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例2 请你判断下列给出的x的值中,哪些是方程$2x+1=7-x$的解.
(1)$x=1$; (2)$x=2$; (3)$x=-2$.
解:
(1)$x=1$; (2)$x=2$; (3)$x=-2$.
解:
答案
(1)$x=1$不是方程$2x+1=7-x$的解；
(2)$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解；
(3)$x=-2$不是方程$2x+1=7-x$的解.
(2)$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解；
(3)$x=-2$不是方程$2x+1=7-x$的解.
解析
【分析】
判断一个数值是不是方程的解，依据是方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题时只需将每个x的值分别代入方程的左边和右边，分别计算出两边的结果后对比是否相等，相等则是方程的解，不相等就不是方程的解。
【解析】
根据方程解的定义，分别代入三个x的值验证：
(1) 将$x=1$代入方程：
左边$=2×1 +1=3$，右边$=7-1=6$
左边≠右边，因此$x=1$不是方程的解。
(2) 将$x=2$代入方程：
左边$=2×2 +1=5$，右边$=7-2=5$
左边=右边，因此$x=2$是方程的解。
(3) 将$x=-2$代入方程：
左边$=2×(-2)+1=-3$，右边$=7-(-2)=9$
左边≠右边，因此$x=-2$不是方程的解。
【答案】
(1)$x=1$不是方程$2x+1=7-x$的解；
(2)$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解；
(3)$x=-2$不是方程$2x+1=7-x$的解.
【知识点】
方程的解的定义、代数式求值
【点评】
本题是方程解的检验的基础题型，核心方法是“代入求值、对比左右”，该方法也是后续解方程后校验结果是否正确的核心技能，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
判断一个数值是不是方程的解，依据是方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题时只需将每个x的值分别代入方程的左边和右边，分别计算出两边的结果后对比是否相等，相等则是方程的解，不相等就不是方程的解。
【解析】
根据方程解的定义，分别代入三个x的值验证：
(1) 将$x=1$代入方程：
左边$=2×1 +1=3$，右边$=7-1=6$
左边≠右边，因此$x=1$不是方程的解。
(2) 将$x=2$代入方程：
左边$=2×2 +1=5$，右边$=7-2=5$
左边=右边，因此$x=2$是方程的解。
(3) 将$x=-2$代入方程：
左边$=2×(-2)+1=-3$，右边$=7-(-2)=9$
左边≠右边，因此$x=-2$不是方程的解。
【答案】
(1)$x=1$不是方程$2x+1=7-x$的解；
(2)$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解；
(3)$x=-2$不是方程$2x+1=7-x$的解.
【知识点】
方程的解的定义、代数式求值
【点评】
本题是方程解的检验的基础题型，核心方法是“代入求值、对比左右”，该方法也是后续解方程后校验结果是否正确的核心技能，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
3. 在$x=-4,x=0,x=4$中,是方程$\frac{x}{2}=-\frac{x}{4}+3$的解的是
$x=4$
.答案
3. $x=4$
解析
【分析】
判断给定的x值是不是方程的解有两种常用思路：第一种是代入验证法，将每个x值分别代入方程的左右两边计算，若左右两边结果相等，该x值就是方程的解，反之则不是；第二种是直接解一元一次方程，求出方程的解后和给定的x值对照即可，两种方法均符合现阶段的知识要求。
【解析】
方法一：代入验证法
① 将$x=-4$代入方程：
左边=$\frac{-4}{2}=-2$，右边=$-\frac{-4}{4}+3=1+3=4$，左边≠右边，故$x=-4$不是方程的解；
② 将$x=0$代入方程：
左边=$\frac{0}{2}=0$，右边=$-\frac{0}{4}+3=3$，左边≠右边，故$x=0$不是方程的解；
③ 将$x=4$代入方程：
左边=$\frac{4}{2}=2$，右边=$-\frac{4}{4}+3=-1+3=2$，左边=右边，故$x=4$是方程的解。
方法二：解方程法
