探究学习
如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东$60°$的方向上.同时,在它北偏东$40°$、南偏西$10°$、西北(北偏西$45°$)方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法,请你在图中画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.

解：
1. 画表示客轮B方向的射线：以点O为顶点，正北方向的射线为角的始边，向东作40°的角，从O点出发沿该角终边向外延伸得到射线OB，即为客轮B对应的方向射线。
2. 画表示货轮C方向的射线：以点O为顶点，正南方向的射线为角的始边，向西作10°的角，从O点出发沿该角终边向外延伸得到射线OC，即为货轮C对应的方向射线。
3. 画表示海岛D方向的射线：以点O为顶点，正北方向的射线为角的始边，向西作45°的角，从O点出发沿该角终边向外延伸得到射线OD，即为海岛D对应的方向射线。

【分析】
要解决这道作图题，首先需明确方位角的表示规则：方位角通常以正北、正南方向为基准，描述物体偏离基准方向向东或向西的角度。我们分别对三个目标的方位拆解如下：①客轮B在北偏东40°，即要以正北方向为始边，向东偏转40°得到终边；②货轮C在南偏西10°，即要以正南方向为始边，向西偏转10°得到终边；③海岛D在北偏西45°，即要以正北方向为始边，向西偏转45°得到终边。每一步都以O为顶点，用量角器量出对应角度后画出终边，再延伸为射线即可。
【解析】
1. 画表示客轮B方向的射线：以点O为顶点，正北方向的射线为角的始边，向东作40°的角，从O点出发沿该角终边向外延伸得到射线OB，即为客轮B对应的方向射线。
2. 画表示货轮C方向的射线：以点O为顶点，正南方向的射线为角的始边，向西作10°的角，从O点出发沿该角终边向外延伸得到射线OC，即为货轮C对应的方向射线。
3. 画表示海岛D方向的射线：以点O为顶点，正北方向的射线为角的始边，向西作45°的角，从O点出发沿该角终边向外延伸得到射线OD，即为海岛D对应的方向射线。
【答案】
按上述步骤画出射线OB、OC、OD即可，作图过程如解析所示。
【知识点】
1.方位角的表示
2.角的作图
【点评】
本题主要考查方位角的实际应用，解题关键是准确理解方位角的定义，明确偏转的基准方向和偏转方向，避免混淆东、西偏转方向，熟练掌握相关规则后可快速完成作图。
【难度系数】
0.8

1. 判断题：
（1）两条射线组成的图形叫作角。（）
（2）$∠ AOB$和$∠ ABO$是同一个角。（）

1.(1)× (2)×

【分析】
要判断这两个说法的正误，我们需要结合角的定义和角的表示规则来分析：
1. 解决第(1)题首先明确角的构成条件：角是由有公共端点的两条射线组成的图形，两个核心要素缺一不可，只需判断题干是否满足全部要素即可。
2. 解决第(2)题要掌握三个大写字母表示角的规则：三个字母中位于中间的是角的顶点，顶点不同的角肯定不是同一个角，只需对比两个角的顶点就能判断。
【解析】
(1) 根据角的定义，只有具有公共端点的两条射线组成的图形才叫做角，题干仅提到两条射线，缺少“公共端点”这个必要条件，因此该说法错误。
(2) 用三个大写字母表示角时，中间的字母对应角的顶点。∠AOB的顶点是点O，∠ABO的顶点是点B，两个角的顶点不同，不是同一个角，因此该说法错误。
【答案】
(1)× (2)×
【知识点】
角的定义；角的表示方法
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对角的核心属性和表示规则的理解，只要准确记忆相关概念就能轻松判断，平时学习要注意区分易混淆的概念细节。
【难度系数】
0.9

2. 如图，图中有个角，可以表示为。

2. 3;∠BAD,∠BAC,∠CAD

【分析】
首先明确角的定义：由有公共顶点的两条射线组成的图形叫做角。本题所有角的公共顶点都是点A，共有AB、AC、AD3条从A出发的射线。数角时可以按固定边的顺序计数，避免重复和遗漏：先固定边AB，依次和AC、AD组合得到两个角；再固定边AC，和剩下的AD组合得到1个角，相加即可得到总个数。用三个大写字母表示角时，注意顶点字母必须写在中间。
【解析】
1. 计算角的个数：
以射线AB为一边，可组成的角有∠BAC、∠BAD，共2个；
以射线AC为一边（排除已数过的与AB组合的角），可组成的角有∠CAD，共1个；
总角数为2+1=3个。
2. 写出所有角的表示：
这3个角分别为∠BAC、∠BAD、∠CAD。
【答案】
3;∠BAD,∠BAC,∠CAD
【知识点】
角的计数；角的表示
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是按规律数角，避免重复计数或漏数，用三个大写字母表示角时要牢记顶点字母放在中间的规范。
【难度系数】
0.9

3. 如图:(1) 以 C 为顶点的角共有个(平角除外),表示为；
(2) 以 C 为顶点,CA 为一边的角是.

