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三、解答题
7. 如图，点 A，O，B 在同一直线上，且 $△ ACO ≌ △ BDO$. 求证：
（1）点 C，O，D 在同一直线上；
（2）$AC // BD$.
7. 如图，点 A，O，B 在同一直线上，且 $△ ACO ≌ △ BDO$. 求证：
（1）点 C，O，D 在同一直线上；
（2）$AC // BD$.
答案
7. 提示：(1) 证明 $∠AOD+∠AOC=180°$ (2) 证明 $∠A=∠B$ 或 $∠C=∠D$
解析
【分析】
本题可结合全等三角形的性质、平角定义和平行线判定定理求解：
（1）要证明点C,O,D在同一直线上，只需证明∠COD为180°（平角）。已知A,O,B共线可得∠AOB=180°，即∠BOD+∠AOD=180°，再利用全等三角形对应角相等，将∠BOD替换为相等的∠AOC，即可推出∠COD=180°。
（2）要证明AC//BD，可通过证明两条直线被AB所截形成的内错角相等推导，利用全等三角形对应角相等得到∠A=∠B，即可根据平行线判定定理得证。
【解析】
证明：
（1）
∵ 点A，O，B在同一直线上，
∴ ∠AOB=180°，即$∠ BOD + ∠ AOD = 180°$。
∵ $△ ACO ≌ △ BDO$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOD$（全等三角形的对应角相等），
∴ $∠ AOC + ∠ AOD = 180°$，即$∠ COD=180°$，
∴ 点C，O，D在同一直线上。
（2）
∵ $△ ACO ≌ △ BDO$，
∴ $∠ A = ∠ B$（全等三角形的对应角相等），
∴ $AC // BD$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
（1）点C，O，D在同一直线上，得证；
（2）$AC // BD$，得证。
【知识点】
全等三角形的性质；平角的定义；平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，需要掌握将三点共线、两直线平行的证明转化为角的数量关系推导的思路，熟练运用全等三角形对应角相等的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题可结合全等三角形的性质、平角定义和平行线判定定理求解：
（1）要证明点C,O,D在同一直线上，只需证明∠COD为180°（平角）。已知A,O,B共线可得∠AOB=180°，即∠BOD+∠AOD=180°，再利用全等三角形对应角相等，将∠BOD替换为相等的∠AOC，即可推出∠COD=180°。
（2）要证明AC//BD，可通过证明两条直线被AB所截形成的内错角相等推导，利用全等三角形对应角相等得到∠A=∠B，即可根据平行线判定定理得证。
【解析】
证明：
（1）
∵ 点A，O，B在同一直线上，
∴ ∠AOB=180°，即$∠ BOD + ∠ AOD = 180°$。
∵ $△ ACO ≌ △ BDO$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOD$（全等三角形的对应角相等），
∴ $∠ AOC + ∠ AOD = 180°$，即$∠ COD=180°$，
∴ 点C，O，D在同一直线上。
（2）
∵ $△ ACO ≌ △ BDO$，
∴ $∠ A = ∠ B$（全等三角形的对应角相等），
∴ $AC // BD$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
（1）点C，O，D在同一直线上，得证；
（2）$AC // BD$，得证。
【知识点】
全等三角形的性质；平角的定义；平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，需要掌握将三点共线、两直线平行的证明转化为角的数量关系推导的思路，熟练运用全等三角形对应角相等的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 如图，$△ ABC ≌ △ EFC$，且点B，C，E在同一直线上，$CF=5\ \mathrm{cm}$，$∠ EFC=52°$，求$∠ A$的度数和BC的长。
答案
$∠A=38°$，$BC=5\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。第一步先确定△ABC和△EFC的对应元素：BC与CF是对应边，∠B与∠EFC是对应角，∠ACB与∠ECF是对应角。再结合点B、C、E共线，可得∠ACB与∠ECF的和为180°，进而推出两个角均为直角；最后利用三角形内角和定理计算∠A的度数，根据对应边相等得到BC的长度。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △EFC，
∴BC=CF（全等三角形的对应边相等），
∠B=∠EFC=52°（全等三角形的对应角相等），
∠ACB=∠ECF（全等三角形的对应角相等）。
∵点B，C，E在同一直线上，
∴∠ACB+∠ECF=180°，代入∠ACB=∠ECF可得∠ACB=∠ECF=90°。
根据三角形内角和为180°，在△ABC中：
∠A=180°-∠ACB-∠B=180°-90°-52°=38°。
又
∵CF=5 cm，
∴BC=CF=5 cm。
【答案】
∠A=38°，BC=5 cm
【知识点】
全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题目，解题的核心是准确识别全等三角形的对应边和对应角，结合平角的性质即可快速求解，需要同学们熟练掌握全等三角形对应元素的判断方法。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。第一步先确定△ABC和△EFC的对应元素：BC与CF是对应边，∠B与∠EFC是对应角，∠ACB与∠ECF是对应角。再结合点B、C、E共线，可得∠ACB与∠ECF的和为180°，进而推出两个角均为直角；最后利用三角形内角和定理计算∠A的度数，根据对应边相等得到BC的长度。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △EFC，
∴BC=CF（全等三角形的对应边相等），
∠B=∠EFC=52°（全等三角形的对应角相等），
∠ACB=∠ECF（全等三角形的对应角相等）。
∵点B，C，E在同一直线上，
∴∠ACB+∠ECF=180°，代入∠ACB=∠ECF可得∠ACB=∠ECF=90°。
根据三角形内角和为180°，在△ABC中：
∠A=180°-∠ACB-∠B=180°-90°-52°=38°。
又
∵CF=5 cm，
∴BC=CF=5 cm。
【答案】
∠A=38°，BC=5 cm
【知识点】
全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题目，解题的核心是准确识别全等三角形的对应边和对应角，结合平角的性质即可快速求解，需要同学们熟练掌握全等三角形对应元素的判断方法。
【难度系数】
0.85
9.