对$\frac{x}{2}=-\frac{x}{4}+3$求解：
两边同时乘4消去分母，得$2x=-x+12$；
移项得$2x+x=12$；
合并同类项得$3x=12$；
系数化为1得$x=4$，对照给定值可知$x=4$是方程的解。
【答案】
$x=4$
【知识点】
方程的解的判定；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，代入验证法是判断方程解的通用方法，直接解方程的思路运算效率更高，两种方法都需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
判断给定的x值是不是方程的解有两种常用思路：第一种是代入验证法，将每个x值分别代入方程的左右两边计算，若左右两边结果相等，该x值就是方程的解，反之则不是；第二种是直接解一元一次方程，求出方程的解后和给定的x值对照即可，两种方法均符合现阶段的知识要求。
【解析】
方法一：代入验证法
① 将$x=-4$代入方程：
左边=$\frac{-4}{2}=-2$，右边=$-\frac{-4}{4}+3=1+3=4$，左边≠右边，故$x=-4$不是方程的解；
② 将$x=0$代入方程：
左边=$\frac{0}{2}=0$，右边=$-\frac{0}{4}+3=3$，左边≠右边，故$x=0$不是方程的解；
③ 将$x=4$代入方程：
左边=$\frac{4}{2}=2$，右边=$-\frac{4}{4}+3=-1+3=2$，左边=右边，故$x=4$是方程的解。
方法二：解方程法
对$\frac{x}{2}=-\frac{x}{4}+3$求解：
两边同时乘4消去分母，得$2x=-x+12$；
移项得$2x+x=12$；
合并同类项得$3x=12$；
系数化为1得$x=4$，对照给定值可知$x=4$是方程的解。
【答案】
$x=4$
【知识点】
方程的解的判定；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，代入验证法是判断方程解的通用方法，直接解方程的思路运算效率更高，两种方法都需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
4. 检验下列各方程后面括号里的数是不是对应方程的解.
(1) $3y - 1 = 2y + 1$ ($y=2, y=4$);
(2) $3(x + 1) = 2x - 1$ ($x=2, x=-4$).
(1) $3y - 1 = 2y + 1$ ($y=2, y=4$);
(2) $3(x + 1) = 2x - 1$ ($x=2, x=-4$).
答案
(1)$y=2$是方程$3y-1=2y+1$的解.
$y=4$不是方程$3y-1=2y+1$的解；
(2)$x=2$不是方程$3(x+1)=2x-1$的解.
$x=-4$是方程$3(x+1)=2x-1$的解.
$y=4$不是方程$3y-1=2y+1$的解；
(2)$x=2$不是方程$3(x+1)=2x-1$的解.
$x=-4$是方程$3(x+1)=2x-1$的解.
解析
【分析】
解题依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。检验思路非常清晰，分三步操作即可：第一步把括号里给出的未知数的值分别代入方程的左边、右边；第二步分别计算出左右两边的结果；第三步比较两边结果是否相等，相等就是方程的解，不相等就不是方程的解。
【解析】
(1) 检验$y=2$：
将$y=2$代入方程左边：$3×2 -1=5$
将$y=2$代入方程右边：$2×2 +1=5$
$\because$ 左边=右边，$\therefore$ $y=2$是方程$3y-1=2y+1$的解。
检验$y=4$：
将$y=4$代入方程左边：$3×4 -1=11$
将$y=4$代入方程右边：$2×4 +1=9$
$\because$ 左边≠右边，$\therefore$ $y=4$不是方程$3y-1=2y+1$的解。
(2) 检验$x=2$：
将$x=2$代入方程左边：$3×(2+1)=9$
将$x=2$代入方程右边：$2×2 -1=3$
$\because$ 左边≠右边，$\therefore$ $x=2$不是方程$3(x+1)=2x-1$的解。
检验$x=-4$：
将$x=-4$代入方程左边：$3×(-4+1)=3×(-3)=-9$
将$x=-4$代入方程右边：$2×(-4) -1=-8-1=-9$
$\because$ 左边=右边，$\therefore$ $x=-4$是方程$3(x+1)=2x-1$的解。
【答案】
(1)$y=2$是方程$3y-1=2y+1$的解.$y=4$不是方程$3y-1=2y+1$的解；
(2)$x=2$不是方程$3(x+1)=2x-1$的解.$x=-4$是方程$3(x+1)=2x-1$的解.