3.(1)5;∠3,∠4,∠5,∠BCD,∠ACE (2)∠3,∠4,∠ACE

【分析】
解决本题首先要明确角的定义和计数方法：(1)数以C为顶点的角时，要按照从小到大的顺序依次计数，先数单个的小角，再数由多个小角组合成的角，同时注意题目要求平角除外，避免重复和遗漏；角的表示可以用数字或者三个大写字母（顶点字母写在中间）。(2)找以C为顶点、CA为一边的角时，固定CA为一条边，依次找另一条边能与它组成的符合要求的角即可。
【解析】
(1) 按顺序数以C为顶点的非平角：
第一步，数单个的小角，共有3个，分别为∠3、∠4、∠5；
第二步，数由2个小角组合成的角，共有2个，分别为∠BCD、∠ACE；
由3个小角组合成的角是平角，不符合要求要排除，所以总共有3+2=5个角，表示为∠3,∠4,∠5,∠BCD,∠ACE。
(2) 固定CA为一边，以C为顶点，依次找另一条边组成的非平角，可得符合要求的角为∠3,∠4,∠ACE。
【答案】
(1)5;∠3,∠4,∠5,∠BCD,∠ACE (2)∠3,∠4,∠ACE
【知识点】
角的计数；角的表示
【点评】
本题考查角的计数与表示的基础应用，解题时需注意按顺序数角，避免出现重复或遗漏的情况，同时要留意题目中平角除外的限制条件，掌握角的基本概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

4.如图,关于射线表示的方向,下列说法错误的是()

A.射线 OA 表示的方向是北偏东 $45°$
B.射线 OB 表示的方向是北偏西 $60°$
C.射线 OC 表示的方向是南偏东 $70°$
D.射线 OA 表示的方向是东北方向

4.C

【分析】
要解这道题，首先要明确方向角的表示规则：方向角一般以正北或正南方向为起始边，旋转到目标射线所形成的角，描述为“北偏东（西）多少度”或“南偏东（西）多少度”，其中北偏东45°也叫东北方向。接下来我们逐一验证每个选项的描述是否符合规则，找到说法错误的选项即可。
【解析】
根据方向角的表示规则逐一判断：
1. 射线OA：与正北方向的夹角为45°，方向向东，因此是北偏东45°，也就是东北方向，故A、D选项描述正确；
2. 射线OB：与正北方向的夹角为60°，方向向西，因此是北偏西60°，故B选项描述正确；
3. 射线OC：与正东方向的夹角为70°，方向向南，换算为以正南为基准的角度：$90°-70°=20°$，因此射线OC的方向是南偏东20°（或东偏南70°），不是南偏东70°，故C选项描述错误。
本题要求选择说法错误的选项，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
方向角的概念；方向角的判断
【点评】
本题重点考查方向角的判断，解题的核心是牢记方向角以正北、正南方向为基准的规则，避免混淆以东西方向为基准的角度，易错点是误将东偏南的角度直接当作南偏东的角度。
【难度系数】
0.7

5.计算：
(1)$15°45'$等于几度？
(2)$123.32°$等于几度，几分，几秒？

5.(1)15.75° (2)123°19′12″

【分析】
本题考查度分秒的单位换算，解题核心是明确度、分、秒相邻单位的进率为60：①小单位换算为大单位时，除以进率60；②大单位换算为小单位时，乘进率60。
第(1)问是把分换算为度，属于小单位转大单位，先将45′除以60换算为度，再加上原有的15°即可得到结果；第(2)问是把度的小数部分换算为分、秒，属于大单位转小单位，先将0.32°乘60换算为分，再将分的小数部分乘60换算为秒，最后组合整数部分的度、分、秒即可。
【解析】
(1) 因为度和分的进率为$1°=60'$，将分换算为度需除以进率：
$45' = 45÷60 = 0.75°$
所以$15°45' = 15° + 0.75° = 15.75°$
(2) 先将度的小数部分换算为分：
$0.32° = 0.32×60 = 19.2'$
再将分的小数部分换算为秒：
$0.2' = 0.2×60 = 12''$
所以$123.32° = 123°19'12''$
【答案】
(1)$15.75°$；(2)$123°19'12''$
【知识点】
度分秒的换算
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，解题的关键是牢记度分秒相邻单位的进率为60，注意区分换算方向选择对应的乘除运算，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8