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10. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,$△ ABC$ 和 $△ DEF$ 的顶点都在网格线的交点上. 设 $△ ABC$ 的周长为 $C_1$, $△ DEF$ 的周长为 $C_2$,则 $\frac{C_1}{C_2}=$ (
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.2
A
)A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.2
答案
10.A
解析
【分析】
要求两个三角形周长的比值，可利用相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比。因此解题步骤为：①借助勾股定理分别计算△ABC和△DEF三条边的长度；②验证两个三角形的三边是否对应成比例，判断两三角形是否相似；③若相似，求出相似比即可得到周长的比值。
【解析】
首先利用勾股定理计算两个三角形各边的长度：
在△ABC中：
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$BC=2$，
$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
在△DEF中：
$DE=2$，
$EF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$DF=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$；
接下来验证三边对应成比例：
$\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得$\frac{C_1}{C_2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合网格背景考查相似三角形相关知识，解题核心是先通过勾股定理求出三角形各边长，判断三角形相似后利用周长比等于相似比求解，计算过程中需注意对应边不要混淆。
【难度系数】
0.7
要求两个三角形周长的比值，可利用相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比。因此解题步骤为：①借助勾股定理分别计算△ABC和△DEF三条边的长度；②验证两个三角形的三边是否对应成比例，判断两三角形是否相似；③若相似，求出相似比即可得到周长的比值。
【解析】
首先利用勾股定理计算两个三角形各边的长度：
在△ABC中：
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$BC=2$，
$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
在△DEF中：
$DE=2$，
$EF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$DF=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$；
接下来验证三边对应成比例：
$\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得$\frac{C_1}{C_2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合网格背景考查相似三角形相关知识，解题核心是先通过勾股定理求出三角形各边长，判断三角形相似后利用周长比等于相似比求解，计算过程中需注意对应边不要混淆。
【难度系数】
0.7
11. [与T8互为孪生题][2024·安庆期末]如图，D，E分别是$△ ABC$的边AB，BC上的点，$DE// AC$. 若$S_{△ BDE}:S_{△ ADE}=1:3$，则$S_{△ DOE}:S_{△ AOC}=$
1:16
.答案
11.1:16
解析
【分析】
首先观察到△BDE与△ADE同高（公共高为点E到AB的距离），根据同高三角形的面积比等于对应底边长的比，可求出BD与AD的比值，进而得到BD与AB的比值；再由DE//AC证明△BDE∽△BAC，得到DE与AC的相似比；最后结合DE//AC证明△DOE∽△AOC，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出最终比值。
【解析】
解：
∵△BDE和△ADE以E为顶点时，底边均在AB上，二者高相等，
∴$\frac{S_{△ BDE}}{S_{△ ADE}}=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{3}$，
∴$AD=3BD$，则$AB=BD+AD=4BD$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{4}$。
∵$DE// AC$，
∴$△ BDE ∽ △ BAC$，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BA}=\frac{1}{4}$。
又
∵$DE// AC$，
∴$∠ ODE=∠ OCA$，$∠ OED=∠ OAC$，
∴$△ DOE ∽ △ AOC$，
∴$\frac{S_{△ DOE}}{S_{△ AOC}}=(\frac{DE}{AC})^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，即$S_{△ DOE}:S_{△ AOC}=1:16$。
【答案】
$1:16$
【知识点】
同高三角形面积性质；相似三角形的判定；相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题型，解题核心是先通过等高三角形的面积关系得到线段比例，再结合平行线推导相似三角形，最终利用相似三角形面积比的性质求解，解题时需注意不要混淆相似比与面积比的关系。
【难度系数】
0.7
