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例1:计算$\frac{8}{15} ÷ 5 + \frac{1}{5} × \frac{7}{15}$。
答案：$\frac{8}{15} ÷ 5 + \frac{1}{5} × \frac{7}{15}$
$=\frac{8}{15} × \frac{1}{5} + \frac{1}{5} × \frac{7}{15}$
$=\frac{1}{5} × (\frac{8}{15} + \frac{7}{15})$
$=\frac{1}{5} × 1$
$=\frac{1}{5}$
答案：$\frac{8}{15} ÷ 5 + \frac{1}{5} × \frac{7}{15}$
$=\frac{8}{15} × \frac{1}{5} + \frac{1}{5} × \frac{7}{15}$
$=\frac{1}{5} × (\frac{8}{15} + \frac{7}{15})$
$=\frac{1}{5} × 1$
$=\frac{1}{5}$
答案
$\frac{8}{15} ÷ 5 + \frac{1}{5} × \frac{7}{15}$
$=\frac{8}{15} × \frac{1}{5} + \frac{1}{5} × \frac{7}{15}$
$=\frac{1}{5} × (\frac{8}{15} + \frac{7}{15})$
$=\frac{1}{5} × 1$
$=\frac{1}{5}$
$=\frac{8}{15} × \frac{1}{5} + \frac{1}{5} × \frac{7}{15}$
$=\frac{1}{5} × (\frac{8}{15} + \frac{7}{15})$
$=\frac{1}{5} × 1$
$=\frac{1}{5}$
解析
【分析】
拿到这道题首先观察运算类型，算式中有除法、乘法和加法，属于分数四则混合运算。第一步先回忆分数除法的计算方法：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，所以先把÷5转化为×$\frac{1}{5}$。转化后发现两个乘法项都含有相同因数$\frac{1}{5}$，符合乘法分配律逆运算的特征，我们可以提取公共因数$\frac{1}{5}$，先计算剩余两个分数的和，刚好$\frac{8}{15}$与$\frac{7}{15}$的和是1，再计算乘法就能快速得到结果，比按顺序先算乘除再算加法更简便。
【解析】
$\frac{8}{15} ÷ 5 + \frac{1}{5} × \frac{7}{15}$
$=\frac{8}{15} × \frac{1}{5} + \frac{1}{5} × \frac{7}{15}$
$=\frac{1}{5} × (\frac{8}{15} + \frac{7}{15})$
$=\frac{1}{5} × 1$
$=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
分数除法运算，乘法分配律逆用，分数四则混合运算
【点评】
本题是分数简便计算的典型题型，解题核心是先将除法统一为乘法，再观察算式中相同的因数，巧用运算定律简化计算，避免繁琐的分步计算降低正确率。
【难度系数】
0.7
拿到这道题首先观察运算类型，算式中有除法、乘法和加法，属于分数四则混合运算。第一步先回忆分数除法的计算方法：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，所以先把÷5转化为×$\frac{1}{5}$。转化后发现两个乘法项都含有相同因数$\frac{1}{5}$，符合乘法分配律逆运算的特征，我们可以提取公共因数$\frac{1}{5}$，先计算剩余两个分数的和，刚好$\frac{8}{15}$与$\frac{7}{15}$的和是1，再计算乘法就能快速得到结果，比按顺序先算乘除再算加法更简便。
【解析】
$\frac{8}{15} ÷ 5 + \frac{1}{5} × \frac{7}{15}$
$=\frac{8}{15} × \frac{1}{5} + \frac{1}{5} × \frac{7}{15}$
$=\frac{1}{5} × (\frac{8}{15} + \frac{7}{15})$
$=\frac{1}{5} × 1$
$=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
分数除法运算，乘法分配律逆用，分数四则混合运算
【点评】
本题是分数简便计算的典型题型，解题核心是先将除法统一为乘法，再观察算式中相同的因数，巧用运算定律简化计算，避免繁琐的分步计算降低正确率。
