8.多项式$5a^3 - 3ab + 2a^3 + 4ab -7a^3$的值()

A.只与$a$有关
B.与$a,b$都有关
C.只与$b$有关
D.与$a,b$都无关

8.B

【分析】要判断多项式的值与哪些字母有关，需先对多项式合并同类项，将其化简为最简形式，再观察化简结果中包含哪些字母，即可判断值和哪些字母相关。解题步骤：1.先找出多项式中的同类项；2.根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变；3.观察化简后的结果所含字母，判断对应选项。
【解析】首先对多项式合并同类项：
原式=$(5a^3 + 2a^3 - 7a^3) + (-3ab + 4ab)$
先计算$a^3$项的系数和：$5 + 2 - 7 = 0$，因此$a^3$类项合并后为0；
再计算$ab$项的系数和：$-3 + 4 = 1$，因此$ab$类项合并后为$ab$；
即化简后结果为$ab$，结果中同时含有字母$a$和$b$，因此该多项式的值与$a、b$都有关。
【答案】B
【知识点】合并同类项；多项式的值
【点评】本题考查合并同类项的应用，属于基础题型，解题的核心是正确掌握合并同类项的运算法则，通过化简多项式判断字母对取值的影响。
【难度系数】0.8

9.计算$m - 3m + 5m - 7m + \dots - 2027m$的结果为()

A.0

B.$-1014m$
C.$m$
D.无法确定

9.B

【分析】
本题是合并同类项与规律探究结合的题目，解题思路如下：①首先观察式子，所有项都含有相同字母m，属于同类项，合并时只需将各项的系数相加，字母m保持不变；②观察系数的规律：正负交替出现，绝对值为从1开始的连续奇数，最后一项系数为-2027；③可以采用分组计算法，将相邻两项分为一组，每组的系数和为固定值，先计算总项数，再确定分组数量，最终求出所有系数的和，即可得到计算结果。
【解析】
第一步：确定总项数
观察系数的绝对值，是连续的奇数，第k个奇数可以表示为$2k-1$，令$2k-1=2027$，解得：
$k=(2027+1)÷2=1014$，即式子总共有1014项。
第二步：分组计算系数和
将相邻两项分为一组，每组的和为：$1-3=-2$，$5-7=-2$，……，每组的系数和均为$-2$。
总共有$1014÷2=507$组，因此所有系数的和为：$507×(-2)=-1014$。
第三步：合并同类项
原式合并后结果为系数和乘m，即$-1014m$。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；有理数加减运算；规律探究
【点评】
本题的核心是通过观察系数的排列规律，用分组法简化系数的加减运算，解题时要注意准确计算总项数，避免因项数计算错误导致分组出错，是同类项合并中比较典型的规律类题型。
【难度系数】
0.6

10. 分类讨论思想 已知$a,b$为常数，且三个单项式$3xy^2, axy^b, -7xy$相加得到的和仍然是单项式，那么$a+b=$。

10.$-1$或$8$

【分析】
要解决本题，首先明确：三个单项式相加的和仍为单项式，说明最终结果只含一类单项式。已知$3xy^2$和$-7xy$所含字母相同但$y$的指数不同，不是同类项，无法合并，因此需分两种情况讨论：①$axy^b$与$3xy^2$是同类项，且二者合并后和为0，剩下$-7xy$为单项式；②$axy^b$与$-7xy$是同类项，且二者合并后和为0，剩下$3xy^2$为单项式。再结合同类项定义和合并后系数为0的条件，分别求出$a$、$b$的值，即可计算$a+b$。
【解析】
因为三个单项式相加的和仍为单项式，且$3xy^2$与$-7xy$不是同类项，所以分两种情况讨论：
1. 当$axy^b$与$3xy^2$是同类项时：
根据同类项“相同字母的指数相同”的定义，可得$b=2$；
要使二者合并后和为0，需满足系数相加为0，即$3+a=0$，解得$a=-3$；
此时$a+b=-3+2=-1$。
2. 当$axy^b$与$-7xy$是同类项时：
同理可得$b=1$；
要使二者合并后和为0，需满足$a + (-7)=0$，解得$a=7$；
此时$a+b=7+1=8$。
综上，$a+b$的值为$-1$或$8$。
【答案】
$-1$或$8$
【知识点】
同类项的定义，合并同类项，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查合并同类项的实际应用，解题关键是根据“和为单项式”的条件确定分类讨论的方向，做题时要注意考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.6

11. 新情境 立德树人·安全意识 在一次普及“交通安全知识”的综合实践活动中，七年级学生们对货车(如图①)的盲区面积进行探究，得到货车盲区的部分分布图(如图②)，已知盲区1,2的面积相同.
(1)用含a,b的代数式表示图中盲区的总面积(结果需化简)；
(2)若$a=2,b=2$,求图中盲区的总面积.

