1. 函数$y=-\dfrac{2025}{x}$的图象大致是 （）

1. A

【分析】
解决这道题可按三步思路推导：第一步先识别函数类型，本题为反比例函数，图象是双曲线，据此先排除不是双曲线的选项；第二步回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的性质：$k＞0$时图象两个分支在第一、三象限，$k＜0$时图象两个分支在第二、四象限；第三步判断本题中$k$的符号，对应象限匹配选项即可。
【解析】
解：函数$y=-\dfrac{2025}{x}$是反比例函数，图象为双曲线，解题步骤如下：
1. 排除非双曲线选项：选项C是过原点的直线，为正比例函数图象；选项D是抛物线，为二次函数图象，因此先排除C、D。
2. 判断图象所在象限：反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$中，本题$k=-2025＜0$，因此图象的两个分支分别位于第二、第四象限。
3. 匹配剩余选项：选项B的图象在第一、第三象限，不符合性质；选项A的图象在第二、第四象限，符合要求。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质；函数图象识别
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数的图象与性质，解题关键是掌握$k$的符号和反比例函数图象所在象限的对应关系，同时能准确区分不同类型函数的图象特征即可快速解答。
【难度系数】
0.8

2. [2025·合肥经开区期末]若反比例函数$y=\frac{3-k}{x}$的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是（）

A.$k≥3$
B.$k＜3$
C.$k≤3$
D.$k＞3$

2. B

【分析】
要解决这道题，首先需回忆反比例函数的图象与系数的关系：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m≠0$）的图象所在象限由$m$的符号决定，当$m＞0$时图象位于第一、三象限，当$m＜0$时图象位于第二、四象限。接下来对应题干中的函数，确定其比例系数为$3-k$，结合图象过第一、三象限的条件，可列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a≠0$），若图象经过第一、三象限，则比例系数$a＞0$。
本题中反比例函数为$y=\frac{3-k}{x}$，且图象经过第一、三象限，因此可得：
$3-k＞0$
移项得：$-k＞-3$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，解得：
$k＜3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查反比例函数图象与系数的对应关系，牢记相关性质即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8

3. 在平面直角坐标系中作出反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象，并结合图象回答下列问题：

(1)当$y=-1$时，$x=$；
(2)对于反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象，下列说法正确的是.(填序号)
①关于原点对称；②关于直线$y=-x$对称；
③关于直线$y=x$对称；④当$1＜x≤4$时，$y$的取值范围为$-4＜y≤-1$

3. 图略. (1)−4 (2)①②③

【分析】
解题思路：解决第(1)问时，已知反比例函数解析式和函数值y，直接将y的值代入解析式，解方程即可求出对应的x值。解决第(2)问时，结合反比例函数$y=\frac{4}{x}$（$k=4＞0$）的图象性质逐一判断选项：先回忆反比例函数的对称性特征，再根据第一象限内函数的增减性判断y的取值范围是否正确。
【解析】
$y=\frac{4}{x}$的图象作图略：
(1) 将$y=-1$代入$y=\frac{4}{x}$，得：
$-1=\frac{4}{x}$
解得$x=-4$。
(2) 逐个分析选项：
① 反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点，故①正确；
②③ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象为轴对称图形，对称轴为直线$y=x$和直线$y=-x$，故②③正确；
④ 当$1＜x≤4$时，x为正数，对应图象在第一象限，因$k=4＞0$，第一象限内y随x的增大而减小，x=1时$y=4$，x=4时$y=1$，因此y的取值范围为$1≤y＜4$，故④错误。
综上正确的是①②③。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{①②③}$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的对称性；函数值求解
【点评】
本题考查反比例函数的基础知识点，熟练掌握反比例函数的图象特征、对称性及增减性即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4.若函数$y=\frac{k+1}{x}$的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的值可能为（）