首先观察到△BDE与△ADE同高（公共高为点E到AB的距离），根据同高三角形的面积比等于对应底边长的比，可求出BD与AD的比值，进而得到BD与AB的比值；再由DE//AC证明△BDE∽△BAC，得到DE与AC的相似比；最后结合DE//AC证明△DOE∽△AOC，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出最终比值。
【解析】
解：
∵△BDE和△ADE以E为顶点时，底边均在AB上，二者高相等，
∴$\frac{S_{△ BDE}}{S_{△ ADE}}=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{3}$，
∴$AD=3BD$，则$AB=BD+AD=4BD$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{4}$。
∵$DE// AC$，
∴$△ BDE ∽ △ BAC$，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BA}=\frac{1}{4}$。
又
∵$DE// AC$，
∴$∠ ODE=∠ OCA$，$∠ OED=∠ OAC$，
∴$△ DOE ∽ △ AOC$，
∴$\frac{S_{△ DOE}}{S_{△ AOC}}=(\frac{DE}{AC})^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，即$S_{△ DOE}:S_{△ AOC}=1:16$。
【答案】
$1:16$
【知识点】
同高三角形面积性质；相似三角形的判定；相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题型，解题核心是先通过等高三角形的面积关系得到线段比例，再结合平行线推导相似三角形，最终利用相似三角形面积比的性质求解，解题时需注意不要混淆相似比与面积比的关系。
【难度系数】
0.7
12. 如图，将等边$△ ABC$沿$AC$边上的高线$BD$平移得到$△ EFG$，阴影部分面积记为$S$。若$\frac{BF}{FD}=\frac{1}{3}$，$S_{△ ABC}=16$，则$S=$
7
。答案
12.7
解析
【分析】
首先根据平移的性质，可知平移后的△EFG与原△ABC全等，面积相等，且两个三角形的重叠部分与△ABC相似。接下来由已知的BF与FD的比例关系，求出重叠部分三角形和原三角形的相似比，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，计算出重叠部分的面积，最后用△EFG的面积减去重叠部分的面积即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵△EFG是等边△ABC沿AC边上的高线BD平移得到的，
∴△EFG≌△ABC，FG//BC，
∴$S_{△EFG}=S_{△ABC}=16$，且重叠部分的三角形与△ABC相似。
设$BF=x$，
∵$\frac{BF}{FD}=\frac{1}{3}$，
∴$FD=3x$，$BD=BF+FD=4x$，
∴重叠部分三角形与△ABC的相似比为$\frac{FD}{BD}=\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4}$。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{重叠}}{S_{△ABC}}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，
∴$S_{重叠}=16×\frac{9}{16}=9$，
∴阴影部分面积$S=S_{△EFG}-S_{重叠}=16-9=7$。
【答案】
7
【知识点】
平移的性质；相似三角形的性质；等边三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是熟练掌握平移的性质和相似三角形面积比与相似比的关系，通过求出重叠部分面积间接得到阴影部分面积，是平移和相似结合的典型考法。
【难度系数】
0.6
首先根据平移的性质，可知平移后的△EFG与原△ABC全等，面积相等，且两个三角形的重叠部分与△ABC相似。接下来由已知的BF与FD的比例关系，求出重叠部分三角形和原三角形的相似比，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，计算出重叠部分的面积，最后用△EFG的面积减去重叠部分的面积即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵△EFG是等边△ABC沿AC边上的高线BD平移得到的，
∴△EFG≌△ABC，FG//BC，
∴$S_{△EFG}=S_{△ABC}=16$，且重叠部分的三角形与△ABC相似。
设$BF=x$，
∵$\frac{BF}{FD}=\frac{1}{3}$，
∴$FD=3x$，$BD=BF+FD=4x$，
∴重叠部分三角形与△ABC的相似比为$\frac{FD}{BD}=\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4}$。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{重叠}}{S_{△ABC}}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，
∴$S_{重叠}=16×\frac{9}{16}=9$，
∴阴影部分面积$S=S_{△EFG}-S_{重叠}=16-9=7$。
【答案】
7
【知识点】
平移的性质；相似三角形的性质；等边三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是熟练掌握平移的性质和相似三角形面积比与相似比的关系，通过求出重叠部分面积间接得到阴影部分面积，是平移和相似结合的典型考法。
【难度系数】
0.6
13. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$为边$AB$的两个三等分点，$EF// DG// AC$，$H$为$AF$与$DG$的交点.若$△ ADH$的面积为1，则$△ ABC$的面积为________.