11.解：(1)由题意得盲区1,2的面积都是$\dfrac{1}{2}a(3b+2a)=\dfrac{3}{2}ab+a^2$,盲区3的面积是$\dfrac{1}{2}(a+3a-2b)·2a=4a^2-2ab$,盲区4的面积是$a^2$,所以盲区的总面积为$\dfrac{3}{2}ab+a^2+\dfrac{3}{2}ab+a^2+4a^2-2ab+a^2=7a^2+ab.$
(2)当$a=2,b=2$时,$7a^2+ab=7×2^2+2×2=32.$
所以题图中盲区的总面积为32.

【分析】
解决这道题可按以下思路思考：
1. 第(1)问：先回忆常见图形的面积计算公式，分别求出每个盲区的面积（已知盲区1和2面积相等，可单独计算后相加），再将所有盲区面积求和，最后用合并同类项的法则把代数式化简为最简形式即可。
2. 第(2)问：直接将$a=2$、$b=2$代入第(1)问得到的最简代数式中，按有理数运算规则计算出结果即可。
【解析】
(1) 根据题意计算各盲区面积：
盲区1、2的面积均为：$\dfrac{1}{2}a(3b+2a)=\dfrac{3}{2}ab+a^2$
盲区3的面积为：$\dfrac{1}{2}(a+3a-2b)·2a=4a^2-2ab$
盲区4的面积为：$a^2$
盲区总面积为四个盲区面积之和，代入后合并同类项：
$\begin{aligned}&\dfrac{3}{2}ab+a^2+\dfrac{3}{2}ab+a^2+4a^2-2ab+a^2\\=&(a^2+a^2+4a^2+a^2)+(\dfrac{3}{2}ab+\dfrac{3}{2}ab-2ab)\\=&7a^2+ab\end{aligned}$
(2) 将$a=2$，$b=2$代入$7a^2+ab$计算：
$\begin{aligned}7a^2+ab&=7×2^2+2×2\\&=7×4+4\\&=28+4\\&=32\end{aligned}$
【答案】
(1) $7a^2+ab$；(2) $32$
【知识点】
列代数式，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题结合交通安全的生活情境命题，既考查了整式加减的基础应用，也能引导学生增强安全意识。解题的核心是正确计算各部分图形的面积，再准确完成合并同类项和代入求值的运算，侧重对基础知识的掌握。
【难度系数】
0.7

12. 推理能力 活动课上，嘉嘉提出一个猜想：把一个三位数的百位与个位上的数交换位置，十位上的数不变，得到一个新三位数. 原数与新数的差等于99乘原数的百位与个位上的数的差. 例如：$782 - 287 = 99 × (7 - 2)$.
(1)嘉嘉的猜想是否正确？请说明理由.
(2)已知一个五位数的万位上的数为$m$，个位上的数为$n$，把万位与个位上的数交换位置，其余数位上的数不变，得到一个新五位数. 原数与新数的差等于.
(用含$m$，$n$的式子表示)

12.解：(1)嘉嘉的猜想正确.理由如下：
设一个三位数的百位上的数为$a$,十位上的数为$b$,个位上的数为$c$,
则该三位数为$100a+10b+c$,新三位数为$100c+10b+a$.
$100a+10b+c-(100c+10b+a)=99(a-c)$,所以嘉嘉的猜想正确.
(2)$9999(m-n)$

【分析】
(1)要验证嘉嘉的猜想是否正确，可通过用字母表示三位数各个数位上的数字，将原三位数和交换百位、个位后的新三位数用代数式表示，再计算两数的差，化简后判断是否符合猜想的结论即可。
(2)类比第一问的解题思路，先将原五位数和交换万位、个位后的新五位数用代数式表示（中间数位的数不变，相减时会抵消），再通过整式的加减运算化简差，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 嘉嘉的猜想正确，理由如下：
设原三位数的百位数字为$a$，十位数字为$b$，个位数字为$c$，则原三位数可表示为$100a+10b+c$，交换百位和个位后的新三位数可表示为$100c+10b+a$。
计算两数的差：
$\begin{split}&100a+10b+c-(100c+10b+a)\\=&100a+10b+c-100c-10b-a\\=&(100a-a)+(10b-10b)+(c-100c)\\=&99a-99c\\=&99(a-c)\end{split}$
因此原数与新数的差等于99乘原数百位与个位的差，嘉嘉的猜想正确。
(2) 设五位数中万位和个位之外的其余数位组成的数为$k$，则原五位数可表示为$10000m+10k+n$，交换万位和个位后的新五位数可表示为$10000n+10k+m$。
计算两数的差：
$\begin{split}&10000m+10k+n-(10000n+10k+m)\\=&10000m+10k+n-10000n-10k-m\\=&(10000m-m)+(10k-10k)+(n-10000n)\\=&9999m-9999n\\=&9999(m-n)\end{split}$
【答案】
(1) 嘉嘉的猜想正确，理由见解析；(2) $9999(m-n)$
【知识点】
用字母表示数，整式的加减，合并同类项
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题核心是掌握多位数的代数式表示方法，通过类比推理从三位数的规律延伸到五位数的规律，既考查了整式加减的运算能力，也锻炼了逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

