式即可算出最终面积。
【解析】
1. 计算扩建后花坛的直径：
$18×(1+\frac{1}{3})=24(\mathrm{m})$
2. 计算扩建后花坛的半径：
$24÷2=12(\mathrm{m})$
3. 代入圆的面积公式计算扩建后面积：
$3.14×12^2=3.14×144=452.16(\mathrm{m}^2)$
【答案】
452.16平方米
【知识点】
分数乘法应用；圆的面积计算；直径与半径的关系
【点评】
本题是分数运算与几何面积计算的结合题型，解题核心是先找准单位“1”求出扩建后的直径，再结合圆的面积公式计算即可，解题时要注意区分直径和半径，避免代入公式时混淆出错。
【难度系数】
0.8
5. 一把油纸伞的伞面为圆形，直径是1.2m，伞面边缘装饰有一圈丝带。
(1)这圈丝带的长是多少米？
(2)这把伞的伞面中心是直径为20cm的圆形装饰画，伞面其余部分糊油纸。糊油纸的面积大约是多少平方米？(得数保留两位小数)
(1)这圈丝带的长是多少米？
(2)这把伞的伞面中心是直径为20cm的圆形装饰画，伞面其余部分糊油纸。糊油纸的面积大约是多少平方米？(得数保留两位小数)
答案
(1)$3.14×1.2=3.768(\mathrm{m})$
(2)$3.14×(1.2÷2)^2-3.14×(20÷100÷2)^2≈1.10(\mathrm{m}^2)$
(2)$3.14×(1.2÷2)^2-3.14×(20÷100÷2)^2≈1.10(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
(1) 伞面边缘丝带的长度就是圆形伞面的周长，已知伞面的直径，直接用圆的周长公式即可求出丝带长度。
(2) 糊油纸的面积是伞面大圆的面积减去中心装饰小圆的面积，也就是圆环的面积。解题时首先要统一单位，将厘米换算为米，再分别计算两个圆的面积，最后作差，结果按要求保留两位小数即可。
【解析】
(1) 丝带长度对应直径为1.2m的圆的周长，根据圆的周长公式$C=π d$（$π$取3.14）：
$3.14×1.2=3.768(\mathrm{m})$
(2) 先统一单位：$20\mathrm{cm}=0.2\mathrm{m}$
糊油纸的面积=伞面大圆面积-中心小圆装饰面积，根据圆的面积公式$S=π r^2$：
大圆半径：$1.2÷2=0.6(\mathrm{m})$，大圆面积：$3.14×(0.6)^2=3.14×0.36=1.1304(\mathrm{m}^2)$
小圆半径：$0.2÷2=0.1(\mathrm{m})$，小圆面积：$3.14×(0.1)^2=3.14×0.01=0.0314(\mathrm{m}^2)$
糊油纸面积：$1.1304-0.0314=1.099≈1.10(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $3.768$米
(2) 大约$1.10$平方米
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、圆环面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关公式的实际应用，解题时需注意单位要统一，计算结果要按照要求保留对应位数的小数，能够锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 伞面边缘丝带的长度就是圆形伞面的周长，已知伞面的直径，直接用圆的周长公式即可求出丝带长度。
(2) 糊油纸的面积是伞面大圆的面积减去中心装饰小圆的面积，也就是圆环的面积。解题时首先要统一单位，将厘米换算为米，再分别计算两个圆的面积，最后作差，结果按要求保留两位小数即可。
【解析】
(1) 丝带长度对应直径为1.2m的圆的周长，根据圆的周长公式$C=π d$（$π$取3.14）：
$3.14×1.2=3.768(\mathrm{m})$
(2) 先统一单位：$20\mathrm{cm}=0.2\mathrm{m}$
糊油纸的面积=伞面大圆面积-中心小圆装饰面积，根据圆的面积公式$S=π r^2$：
大圆半径：$1.2÷2=0.6(\mathrm{m})$，大圆面积：$3.14×(0.6)^2=3.14×0.36=1.1304(\mathrm{m}^2)$
小圆半径：$0.2÷2=0.1(\mathrm{m})$，小圆面积：$3.14×(0.1)^2=3.14×0.01=0.0314(\mathrm{m}^2)$
糊油纸面积：$1.1304-0.0314=1.099≈1.10(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $3.768$米