答案
13.18
解析
【分析】
首先由D、E是AB的三等分点可得BE=ED=DA，结合EF//DG//AC，可判断DG是△AEF的中位线，得到△ADH与△AEF的相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出△AEF的面积；再根据同高三角形面积比等于底的比求出△BEF的面积；最后由EF//AC判定△BEF∽△BAC，根据相似比计算出△ABC的面积即可。
【解析】
解：
∵D、E为AB的三等分点，
∴BE=ED=AD，即$AE=2AD$，$AB=3BE$。
∵$EF// DG// AC$，
∴$DG// EF$，
又
∵D是AE的中点，
∴DH是$△ AEF$的中位线，
∴$\frac{DH}{EF}=\frac{AD}{AE}=\frac{1}{2}$，且$∠ ADH=∠ AEF$，$∠ AHD=∠ AFE$，
∴$△ ADH ∽ △ AEF$，相似比为$1:2$，
∴$S_{△ ADH}:S_{△ AEF}=(1:2)^2=1:4$，
已知$S_{△ ADH}=1$，
∴$S_{△ AEF}=4×1=4$。
∵$△ BEF$和$△ AEF$同高，底$BE:AE=1:2$，
∴$S_{△ BEF}:S_{△ AEF}=BE:AE=1:2$，
∴$S_{△ BEF}=4÷2=2$。
又
∵$EF// AC$，
∴$△ BEF ∽ △ BAC$，相似比为$BE:BA=1:3$，
∴$S_{△ BEF}:S_{△ BAC}=(1:3)^2=1:9$，
∴$S_{△ BAC}=2×9=18$。
【答案】
18
【知识点】
相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、同高三角形面积比规律
【点评】
本题综合考查了相似三角形相关性质和平面图形面积比例关系的应用，解题时要注意区分相似三角形面积比是相似比的平方，同高三角形面积比等于底的比，不要混淆两类比例关系，按步骤推导即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
首先由D、E是AB的三等分点可得BE=ED=DA，结合EF//DG//AC，可判断DG是△AEF的中位线，得到△ADH与△AEF的相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出△AEF的面积；再根据同高三角形面积比等于底的比求出△BEF的面积；最后由EF//AC判定△BEF∽△BAC，根据相似比计算出△ABC的面积即可。
【解析】
解：
∵D、E为AB的三等分点，
∴BE=ED=AD，即$AE=2AD$，$AB=3BE$。
∵$EF// DG// AC$，
∴$DG// EF$，
又
∵D是AE的中点，
∴DH是$△ AEF$的中位线，
∴$\frac{DH}{EF}=\frac{AD}{AE}=\frac{1}{2}$，且$∠ ADH=∠ AEF$，$∠ AHD=∠ AFE$，
∴$△ ADH ∽ △ AEF$，相似比为$1:2$，
∴$S_{△ ADH}:S_{△ AEF}=(1:2)^2=1:4$，
已知$S_{△ ADH}=1$，
∴$S_{△ AEF}=4×1=4$。
∵$△ BEF$和$△ AEF$同高，底$BE:AE=1:2$，
∴$S_{△ BEF}:S_{△ AEF}=BE:AE=1:2$，
∴$S_{△ BEF}=4÷2=2$。
又
∵$EF// AC$，
∴$△ BEF ∽ △ BAC$，相似比为$BE:BA=1:3$，
∴$S_{△ BEF}:S_{△ BAC}=(1:3)^2=1:9$，
∴$S_{△ BAC}=2×9=18$。
【答案】
18
【知识点】
相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、同高三角形面积比规律
【点评】
本题综合考查了相似三角形相关性质和平面图形面积比例关系的应用，解题时要注意区分相似三角形面积比是相似比的平方，同高三角形面积比等于底的比，不要混淆两类比例关系，按步骤推导即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
14.如图，已知$AC// BD$，AB和CD相交于点E，$AC=6$，$BD=4$，F是BC上一点，$S_{△ BEF}: S_{△ EFC}=2:3$。
