1.下列哪个点在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上？ （）

A.$P_1(1,-4)$
B.$P_2(4,-1)$
C.$P_3(2,4)$
D.$P_4(2\sqrt{2},\sqrt{2})$

1.D

【分析】
要判断一个点是否在反比例函数的图象上，只需验证该点的横、纵坐标是否满足函数解析式即可。对于反比例函数$y=\frac{4}{x}$，可将解析式变形为$xy=4$，因此只要计算每个选项中点的横坐标与纵坐标的乘积，若乘积等于4，则该点在函数图象上，否则不在。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{4}{x}$，图象上的点满足$xy=4$：
选项A：$1×(-4)=-4≠4$，故$P_1$不在函数图象上；
选项B：$4×(-1)=-4≠4$，故$P_2$不在函数图象上；
选项C：$2×4=8≠4$，故$P_3$不在函数图象上；
选项D：$2\sqrt{2}×\sqrt{2}=2×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=2×2=4$，故$P_4$在函数图象上。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数图象上点的坐标性质，解题方法直接明了，只需通过横纵坐标乘积与比例系数的比对即可得出结果，是反比例函数章节的常规基础题。
【难度系数】
0.9

2.如图,双曲线 $y=\frac{8}{x}$的一个分支为 （）

A.①
B.②
C.③
D.④

（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）

2.D

【分析】
解题时先回忆反比例函数的图象性质：当$k＞0$时，图象分支在第一、三象限；当$k＜0$时在第二、四象限。首先根据$k$的符号排除不符合象限的分支，再通过代入特殊的$x$值计算对应的$y$值，验证剩余分支是否经过该点，即可确定正确选项。
【解析】
1. 确定图象所在象限：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，本题中$k=8＞0$，因此函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限。观察题图，分支①、②在第二象限，不符合，排除A、B选项。
2. 特殊点验证：取横坐标$x=2$，代入解析式得$y=\frac{8}{2}=4$，即点$(2,4)$在该双曲线上。观察图象：分支④经过点$(2,4)$，分支③在$x=2$时对应的$y$值约为2，不符合解析式计算结果，排除C选项。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象性质
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数图象的基础考查题，解题时先通过$k$的符号缩小可选范围，再用特殊点验证即可快速得出答案，方法具有通用性，适合解决同类的函数图象判断问题。
【难度系数】
0.8

3.如图,点 A 在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,且点 A 的横坐标为$a(a＜0)$,$AB⊥ y$轴于点 B.若$△ AOB$的面积是 3,则 k 的值是 （）

A.3
B.6
C.－3
D.－6

3.D

【分析】
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点三点构成的直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。第一步先根据△AOB的面积列出关于|k|的等式，求出|k|的值；第二步结合反比例函数图象所在的象限判断k的符号，最终确定k的取值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,b)$（$a＜0$），
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴代入得$b=\frac{k}{a}$，即$k=ab$。
∵$AB⊥y$轴，
∴△AOB为直角三角形，$AB=|a|$，$OB=|b|$，
则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} · AB · OB = \frac{1}{2}|a| · |b| = \frac{1}{2}|ab| = \frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ AOB}=3$，
∴$\frac{1}{2}|k|=3$，解得$|k|=6$。
由图可知反比例函数图象位于第二、四象限，
∴$k＜0$，
故$k=-6$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数图象与系数的关系
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题的核心是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，注意计算时要结合函数图象所在象限确定k的符号，避免因忽略符号误选正数值。
【难度系数】
0.7

4.如图，平行于$x$轴的直线与函数$y=\frac{k_1}{x}(k_1＞0,x＞0),y=\frac{k_2}{x}(k_2＞0,x＞0)$的图象分别相交于点$A,B$，点$A$在点$B$的右侧，$C$为$x$轴上的一个动点。若$△ ABC$的面积为4，则$k_1 - k_2$的值为。