(2) 大约$1.10$平方米
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、圆环面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关公式的实际应用，解题时需注意单位要统一，计算结果要按照要求保留对应位数的小数，能够锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
6.李大爷家院子里原来有一个用50.24m长的篱笆围成的圆形鸡舍，李大爷利用一面墙和原来的篱笆将鸡舍改成了半圆形。鸡舍的面积有变化吗？若有变化，增加或减少了多少平方米？
答案
原鸡舍半径：$50.24÷3.14÷2=8(\mathrm{m})$
原鸡舍面积：$3.14×8^2=200.96(\mathrm{m}^2)$
现鸡舍半径：$50.24÷3.14=16(\mathrm{m})$
现鸡舍面积：$3.14×16^2÷2=401.92(\mathrm{m}^2)$
$401.92-200.96=200.96(\mathrm{m}^2)$ 有变化，增加了$200.96\mathrm{m}^2$。
原鸡舍面积：$3.14×8^2=200.96(\mathrm{m}^2)$
现鸡舍半径：$50.24÷3.14=16(\mathrm{m})$
现鸡舍面积：$3.14×16^2÷2=401.92(\mathrm{m}^2)$
$401.92-200.96=200.96(\mathrm{m}^2)$ 有变化，增加了$200.96\mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
要判断鸡舍面积是否有变化，需要分别求出原来圆形鸡舍的面积和改装后半圆形鸡舍的面积，再比较二者的大小、计算差值。首先，原来的篱笆长度就是圆形鸡舍的周长，可根据圆的周长公式求出原圆形鸡舍的半径，再用圆的面积公式计算原面积；改装后篱笆靠一面墙围成半圆，说明篱笆长度就是半圆的弧长，据此求出半圆形鸡舍的半径，再用半圆面积公式计算现面积，最后对比两个面积即可得出结论。
【解析】
1. 计算原圆形鸡舍的半径：
原来的篱笆长是圆的周长，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得半径$r=C÷π÷2$，代入数据：
$50.24÷3.14÷2=8(\mathrm{m})$
2. 计算原圆形鸡舍的面积：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入数据：
$3.14×8^2=200.96(\mathrm{m}^2)$
3. 计算现半圆形鸡舍的半径：
改装后篱笆长度等于半圆的弧长，半圆弧长公式为$l=π r$，可得半径$r=l÷π$，代入数据：
$50.24÷3.14=16(\mathrm{m})$
4. 计算现半圆形鸡舍的面积：
半圆面积是对应整圆面积的一半，即$S_{\mathrm{半圆}}=π r^2÷2$，代入数据：
$3.14×16^2÷2=401.92(\mathrm{m}^2)$
5. 比较面积差：
$401.92-200.96=200.96(\mathrm{m}^2)$，现面积大于原面积，所以面积增加了。
【答案】
鸡舍面积有变化，增加了200.96平方米。
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、半圆弧长与面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关计算，解题的关键是明确改装前后篱笆的长度分别对应整圆的周长和半圆的弧长，注意区分半圆的弧长和带直径的半圆周长，避免混淆概念导致计算错误。
【难度系数】
0.6
要判断鸡舍面积是否有变化，需要分别求出原来圆形鸡舍的面积和改装后半圆形鸡舍的面积，再比较二者的大小、计算差值。首先，原来的篱笆长度就是圆形鸡舍的周长，可根据圆的周长公式求出原圆形鸡舍的半径，再用圆的面积公式计算原面积；改装后篱笆靠一面墙围成半圆，说明篱笆长度就是半圆的弧长，据此求出半圆形鸡舍的半径，再用半圆面积公式计算现面积，最后对比两个面积即可得出结论。
【解析】
1. 计算原圆形鸡舍的半径：
原来的篱笆长是圆的周长，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得半径$r=C÷π÷2$，代入数据：
$50.24÷3.14÷2=8(\mathrm{m})$
2. 计算原圆形鸡舍的面积：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入数据：