(1)求EF的长；
(2)已知$△ BEF$的面积为4，求$△ ABC$的面积。
(1)求EF的长；
(2)已知$△ BEF$的面积为4，求$△ ABC$的面积。
答案
14.(1)$\frac{12}{5}$ (2)25
解析
【分析】
(1) 首先由AC//BD可证△ACE∽△BDE，得到AE与BE的比例关系；再根据同高三角形面积比等于底的比，由△BEF和△EFC的面积比得出BF与FC的比值，可证EF//AC，得到△BEF∽△BAC，利用相似三角形对应边成比例即可求出EF的长度。
(2) 先根据△BEF与△EFC的面积比求出△EFC的面积，得到△BEC的面积；再根据△AEC与△BEC同高，面积比等于底AE:BE的比值，求出△AEC的面积，二者相加即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1)
∵AC//BD，
∴∠A=∠B，∠ACE=∠D，
∴△ACE∽△BDE，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{AC}{BD}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，即$\frac{BE}{AE}=\frac{2}{3}$，可得$\frac{BE}{BA}=\frac{2}{5}$。
∵△BEF和△EFC同高，且$S_{△ BEF}:S_{△ EFC}=2:3$，
∴$\frac{BF}{FC}=\frac{2}{3}$，即$\frac{BF}{BC}=\frac{2}{5}$。
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{BF}{BC}=\frac{2}{5}$，又
∵∠B为公共角，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BF}{BC}=\frac{2}{5}$，
将AC=6代入得：$EF=6×\frac{2}{5}=\frac{12}{5}$。
(2)
∵$S_{△ BEF}:S_{△ EFC}=2:3$，且$S_{△ BEF}=4$，
∴$S_{△ EFC}=4×\frac{3}{2}=6$，
∴$S_{△ BEC}=S_{△ BEF}+S_{△ EFC}=4+6=10$。
∵△AEC和△BEC同高（以C为顶点，AB为底），且$\frac{AE}{BE}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{S_{△ AEC}}{S_{△ BEC}}=\frac{AE}{BE}=\frac{3}{2}$，
∴$S_{△ AEC}=10×\frac{3}{2}=15$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ AEC}+S_{△ BEC}=15+10=25$。
【答案】
(1) $\frac{12}{5}$；(2) $25$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，同高三角形面积性质，平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题型，解题的核心是灵活转换同高三角形面积比和线段比的关系，结合相似三角形的对应边、对应面积的比例性质求解，是几何部分的典型考法。
【难度系数】
0.65
(1) 首先由AC//BD可证△ACE∽△BDE，得到AE与BE的比例关系；再根据同高三角形面积比等于底的比，由△BEF和△EFC的面积比得出BF与FC的比值，可证EF//AC，得到△BEF∽△BAC，利用相似三角形对应边成比例即可求出EF的长度。
(2) 先根据△BEF与△EFC的面积比求出△EFC的面积，得到△BEC的面积；再根据△AEC与△BEC同高，面积比等于底AE:BE的比值，求出△AEC的面积，二者相加即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1)
∵AC//BD，
∴∠A=∠B，∠ACE=∠D，
∴△ACE∽△BDE，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{AC}{BD}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，即$\frac{BE}{AE}=\frac{2}{3}$，可得$\frac{BE}{BA}=\frac{2}{5}$。