4.8

【分析】
本题可通过坐标法结合三角形面积公式求解：首先，平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，因此可设A、B两点的纵坐标为h，结合反比例函数解析式分别表示出A、B的横坐标，得到AB的长度；其次，△ABC以AB为底时，对应高的长度等于A、B的纵坐标h，将面积条件转化为关于k₁、k₂的等式，化简即可求出结果。
【解析】
设A、B两点的纵坐标为$h(h＞0)$，点A坐标为$(x_A,h)$，点B坐标为$(x_B,h)$。
∵点A在$y=\frac{k_1}{x}(k_1＞0,x＞0)$的图象上
∴$h=\frac{k_1}{x_A}$，即$k_1 = x_A · h$
同理，点B在$y=\frac{k_2}{x}(k_2＞0,x＞0)$的图象上，得$k_2 = x_B · h$
∵AB平行于x轴，
∴$AB = x_A - x_B$
又
∵点C在x轴上，
∴△ABC中AB边上的高等于h
由三角形面积公式得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × h = \frac{1}{2}(x_A - x_B)h = 4$
代入$k_1=x_A h$，$k_2=x_B h$，得：
$\frac{1}{2}(k_1 - k_2) = 4$
解得$k_1 - k_2 = 8$
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质；三角形面积计算；坐标与图形性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础综合题，解题的核心是抓住平行于x轴的直线上点的坐标特征，将三角形面积与反比例函数的系数建立关联，通过整体代入的方法即可求出结果，不需要计算各点坐标的具体值，简化了解题过程。
【难度系数】
0.7

5.如图,点 A 在第一象限内,$AB⊥x$轴于点 B,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象分别交$AO,AB$于点$C,D$.已知点$C$的坐标为$(2,2),BD=1$.
(1)求$k$的值及点$D$的坐标.
(2)已知点$P$在该反比例函数的图象上,且在$△ ABO$的内部(包括边界),直接写出点$P$的横坐标$x$的取值范围.

5.解:(1)$k=4$,点 D 的坐标为$(4,1)$.
(2)$∵$点$C(2,2)$,点$D(4,1)$,点 P 在该反比例函数图象上,且在$△ ABO$的内部(包括边界),
$∴$点 P 的横坐标 x 的取值范围是$2≤ x≤ 4$.

【分析】
(1) 要求k的值，已知反比例函数图象经过点C(2,2)，可直接用待定系数法，将点C坐标代入反比例函数解析式求解即可；求出k后得到反比例函数的具体表达式，因为AB垂直x轴，BD=1，所以点D的纵坐标为1，将y=1代入反比例函数解析式即可求出点D的横坐标，进而得到点D的坐标。
(2) 要确定点P的横坐标范围，首先找到反比例函数图象与△ABO边界的交点：点C在OA边上，点D在AB边上，当x小于2时，反比例函数上的点在OA上方，超出△ABO范围；当x大于4时，点在AB右侧，也超出△ABO范围，因此可得x的取值范围在两个交点的横坐标之间。
【解析】
(1) 将点C(2,2)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。
∵$AB⊥x$轴，$BD=1$，
∴点D的纵坐标为1，
将$y=1$代入$y=\frac{4}{x}$，得：
$1=\frac{4}{x}$，解得$x=4$，
∴点D的坐标为$(4,1)$。
(2)
∵反比例函数$y=\frac{4}{x}$与△ABO的边界交点为C(2,2)（在OA边上）和D(4,1)（在AB边上），
结合图象可知，当点P在△ABO内部（包括边界）时，横坐标x的取值范围是$2≤x≤4$。
【答案】
(1) $k=4$，点D的坐标为$(4,1)$；
(2) $2≤x≤4$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象与性质；函数图象的交点问题
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题的核心是先利用已知点求出反比例函数解析式，再结合函数图象与三角形边界的交点确定取值范围，侧重考查学生对反比例函数基础性质的掌握和读图分析能力。
【难度系数】
0.7