13.新题型 类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”.例如：$-x^3y^4$与$2x^4y^3$是“强同类项”.
(1)给出下列四个单项式：①$5x^2y^5$，②$-x^5y^5$，③$4x^4y^4$，④$-2x^3y^6$，其中与$x^4y^5$是“强同类项”的是(填序号)；
(2)若$x^3y^4z^{m-2}$与$-2x^2y^3z^6$是“强同类项”，求$m$的值；
(3)已知$2a^2b^s$，$3a^tb^4$均为关于$a,b$的单项式，其中$s=|x-1|+k$，$t=2k$，如果$2a^2b^s$与$3a^tb^4$是“强同类项”，那么$x$的最大值是，最小值是.

13.解：(1)②③④
(2)因为$x^3y^4z^{m-2}$与$-2x^2y^3z^6$是“强同类项”,所以$m-2=5$或6或7,所以$m=7$或8或9.
(3)$\dfrac{11}{2}$;$-\dfrac{7}{2}$

【分析】
解题前首先明确“强同类项”的定义：所含字母相同，且每个相同字母的指数之差的绝对值为0或1。
(1) 将四个单项式分别与$x^4y^5$对比，逐一验证每个相同字母的指数差的绝对值是否为0或1即可；
(2) 先判断x、y的指数已符合强同类项要求，只需让z的指数差的绝对值为0或1，列等式求解m即可；
(3) 先根据a的指数要求求出k的所有可能取值，再结合b的指数要求得到$|x-1|$的最大值，最后根据绝对值的性质求x的最值。
【解析】
(1) 与$x^4y^5$逐一对比：
①$5x^2y^5$：x的指数差为$|2-4|=2＞1$，不符合要求；
②$-x^5y^5$：x的指数差$|5-4|=1$，y的指数差$|5-5|=0$，均符合要求，是强同类项；
③$4x^4y^4$：x的指数差$|4-4|=0$，y的指数差$|4-5|=1$，均符合要求，是强同类项；
④$-2x^3y^6$：x的指数差$|3-4|=1$，y的指数差$|6-5|=1$，均符合要求，是强同类项。
(2) 已知$x^3y^4z^{m-2}$与$-2x^2y^3z^6$是强同类项：
x的指数差$|3-2|=1$，y的指数差$|4-3|=1$，均满足要求；
只需z的指数差满足$|(m-2)-6|=0$或$1$，即$|m-8|=0$或$1$，
可得$m-8=0$、$m-8=1$或$m-8=-1$，解得$m=7$、$8$或$9$。
(3) 因为$2a^2b^s$与$3a^tb^4$是强同类项：
首先对a的指数：$|2-t|=0$或$1$，代入$t=2k$得$|2-2k|=0$或$1$，
解得$k=1$、$k=\frac{1}{2}$或$k=\frac{3}{2}$；
再对b的指数：$|s-4|=0$或$1$，可得$s$的取值为3、4、5，
代入$s=|x-1|+k$得$|x-1|=s-k$，要使x取最值，需$|x-1|$取最大值：
当k取最小值$\frac{1}{2}$、s取最大值5时，$|x-1|=5-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$，
即$x-1=\pm\frac{9}{2}$，故x的最大值为$1+\frac{9}{2}=\frac{11}{2}$，最小值为$1-\frac{9}{2}=-\frac{7}{2}$。
【答案】
(1)②③④；(2)$m=7$或$8$或$9$；(3)$\dfrac{11}{2}$；$-\dfrac{7}{2}$
【知识点】
新定义理解，绝对值运算，单项式概念
【点评】
本题以新定义为载体考查知识迁移能力，解题核心是准确理解“强同类项”的规则，结合绝对值性质分情况讨论，注意不要漏解。
【难度系数】
0.65