∵△BEF和△EFC同高，且$S_{△ BEF}:S_{△ EFC}=2:3$，
∴$\frac{BF}{FC}=\frac{2}{3}$，即$\frac{BF}{BC}=\frac{2}{5}$。
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{BF}{BC}=\frac{2}{5}$，又
∵∠B为公共角，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BF}{BC}=\frac{2}{5}$，
将AC=6代入得：$EF=6×\frac{2}{5}=\frac{12}{5}$。
(2)
∵$S_{△ BEF}:S_{△ EFC}=2:3$，且$S_{△ BEF}=4$，
∴$S_{△ EFC}=4×\frac{3}{2}=6$，
∴$S_{△ BEC}=S_{△ BEF}+S_{△ EFC}=4+6=10$。
∵△AEC和△BEC同高（以C为顶点，AB为底），且$\frac{AE}{BE}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{S_{△ AEC}}{S_{△ BEC}}=\frac{AE}{BE}=\frac{3}{2}$，
∴$S_{△ AEC}=10×\frac{3}{2}=15$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ AEC}+S_{△ BEC}=15+10=25$。
【答案】
(1) $\frac{12}{5}$；(2) $25$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，同高三角形面积性质，平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题型，解题的核心是灵活转换同高三角形面积比和线段比的关系，结合相似三角形的对应边、对应面积的比例性质求解，是几何部分的典型考法。
【难度系数】
0.65
15. 如图，在$△ ABC$中，$D$是边$BC$的中点，且$DE⊥ BC$，$AD=AC$，$DE$与$AB$相交于点$E$，$EC$与$AD$相交于点$F$。
(1)求证：$△ ABC ∽ △ FCD$；
(2)已知$△ FCD$的面积为$7.5$，$BC=10$，求$DE$的长。
(1)求证：$△ ABC ∽ △ FCD$；
(2)已知$△ FCD$的面积为$7.5$，$BC=10$，求$DE$的长。
答案
15.(1)证明略.
(2)如题图,过点A作$AH⊥BC$于点H.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD=5.
∵AC=AD,AH⊥CD,
∴CH=DH=2.5.
由(1)知$△ABC∽△FCD$,
∴$\frac{S_{△ABC}}{S_{△FCD}}=(\frac{BC}{CD})^2=4$,
∴$S_{△ABC}=4S_{△FCD}=30$.
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AH$,
∴$AH=\frac{2S_{△ABC}}{BC}=6$.
∵AH⊥CB,ED⊥CB,
∴AH//ED,
∴$△BDE∽△BHA$,
∴$\frac{DE}{HA}=\frac{BD}{BH}$,
∴$DE=\frac{HA·BD}{BH}=\frac{6×5}{5+2.5}=4$.
(2)如题图,过点A作$AH⊥BC$于点H.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD=5.
∵AC=AD,AH⊥CD,
∴CH=DH=2.5.
由(1)知$△ABC∽△FCD$,
∴$\frac{S_{△ABC}}{S_{△FCD}}=(\frac{BC}{CD})^2=4$,
∴$S_{△ABC}=4S_{△FCD}=30$.
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AH$,
∴$AH=\frac{2S_{△ABC}}{BC}=6$.