【难度系数】
0.7
练习1:计算下面各题,能简算的要简算。
$4×(\dfrac{5}{4}+2.5)$
$5÷\dfrac{5}{6}-\dfrac{5}{6}÷5$
$3.6+1.25×6.7×8$
$\dfrac{3}{25}×99$
$4×(\dfrac{5}{4}+2.5)$
$5÷\dfrac{5}{6}-\dfrac{5}{6}÷5$
$3.6+1.25×6.7×8$
$\dfrac{3}{25}×99$
答案
1. 15
2. $5\frac{5}{6}$
3. 70.6
4. $11\frac{22}{25}$
2. $5\frac{5}{6}$
3. 70.6
4. $11\frac{22}{25}$
解析
【分析】
拿到这组计算题，先观察每个算式的数字特征，优先判断是否可运用运算定律简算，若无简算条件则按“先乘除后加减，有括号先算括号内”的四则运算顺序计算：
1. 第一题括号外的4与括号内的两个数相乘均能得到整数，可运用乘法分配律拆分计算，避免通分麻烦；
2. 第二题是除减混合运算，先将除法转化为乘法分别计算两个商，再做减法；
3. 第三题的连乘部分有1.25和8，二者相乘可得整数10，可运用乘法交换律调整计算顺序简化运算；
4. 第四题中99接近整百数100，可将99拆为（100-1），运用乘法分配律简算。
【解析】
1. $4×(\dfrac{5}{4}+2.5)$
$=4×\dfrac{5}{4} + 4×2.5$
$=5 + 10$
$=15$
2. $5÷\dfrac{5}{6}-\dfrac{5}{6}÷5$
$=5×\dfrac{6}{5} - \dfrac{5}{6}×\dfrac{1}{5}$
$=6 - \dfrac{1}{6}$
$=5\dfrac{5}{6}$
3. $3.6+1.25×6.7×8$
$=3.6 + 1.25×8×6.7$
$=3.6 + 10×6.7$
$=3.6 + 67$
$=70.6$
4. $\dfrac{3}{25}×99$
$=\dfrac{3}{25}×(100-1)$
$=\dfrac{3}{25}×100 - \dfrac{3}{25}×1$
$=12 - \dfrac{3}{25}$
$=11\dfrac{22}{25}$
【答案】
1. 15
2. $5\frac{5}{6}$
3. 70.6
4. $11\frac{22}{25}$
【知识点】
乘法运算定律、分数四则运算、小数四则运算
【点评】
本组题目重点考查四则混合运算的计算能力和简便运算的灵活运用能力，解题时要先观察数字特点选择合适的运算定律，能有效降低计算量、减少计算错误。
【难度系数】
0.7
拿到这组计算题，先观察每个算式的数字特征，优先判断是否可运用运算定律简算，若无简算条件则按“先乘除后加减，有括号先算括号内”的四则运算顺序计算：
1. 第一题括号外的4与括号内的两个数相乘均能得到整数，可运用乘法分配律拆分计算，避免通分麻烦；
2. 第二题是除减混合运算，先将除法转化为乘法分别计算两个商，再做减法；
3. 第三题的连乘部分有1.25和8，二者相乘可得整数10，可运用乘法交换律调整计算顺序简化运算；
4. 第四题中99接近整百数100，可将99拆为（100-1），运用乘法分配律简算。
【解析】
1. $4×(\dfrac{5}{4}+2.5)$
$=4×\dfrac{5}{4} + 4×2.5$
$=5 + 10$
$=15$
2. $5÷\dfrac{5}{6}-\dfrac{5}{6}÷5$
$=5×\dfrac{6}{5} - \dfrac{5}{6}×\dfrac{1}{5}$
$=6 - \dfrac{1}{6}$
$=5\dfrac{5}{6}$
3. $3.6+1.25×6.7×8$
$=3.6 + 1.25×8×6.7$
$=3.6 + 10×6.7$
$=3.6 + 67$
$=70.6$
4. $\dfrac{3}{25}×99$
$=\dfrac{3}{25}×(100-1)$
$=\dfrac{3}{25}×100 - \dfrac{3}{25}×1$
$=12 - \dfrac{3}{25}$
$=11\dfrac{22}{25}$
【答案】
1. 15
2. $5\frac{5}{6}$
3. 70.6
4. $11\frac{22}{25}$
【知识点】
乘法运算定律、分数四则运算、小数四则运算
【点评】
本组题目重点考查四则混合运算的计算能力和简便运算的灵活运用能力，解题时要先观察数字特点选择合适的运算定律，能有效降低计算量、减少计算错误。
【难度系数】
0.7
例2:师徒二人计划加工336个零件,实际超额完成计划的$\frac{1}{7}$。已知徒弟完成了计划的$\frac{5}{16}$,师父实际加工了多少个零件?