知识重现:“能够完全重合的两个图形叫作全等形.”
理解应用: 我们可以把 $4×4$ 网格图形划分为两个全等图形.
范例: 图(1)和图(2)是两种不同的划分方法,其中图(3)与图(1)视为同一种划分方法.
请在图(4)中用涂色的方式画出4种与范例不同的划分方法.
知识重现:“能够完全重合的两个图形叫作全等形.”
理解应用: 我们可以把 $4×4$ 网格图形划分为两个全等图形.
范例: 图(1)和图(2)是两种不同的划分方法,其中图(3)与图(1)视为同一种划分方法.
请在图(4)中用涂色的方式画出4种与范例不同的划分方法.
答案
答案不唯一.如图所示
解析
【分析】
解题时首先要抓住全等形的核心特征：能够完全重合，即两个划分出的图形大小、形状完全相同。4×4网格总共有16个小正方形，因此每个划分部分需要包含8个小正方形。其次要避开题目已给出的范例划分方式：已有的范例包括沿纵向直线将网格分为左右各2列的划分、第一和第三列上半部分涂色的划分，我们可以借助轴对称、中心对称的思路设计涂色方案，保证涂色区域和空白区域能够完全重合即可。
【解析】
步骤1：计算每个划分部分的小正方形数量：总共有4×4=16个小正方形，分成两个全等图形，因此每个图形包含16÷2=8个小正方形。
步骤2：设计涂色方案，需满足两个要求：①涂色的8个小正方形组成的图形与空白的8个小正方形组成的图形能够完全重合；②方案与题目给出的图(1)(2)(3)的划分方式不重复。
步骤3：按照设计的方案对图(4)的网格进行涂色，最终得到的4种不同划分方式如参考答案所示。
【答案】
答案不唯一.如图所示
【知识点】
1. 全等形的定义
2. 图形分割设计
3. 轴对称性质
【点评】
本题是开放型探究题，重点考查对全等形概念的理解和实践设计能力，只要紧扣全等形“可完全重合”的本质特征，就能灵活设计出多种符合要求的划分方案，能够有效锻炼发散思维和创新意识。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住全等形的核心特征：能够完全重合，即两个划分出的图形大小、形状完全相同。4×4网格总共有16个小正方形，因此每个划分部分需要包含8个小正方形。其次要避开题目已给出的范例划分方式：已有的范例包括沿纵向直线将网格分为左右各2列的划分、第一和第三列上半部分涂色的划分，我们可以借助轴对称、中心对称的思路设计涂色方案，保证涂色区域和空白区域能够完全重合即可。
【解析】
步骤1：计算每个划分部分的小正方形数量：总共有4×4=16个小正方形，分成两个全等图形，因此每个图形包含16÷2=8个小正方形。
步骤2：设计涂色方案，需满足两个要求：①涂色的8个小正方形组成的图形与空白的8个小正方形组成的图形能够完全重合；②方案与题目给出的图(1)(2)(3)的划分方式不重复。
步骤3：按照设计的方案对图(4)的网格进行涂色，最终得到的4种不同划分方式如参考答案所示。
【答案】
答案不唯一.如图所示
【知识点】
1. 全等形的定义
2. 图形分割设计
3. 轴对称性质
【点评】
本题是开放型探究题，重点考查对全等形概念的理解和实践设计能力，只要紧扣全等形“可完全重合”的本质特征，就能灵活设计出多种符合要求的划分方案，能够有效锻炼发散思维和创新意识。
【难度系数】
0.7