【知识点】
1. 方程的解的定义 2. 方程解的检验方法
【点评】
本题是基础运算类题型，主要考查对方程解的定义的理解，解题时按照代入、计算、比较的步骤操作，注意计算的准确性即可得分。
【难度系数】
0.9
解题依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。检验思路非常清晰，分三步操作即可：第一步把括号里给出的未知数的值分别代入方程的左边、右边；第二步分别计算出左右两边的结果；第三步比较两边结果是否相等，相等就是方程的解，不相等就不是方程的解。
【解析】
(1) 检验$y=2$：
将$y=2$代入方程左边：$3×2 -1=5$
将$y=2$代入方程右边：$2×2 +1=5$
$\because$ 左边=右边，$\therefore$ $y=2$是方程$3y-1=2y+1$的解。
检验$y=4$：
将$y=4$代入方程左边：$3×4 -1=11$
将$y=4$代入方程右边：$2×4 +1=9$
$\because$ 左边≠右边，$\therefore$ $y=4$不是方程$3y-1=2y+1$的解。
(2) 检验$x=2$：
将$x=2$代入方程左边：$3×(2+1)=9$
将$x=2$代入方程右边：$2×2 -1=3$
$\because$ 左边≠右边，$\therefore$ $x=2$不是方程$3(x+1)=2x-1$的解。
检验$x=-4$：
将$x=-4$代入方程左边：$3×(-4+1)=3×(-3)=-9$
将$x=-4$代入方程右边：$2×(-4) -1=-8-1=-9$
$\because$ 左边=右边，$\therefore$ $x=-4$是方程$3(x+1)=2x-1$的解。
【答案】
(1)$y=2$是方程$3y-1=2y+1$的解.$y=4$不是方程$3y-1=2y+1$的解；
(2)$x=2$不是方程$3(x+1)=2x-1$的解.$x=-4$是方程$3(x+1)=2x-1$的解.
【知识点】
1. 方程的解的定义 2. 方程解的检验方法
【点评】
本题是基础运算类题型，主要考查对方程解的定义的理解，解题时按照代入、计算、比较的步骤操作，注意计算的准确性即可得分。
【难度系数】
0.9
1. 分析实际问题中的数量关系，利用其中的
相等
关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.这个过程可以表示如下：答案
1. 相等
解析
【分析】
解决这道题首先要明确用方程解决实际问题的核心逻辑：将实际问题转化为方程的过程中，核心是梳理问题中的数量关系，找到不同数量之间的相等关系，再设未知数，把相等关系写为含未知数的等式，即可得到方程，结合题干给出的流程图提示，就能确定应填的内容。
【解析】
用方程解决实际问题时，首先需要分析实际问题里的数量关系，找到其中的相等关系，再设未知数，根据相等关系列出含未知数的等式，也就是方程。结合题干流程图中标注的“表示相等关系”的提示，可知此处应填写“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
列方程的依据
实际问题转方程的方法
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查用方程解决实际问题的核心思路，只要理解列方程的本质是抓住相等关系即可正确作答。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确用方程解决实际问题的核心逻辑：将实际问题转化为方程的过程中，核心是梳理问题中的数量关系，找到不同数量之间的相等关系，再设未知数，把相等关系写为含未知数的等式，即可得到方程，结合题干给出的流程图提示，就能确定应填的内容。
【解析】
用方程解决实际问题时，首先需要分析实际问题里的数量关系，找到其中的相等关系，再设未知数，根据相等关系列出含未知数的等式，也就是方程。结合题干流程图中标注的“表示相等关系”的提示，可知此处应填写“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
列方程的依据
实际问题转方程的方法
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查用方程解决实际问题的核心思路，只要理解列方程的本质是抓住相等关系即可正确作答。
【难度系数】
0.9
例3 把一些小礼物分给几名小朋友,如果每人分5个,那么还剩2个;如果每人分6个,那么还缺3个.一共有几名小朋友?设一共有x名小朋友,请列出方程.(只列出方程,不解方程)
解:
解:
答案
因为小朋友的人数为$x$,所以小礼物的总个数是$5x+2$或$6x-3$.根据“两种情况下小礼物的数量相等”,得$5x+2=6x-3$.