答案:$336×(1+\frac{1}{7})=384$(个)
$384-336×\frac{5}{16}=279$(个)
答:师父实际加工了279个零件。
答案:$336×(1+\frac{1}{7})=384$(个)
$384-336×\frac{5}{16}=279$(个)
答:师父实际加工了279个零件。
答案
$336×(1+\frac{1}{7})=384$(个)
$384-336×\frac{5}{16}=279$(个)
答:师父实际加工了279个零件。
$384-336×\frac{5}{16}=279$(个)
答:师父实际加工了279个零件。
解析
【分析】
解题时首先要明确题目中的单位“1”：本题中“超额完成计划的$\frac{1}{7}$”和“徒弟完成了计划的$\frac{5}{16}$”对应的单位“1”都是计划加工的336个零件。第一步先算出师徒二人实际一共加工的零件总数，第二步算出徒弟实际加工的零件数，最后用实际加工的总零件数减去徒弟加工的数量，即可得到师父实际加工的零件数。
【解析】
1. 计算师徒实际加工的总零件数：
把计划加工零件数看作单位“1”，实际完成量是计划的$1+\frac{1}{7}$，因此总数量为：
$336×(1+\frac{1}{7})$
$=336×\frac{8}{7}$
$=384$（个）
2. 计算徒弟实际加工的零件数：
徒弟完成量对应计划的$\frac{5}{16}$，因此徒弟加工数量为：
$336×\frac{5}{16}=105$（个）
3. 计算师父实际加工的零件数：
用实际总加工量减去徒弟加工量：
$384-105=279$（个）
【答案】
师父实际加工了279个零件。
【知识点】
分数乘法应用，单位“1”判定，分数四则运算
【点评】
本题是分数乘法的常见应用题型，解题核心是准确判断每个分率对应的单位“1”，理清总工作量、徒弟工作量、师父工作量三者的数量关系，计算时注意约分能有效提升做题的准确率和速度。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确题目中的单位“1”：本题中“超额完成计划的$\frac{1}{7}$”和“徒弟完成了计划的$\frac{5}{16}$”对应的单位“1”都是计划加工的336个零件。第一步先算出师徒二人实际一共加工的零件总数，第二步算出徒弟实际加工的零件数，最后用实际加工的总零件数减去徒弟加工的数量，即可得到师父实际加工的零件数。
【解析】
1. 计算师徒实际加工的总零件数：
把计划加工零件数看作单位“1”，实际完成量是计划的$1+\frac{1}{7}$，因此总数量为：
$336×(1+\frac{1}{7})$
$=336×\frac{8}{7}$
$=384$（个）
2. 计算徒弟实际加工的零件数：
徒弟完成量对应计划的$\frac{5}{16}$，因此徒弟加工数量为：
$336×\frac{5}{16}=105$（个）
3. 计算师父实际加工的零件数：
用实际总加工量减去徒弟加工量：
$384-105=279$（个）
【答案】
师父实际加工了279个零件。
【知识点】
分数乘法应用，单位“1”判定，分数四则运算
【点评】
本题是分数乘法的常见应用题型，解题核心是准确判断每个分率对应的单位“1”，理清总工作量、徒弟工作量、师父工作量三者的数量关系，计算时注意约分能有效提升做题的准确率和速度。
【难度系数】
0.6
练习2：“爱学”文具店推出了“购物满60元减6元”的优惠活动。乐乐买了4本笔记本和1支钢笔，笔记本每本3.8元，钢笔每支15.5元。他再买一盒28元的彩笔，能参加优惠活动吗？
答案
$3.8×4+15.5+28=58.7$(元)
$58.7＜60$
答:不能参加优惠活动。
$58.7＜60$
答:不能参加优惠活动。
解析
【分析】
要判断能不能参加优惠活动，首先要明确优惠的门槛是购物总金额满60元，所以我们需要先算出乐乐购买所有商品的总花费，再把总花费和60元作比较：如果总花费大于或等于60元就能参加优惠，小于60元就不能参加。计算总花费时，先根据“总价=单价×数量”算出4本笔记本的总价，再依次加上1支钢笔的价格、1盒彩笔的价格就能得到总消费金额。
【解析】
第一步：计算4本笔记本的总价
$3.8×4=15.2$（元）
第二步：计算所有商品的总花费