A.－2
B.－1
C.0
D.1

4. A

【分析】
本题考查反比例函数的增减性应用，解题思路如下：首先识别题目给出的是反比例函数形式，回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{a}{x}(a≠0)$，当$a＜0$时，图象在每个象限内y随x的增大而增大；当$a＞0$时则相反。接下来结合题目给出的增减性条件，列出关于k的不等式，求解得到k的取值范围，最后匹配选项选出符合条件的k值即可。
【解析】
已知反比例函数$y=\frac{k+1}{x}$的图象在每个象限内y随x的增大而增大，根据反比例函数的性质可得：
比例系数$k+1＜0$
解不等式得：$k＜-1$
逐一核对选项：
A. $-2＜-1$，符合条件；
B. $k=-1$时，$k+1=0$，函数不是反比例函数，不符合；
C. $0＞-1$，不符合；
D. $1＞-1$，不符合。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心是对反比例函数增减性的掌握，解题时要注意两点：一是反比例函数的增减性描述的是同一象限内的变化规律，二是比例系数不能为0，避免错选。
【难度系数】
0.8

5.若反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象上有两点$P_1(-3,y_1),P_2(-6,y_2)$，则$y_1,y_2$的大小关系是.(用“＜”连接)

5. $y_2＜y_1$

【分析】
要比较反比例函数上两点的函数值大小，有两种常用思路：思路一：直接将两点的横坐标代入函数解析式，分别计算出$y_1$、$y_2$的值，再比较大小；思路二：先根据反比例函数的$k$值判断函数的增减性，再结合两点横坐标的大小关系，利用增减性判断$y$值的大小，注意使用增减性时要保证两点在同一象限。
【解析】
方法1（代入求值法）：
将$x=-3$代入$y=-\dfrac{5}{x}$，得$y_1=-\dfrac{5}{-3}=\dfrac{5}{3}$；
将$x=-6$代入$y=-\dfrac{5}{x}$，得$y_2=-\dfrac{5}{-6}=\dfrac{5}{6}$；
∵$\dfrac{5}{6}＜\dfrac{5}{3}$，
∴$y_2＜y_1$。
方法2（性质判断法）：
在反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$中，$k=-5＜0$，
∴该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，
∵点$P_1(-3,y_1)$、$P_2(-6,y_2)$的横坐标均为负，两点都在第二象限，且$-6＜-3＜0$，
∴根据增减性可得$y_2＜y_1$。
【答案】
$y_2＜y_1$
【知识点】
1.反比例函数的性质 2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，两种解题方法都可以快速得到结果，使用函数增减性比较函数值时，要注意只有在同一个象限内的点才能直接用增减性判断，避免因跨象限判断出错。
【难度系数】
0.8

6. 函数$y=kx - k$与$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

6. D

【分析】
一次函数、反比例函数的图象位置都和系数k的正负相关，因此解题时采用分类讨论的思路：先分别讨论k＞0和k＜0两种情况下，一次函数y=kx-k的图象经过的象限、与y轴的交点位置，以及反比例函数y=k/x的图象所在象限，再将得到的特征和四个选项逐一比对，排除不符合的选项即可得到正确结果。
【解析】
分两种情况讨论：
①当$k＞0$时：
对于一次函数$y=kx-k$：斜率$k＞0$，因此直线经过一、三象限；截距为$-k＜0$，直线与y轴交于负半轴，整体图象经过一、三、四象限。
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$：$k＞0$，因此图象位于第一、三象限。
对比选项：A中一次函数与y轴交于正半轴，不符合；C中反比例函数位于二、四象限，不符合，排除A、C。
②当$k＜0$时：
对于一次函数$y=kx-k$：斜率$k＜0$，因此直线经过二、四象限；截距为$-k＞0$，直线与y轴交于正半轴，整体图象经过一、二、四象限。
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$：$k＜0$，因此图象位于第二、四象限。
对比选项：B中反比例函数位于一、三象限，不符合；D中一次函数、反比例函数的图象特征均符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分类讨论
【点评】
本题是一次函数与反比例函数图象结合的典型题型，核心考查函数图象与系数的对应关系，解题时注意分类讨论k的正负，不要漏情况，熟练掌握两类函数的图象性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7