∵AH⊥CB,ED⊥CB,
∴AH//ED,
∴$△BDE∽△BHA$,
∴$\frac{DE}{HA}=\frac{BD}{BH}$,
∴$DE=\frac{HA·BD}{BH}=\frac{6×5}{5+2.5}=4$.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC∽△FCD，优先通过两角对应相等判定相似：首先由AD=AC可得等腰三角形底角相等，即∠ACB=∠FDC；再由D是BC中点且DE⊥BC，可知DE是BC的垂直平分线，得EC=EB，推出∠B=∠FCD，两组角对应相等即可证得相似。
(2) 求DE的长时，先利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知△FCD的面积算出△ABC的面积；再作AH⊥BC，利用等腰三角形三线合一求出CH、BH的长度，结合△ABC面积求出AH的长；最后由AH、DE均垂直BC得AH//DE，推出△BDE∽△BHA，通过对应边成比例即可计算DE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，即∠FDC=∠ACB。
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴DE是线段BC的垂直平分线，
∴EC=EB，
∴∠ECB=∠B，即∠FCD=∠B。
在△ABC和△FCD中：
$\begin{cases}∠B=∠FCD \\∠ACB=∠FDC\end{cases}$
∴△ABC∽△FCD（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：过点A作AH⊥BC于点H。
∵D是BC的中点，BC=10，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5。
∵AD=AC，AH⊥CD，
根据等腰三角形三线合一性质，得CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=2.5，
∴BH=BD+DH=5+2.5=7.5。
由(1)知△ABC∽△FCD，相似比为$\frac{BC}{CD}=\frac{10}{5}=2$，
∴$\frac{S_{△ABC}}{S_{△FCD}}=2^2=4$，
∵$S_{△FCD}=7.5$，
∴$S_{△ABC}=4×7.5=30$。
又
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·BC·AH$，代入得：
$30=\frac{1}{2}×10×AH$，解得AH=6。
∵AH⊥BC，ED⊥BC，
∴∠AHB=∠EDB=90°，即AH//ED，
∴△BDE∽△BHA，
∴$\frac{DE}{AH}=\frac{BD}{BH}$，
代入AH=6，BD=5，BH=7.5得：
$DE=\frac{6×5}{7.5}=4$。
【答案】
(1) △ABC∽△FCD得证；
(2) DE的长为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类题目，核心考查相似三角形的判定与性质的应用，解题过程中需要结合线段垂直平分线、等腰三角形三线合一的性质逐步推导，合理作辅助线构造相似三角形是解题的关键，能有效锻炼逻辑推理能力和几何运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△ABC∽△FCD，优先通过两角对应相等判定相似：首先由AD=AC可得等腰三角形底角相等，即∠ACB=∠FDC；再由D是BC中点且DE⊥BC，可知DE是BC的垂直平分线，得EC=EB，推出∠B=∠FCD，两组角对应相等即可证得相似。
(2) 求DE的长时，先利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知△FCD的面积算出△ABC的面积；再作AH⊥BC，利用等腰三角形三线合一求出CH、BH的长度，结合△ABC面积求出AH的长；最后由AH、DE均垂直BC得AH//DE，推出△BDE∽△BHA，通过对应边成比例即可计算DE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，即∠FDC=∠ACB。
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴DE是线段BC的垂直平分线，
∴EC=EB，
∴∠ECB=∠B，即∠FCD=∠B。
在△ABC和△FCD中：
$\begin{cases}∠B=∠FCD \\∠ACB=∠FDC\end{cases}$
∴△ABC∽△FCD（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：过点A作AH⊥BC于点H。
∵D是BC的中点，BC=10，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5。
∵AD=AC，AH⊥CD，
根据等腰三角形三线合一性质，得CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=2.5，
∴BH=BD+DH=5+2.5=7.5。
由(1)知△ABC∽△FCD，相似比为$\frac{BC}{CD}=\frac{10}{5}=2$，
∴$\frac{S_{△ABC}}{S_{△FCD}}=2^2=4$，
∵$S_{△FCD}=7.5$，
∴$S_{△ABC}=4×7.5=30$。
又
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·BC·AH$，代入得：
$30=\frac{1}{2}×10×AH$，解得AH=6。
∵AH⊥BC，ED⊥BC，
∴∠AHB=∠EDB=90°，即AH//ED，
∴△BDE∽△BHA，
∴$\frac{DE}{AH}=\frac{BD}{BH}$，
代入AH=6，BD=5，BH=7.5得：
$DE=\frac{6×5}{7.5}=4$。
【答案】
(1) △ABC∽△FCD得证；
(2) DE的长为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类题目，核心考查相似三角形的判定与性质的应用，解题过程中需要结合线段垂直平分线、等腰三角形三线合一的性质逐步推导，合理作辅助线构造相似三角形是解题的关键，能有效锻炼逻辑推理能力和几何运算能力。
【难度系数】
0.6