$15.2+15.5+28=58.7$（元）
第三步：和优惠门槛比较
$58.7＜60$，不符合满减条件
【答案】
不能参加优惠活动。
【知识点】
小数乘法、小数加法、大小比较
【点评】
本题结合生活中常见的购物促销场景，考查四则运算的实际应用能力，解题核心是先准确计算总消费金额，再和优惠门槛对比即可得出结论，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.85
要判断能不能参加优惠活动，首先要明确优惠的门槛是购物总金额满60元，所以我们需要先算出乐乐购买所有商品的总花费，再把总花费和60元作比较：如果总花费大于或等于60元就能参加优惠，小于60元就不能参加。计算总花费时，先根据“总价=单价×数量”算出4本笔记本的总价，再依次加上1支钢笔的价格、1盒彩笔的价格就能得到总消费金额。
【解析】
第一步：计算4本笔记本的总价
$3.8×4=15.2$（元）
第二步：计算所有商品的总花费
$15.2+15.5+28=58.7$（元）
第三步：和优惠门槛比较
$58.7＜60$，不符合满减条件
【答案】
不能参加优惠活动。
【知识点】
小数乘法、小数加法、大小比较
【点评】
本题结合生活中常见的购物促销场景，考查四则运算的实际应用能力，解题核心是先准确计算总消费金额，再和优惠门槛对比即可得出结论，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.85
例3:搬运一堆粮食,货车单独运要8次运完,三轮车单独运要12次运完。先让货车单独运3次,剩下的两车合运,还要运几次?
答案:$1-\frac{1}{8}×3=\frac{5}{8}$
$\frac{5}{8}÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})=3$(次)
答:还要运3次。
答案:$1-\frac{1}{8}×3=\frac{5}{8}$
$\frac{5}{8}÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})=3$(次)
答:还要运3次。
答案
$1-\frac{1}{8}×3=\frac{5}{8}$
$\frac{5}{8}÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})=3$(次)
答:还要运3次。
$\frac{5}{8}÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})=3$(次)
答:还要运3次。
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时先把这堆粮食的总工作量看作单位“1”。第一步先算出货车的工作效率和已经完成的工作量，进而求出剩余工作量；第二步算出两车合运的工作效率和；最后根据“工作时间=剩余工作量÷合作工作效率”即可求出还需要运的次数。
【解析】
解：把这堆粮食的总总量看作单位“1”。
1. 货车单次工作效率为$\frac{1}{8}$，运3次完成的工作量：$\frac{1}{8}×3=\frac{3}{8}$
2. 剩余未运输的工作量：$1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$
3. 两车合运的单次工作效率和：$\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{3}{24}+\frac{2}{24}=\frac{5}{24}$
4. 还需要运输的次数：$\frac{5}{8}÷\frac{5}{24}=3$（次）
【答案】
还要运3次。
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算、工作效率计算
【点评】
本题是基础的合作工程类题型，解题核心是明确单位“1”，熟练掌握工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系，计算时要注意分数通分、约分的准确性。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题时先把这堆粮食的总工作量看作单位“1”。第一步先算出货车的工作效率和已经完成的工作量，进而求出剩余工作量；第二步算出两车合运的工作效率和；最后根据“工作时间=剩余工作量÷合作工作效率”即可求出还需要运的次数。