7.若点$A(-3,a),B(1,b),C(2,c)$都在反比例函数$y=\dfrac{-4}{x}$的图象上,则$a,b,c$的大小关系为.(用“＞”连接)

7. $a＞c＞b$

【分析】
要比较a、b、c的大小，有两种常用思路：一是直接将各点横坐标代入反比例函数解析式，求出a、b、c的具体数值后比较大小；二是利用反比例函数的图象与性质判断：先根据k的正负确定函数图象所在象限，再判断各点所在象限，不同象限的点先根据正负性判断大小，同一象限内的点再结合函数的增减性比较大小。
【解析】
方法1（代入求值法）：
∵点$A(-3,a)$、$B(1,b)$、$C(2,c)$都在反比例函数$y=\dfrac{-4}{x}$的图象上
∴将各点横坐标代入解析式得：
$a=\dfrac{-4}{-3}=\dfrac{4}{3}$，
$b=\dfrac{-4}{1}=-4$，
$c=\dfrac{-4}{2}=-2$，
∵$\dfrac{4}{3} ＞ -2 ＞ -4$，
∴$a ＞ c ＞ b$。
方法2（性质判断法）：
在反比例函数$y=\dfrac{-4}{x}$中，$k=-4 ＜ 0$，
∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大。
∵点A的横坐标$-3 ＜ 0$，
∴点A在第二象限，故$a ＞ 0$；
∵点B、C的横坐标$1＞0$、$2＞0$，
∴点B、C在第四象限，故$b ＜ 0$，$c ＜ 0$；
又
∵第四象限内y随x增大而增大，且$2＞1$，
∴$c ＞ b$，
综上可得：$a ＞ c ＞ b$。
【答案】
$a＞c＞b$
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题型，两种解题方法中，性质判断法无需计算具体数值，能更快速得到结果，解题时要注意反比例函数的增减性仅适用于同一象限内的点比较。
【难度系数】
0.8

8. [2024·浙江中考]反比例函数 $y=\frac{4}{x}$ 的图象上有 $P(t,y_1),Q(t+4,y_2)$ 两点.下列选项正确的是（）

A.当 $t＜-4$ 时，$y_2＜y_1＜0$
B.当 $-4＜t＜0$ 时，$y_2＜y_1＜0$
C.当 $-4＜t＜0$ 时，$0＜y_1＜y_2$
D.当 $t＞0$ 时，$0＜y_1＜y_2$

8. A

【分析】
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{4}{x}$的基本性质：$k=4＞0$，因此图象分布在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。接下来结合每个选项给出的$t$的取值范围，先判断$P$、$Q$两点横坐标的正负，确定两点所在的象限，再结合增减性比较$y_1$和$y_2$的大小，逐个排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
已知反比例函数$y=\frac{4}{x}$中$k=4＞0$，因此：
①函数图象位于第一、三象限，第一象限内函数值$y＞0$，第三象限内函数值$y＜0$；
②在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
逐一分析选项：
选项A：当$t＜-4$时，$t+4＜0$，因此$P$、$Q$两点横坐标均为负，都在第三象限。又因为$t ＜ t+4$，根据第三象限内$y$随$x$增大而减小，可得$y_2 ＜ y_1$，且两点的$y$值均为负，即$y_2 ＜ y_1 ＜ 0$，该选项正确。
选项B、C：当$-4＜t＜0$时，$t＜0$，$t+4＞0$，因此$P$在第三象限（$y_1＜0$），$Q$在第一象限（$y_2＞0$），可得$y_1＜0＜y_2$，因此B、C均错误。
选项D：当$t＞0$时，$P$、$Q$两点横坐标均为正，都在第一象限。又因为$t ＜ t+4$，根据第一象限内$y$随$x$增大而减小，可得$y_1 ＞ y_2 ＞0$，因此D错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质；函数值大小比较
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用，解题关键是注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，若两点在不同象限，需先根据象限判断函数值的正负再比较大小，避免直接套用增减性出错。
【难度系数】
0.7