$3.14×8^2=200.96(\mathrm{m}^2)$
3. 计算现半圆形鸡舍的半径：
改装后篱笆长度等于半圆的弧长，半圆弧长公式为$l=π r$，可得半径$r=l÷π$，代入数据：
$50.24÷3.14=16(\mathrm{m})$
4. 计算现半圆形鸡舍的面积：
半圆面积是对应整圆面积的一半，即$S_{\mathrm{半圆}}=π r^2÷2$，代入数据：
$3.14×16^2÷2=401.92(\mathrm{m}^2)$
5. 比较面积差：
$401.92-200.96=200.96(\mathrm{m}^2)$，现面积大于原面积，所以面积增加了。
【答案】
鸡舍面积有变化，增加了200.96平方米。
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、半圆弧长与面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关计算，解题的关键是明确改装前后篱笆的长度分别对应整圆的周长和半圆的弧长，注意区分半圆的弧长和带直径的半圆周长，避免混淆概念导致计算错误。
【难度系数】
0.6
7.扫地机器人在移动过程中可以任意行走，碰到墙壁会自动转弯，并能清洁所有覆盖的地面。学校购买的扫地机器人的底面是一个直径为4dm的圆盘，学校的一间舞蹈训练室的地面为长方形，长10m，宽8m。如果这间训练室内没有障碍物，用这台扫地机器人清洁训练室地面时，清洁不到的面积有多少平方分米？
答案
$(4÷2)×(4÷2)-\frac{1}{4}×3.14×(4÷2)^2=0.86(\mathrm{dm}^2)$
$0.86×4=3.44(\mathrm{dm}^2)$
$0.86×4=3.44(\mathrm{dm}^2)$
解析
【分析】
解题时首先明确：扫地机器人为圆形，长方形房间只有四个直角角落存在清洁盲区，其余区域无障碍物都可清洁到，题干给出的房间长10m、宽8m为多余条件，无需使用。每个角落的盲区是：当圆形机器人与相邻两面墙相切时，墙角和圆之间的区域，该区域面积等于边长为圆半径的正方形面积减去四分之一圆的面积，先算1个角落的盲区面积，再乘4得到总清洁不到的面积即可。
【解析】
首先计算扫地机器人的底面半径：
$4÷2=2(\mathrm{dm})$
计算1个墙角清洁不到的面积：
正方形面积：$2×2=4(\mathrm{dm}^2)$
四分之一圆的面积：$\frac{1}{4}×3.14×2^2=3.14(\mathrm{dm}^2)$
1个角落盲区面积：$4 - 3.14=0.86(\mathrm{dm}^2)$
计算4个角落的总盲区面积：
$0.86×4=3.44(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
$3.44\mathrm{dm}^2$
【知识点】
正方形面积计算、圆的面积计算、组合图形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景设计，解题核心是准确识别出清洁盲区的位置和形状，注意排除题干中无关的长宽条件的干扰，熟练掌握基本图形的面积公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确：扫地机器人为圆形，长方形房间只有四个直角角落存在清洁盲区，其余区域无障碍物都可清洁到，题干给出的房间长10m、宽8m为多余条件，无需使用。每个角落的盲区是：当圆形机器人与相邻两面墙相切时，墙角和圆之间的区域，该区域面积等于边长为圆半径的正方形面积减去四分之一圆的面积，先算1个角落的盲区面积，再乘4得到总清洁不到的面积即可。
【解析】
首先计算扫地机器人的底面半径：
$4÷2=2(\mathrm{dm})$
计算1个墙角清洁不到的面积：
正方形面积：$2×2=4(\mathrm{dm}^2)$
四分之一圆的面积：$\frac{1}{4}×3.14×2^2=3.14(\mathrm{dm}^2)$
1个角落盲区面积：$4 - 3.14=0.86(\mathrm{dm}^2)$
计算4个角落的总盲区面积：
$0.86×4=3.44(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
$3.44\mathrm{dm}^2$
【知识点】
正方形面积计算、圆的面积计算、组合图形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景设计，解题核心是准确识别出清洁盲区的位置和形状，注意排除题干中无关的长宽条件的干扰，熟练掌握基本图形的面积公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