【解析】
解：把这堆粮食的总总量看作单位“1”。
1. 货车单次工作效率为$\frac{1}{8}$，运3次完成的工作量：$\frac{1}{8}×3=\frac{3}{8}$
2. 剩余未运输的工作量：$1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$
3. 两车合运的单次工作效率和：$\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{3}{24}+\frac{2}{24}=\frac{5}{24}$
4. 还需要运输的次数：$\frac{5}{8}÷\frac{5}{24}=3$（次）
【答案】
还要运3次。
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算、工作效率计算
【点评】
本题是基础的合作工程类题型，解题核心是明确单位“1”，熟练掌握工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系，计算时要注意分数通分、约分的准确性。
【难度系数】
0.7
练习3:中秋节到了,王芳准备做一批月饼,她单独做需要8小时。妈妈提前帮她做了$\frac{1}{4}$,王芳接着做,还需要多少小时才能做完？
答案
$(1-\frac{1}{4})÷\frac{1}{8}=6$(时)
答:还需要6小时才能做完。
答:还需要6小时才能做完。
解析
【分析】
这是典型的工程问题，我们可以先把这批月饼的总工作量看作单位“1”。首先求王芳的工作效率：已知她单独做要8小时完成，所以每小时完成总工作量的$\frac{1}{8}$。接下来求剩余的工作量：妈妈已经做了$\frac{1}{4}$，剩下的工作量就是总工作量减去已完成的$\frac{1}{4}$。最后根据“工作时间=工作量÷工作效率”，用剩余工作量除以王芳的工作效率，就能算出还需要的时间。
【解析】
解：把这批月饼的总工作量看作单位“1”。
王芳的工作效率：$1÷8=\frac{1}{8}$
剩余工作量：$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
需要的时间：$\frac{3}{4}÷\frac{1}{8}=6$（小时）
【答案】
$(1-\frac{1}{4})÷\frac{1}{8}=6$(时)
答:还需要6小时才能做完。
【知识点】
1. 工程问题
2. 分数除法应用
3. 工作总量、效率、时间的关系
【点评】
本题是工程类基础题型，解题核心是准确将总工作量设为单位“1”，理清已完成工作量、剩余工作量和工作效率之间的数量关系，掌握基础公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程问题，我们可以先把这批月饼的总工作量看作单位“1”。首先求王芳的工作效率：已知她单独做要8小时完成，所以每小时完成总工作量的$\frac{1}{8}$。接下来求剩余的工作量：妈妈已经做了$\frac{1}{4}$，剩下的工作量就是总工作量减去已完成的$\frac{1}{4}$。最后根据“工作时间=工作量÷工作效率”，用剩余工作量除以王芳的工作效率，就能算出还需要的时间。
【解析】
解：把这批月饼的总工作量看作单位“1”。
王芳的工作效率：$1÷8=\frac{1}{8}$
剩余工作量：$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
需要的时间：$\frac{3}{4}÷\frac{1}{8}=6$（小时）
【答案】
$(1-\frac{1}{4})÷\frac{1}{8}=6$(时)
答:还需要6小时才能做完。
【知识点】
1. 工程问题
2. 分数除法应用
3. 工作总量、效率、时间的关系
【点评】
本题是工程类基础题型，解题核心是准确将总工作量设为单位“1”，理清已完成工作量、剩余工作量和工作效率之间的数量关系，掌握基础公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