解析
【分析】
要列出方程，首先需要找到题目中的等量关系。本题中无论采用哪种分配方式，小礼物的总个数是固定不变的，我们可以先用含未知数x的式子分别表示出两种分配方式下小礼物的总个数，再根据总个数相等就能列出方程。
【解析】
已知一共有x名小朋友：
1. 如果每人分5个，还剩2个，那么小礼物的总个数等于分出去的数量加上剩余的数量，可表示为$5x + 2$；
2. 如果每人分6个，还缺3个，那么小礼物的总个数等于需要的总数量减去缺少的数量，可表示为$6x - 3$。
因为两种分配方式对应的小礼物总个数相等，因此可以列出等式。
【答案】
$5x+2=6x-3$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程找等量关系
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题核心是抓住题目中的不变量，用两种不同的代数式表示同一个不变量进而建立等式，这种“同一量不同表示列等式”的方法是解决应用题的常用思路。
【难度系数】
0.8
要列出方程，首先需要找到题目中的等量关系。本题中无论采用哪种分配方式，小礼物的总个数是固定不变的，我们可以先用含未知数x的式子分别表示出两种分配方式下小礼物的总个数，再根据总个数相等就能列出方程。
【解析】
已知一共有x名小朋友：
1. 如果每人分5个，还剩2个，那么小礼物的总个数等于分出去的数量加上剩余的数量，可表示为$5x + 2$；
2. 如果每人分6个，还缺3个，那么小礼物的总个数等于需要的总数量减去缺少的数量，可表示为$6x - 3$。
因为两种分配方式对应的小礼物总个数相等，因此可以列出等式。
【答案】
$5x+2=6x-3$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程找等量关系
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题核心是抓住题目中的不变量，用两种不同的代数式表示同一个不变量进而建立等式，这种“同一量不同表示列等式”的方法是解决应用题的常用思路。
【难度系数】
0.8
5. 数学文化 古代名著《孙子算经》中有一问题:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何.大意为如果每三人共乘一辆车,那么有两辆空车;如果每两人共乘一辆车,那么有九人需要步行.问人和车的数量各是多少.设车的数量为$x$辆,则根据题意,可列出方程为 (
A.$3(x+2)=2x-9$
B.$3(x+2)=2x+9$
C.$3(x-2)=2x-9$
D.$3(x-2)=2x+9$
D
)A.$3(x+2)=2x-9$
B.$3(x+2)=2x+9$
C.$3(x-2)=2x-9$
D.$3(x-2)=2x+9$
答案
5. D
解析
【分析】
本题是列一元一次方程的典型应用题，解题核心是抓住题目中的不变量作为等量关系。本题中总人数固定不变，我们已经设车的数量为x辆，只需分别用含x的式子表示出两种乘车场景下的总人数，再令两个式子相等即可得到方程。第一步分析第一种乘车场景：每3人坐一辆车，有2辆空车，说明实际载人的车辆是总车数减去空的2辆，即(x-2)辆，总人数就是3乘载人车辆数；第二步分析第二种乘车场景：每2人坐一辆车，9人步行，说明总人数等于坐车的人数加步行的9人，坐车人数是2乘总车数x；第三步根据总人数相等连接两个式子即可。
【解析】
解：设车的数量为x辆，总人数固定不变。
1. 每3人共乘一辆车，剩余2辆空车时，实际载人的车辆数为$(x-2)$辆，总人数可表示为：$3(x-2)$；
2. 每2人共乘一辆车，有9人步行时，总人数为坐车人数加步行人数，可表示为：$2x+9$；
因为两种场景的总人数相等，因此可列方程：
$3(x-2)=2x+9$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系确定
【点评】
本题结合古代数学名著中的问题，考查根据实际场景列一元一次方程的能力，解题的核心是抓住总人数这一不变量建立等量关系，需注意空车对应的是减少载人车辆数，不要混淆运算符号。
【难度系数】
0.8
本题是列一元一次方程的典型应用题，解题核心是抓住题目中的不变量作为等量关系。本题中总人数固定不变，我们已经设车的数量为x辆，只需分别用含x的式子表示出两种乘车场景下的总人数，再令两个式子相等即可得到方程。第一步分析第一种乘车场景：每3人坐一辆车，有2辆空车，说明实际载人的车辆是总车数减去空的2辆，即(x-2)辆，总人数就是3乘载人车辆数；第二步分析第二种乘车场景：每2人坐一辆车，9人步行，说明总人数等于坐车的人数加步行的9人，坐车人数是2乘总车数x；第三步根据总人数相等连接两个式子即可。
【解析】
解：设车的数量为x辆，总人数固定不变。
1. 每3人共乘一辆车，剩余2辆空车时，实际载人的车辆数为$(x-2)$辆，总人数可表示为：$3(x-2)$；
2. 每2人共乘一辆车，有9人步行时，总人数为坐车人数加步行人数，可表示为：$2x+9$；
因为两种场景的总人数相等，因此可列方程：
$3(x-2)=2x+9$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系确定
【点评】
本题结合古代数学名著中的问题，考查根据实际场景列一元一次方程的能力，解题的核心是抓住总人数这一不变量建立等量关系，需注意空车对应的是减少载人车辆数，不要混淆运算符号。
【难度系数】
0.8
