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8. (★)已知线段AB=10 cm,则经过A,B两点且半径长为6 cm的圆有 【 】
A.0个
B.2个
C.1个
D.无数个
A.0个
B.2个
C.1个
D.无数个
答案
B
解析
【分析】
要确定过A、B两点且半径为6cm的圆的个数，首先明确过两点的圆的圆心特征：圆心到A、B两点的距离相等，因此圆心一定在线段AB的垂直平分线上。接下来只需判断这条垂直平分线上有多少个点到A点的距离等于6cm即可：先求出AB长度的一半为5cm，半径6cm大于5cm，结合勾股定理可推出符合条件的圆心在AB上下两侧各有1个，因此对应圆的个数为2个。
【解析】
1. 过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离均等于半径，根据线段垂直平分线的判定，圆心必在线段AB的垂直平分线上。
2. 取AB的中点M，则$AM=\frac{1}{2}AB=5\mathrm{cm}$，设圆心为O，由题意得半径$OA=6\mathrm{cm}$，且$OM⊥ AB$。
3. 在$Rt△ OMA$中，由勾股定理得：$OM=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{6^2 - 5^2}=\sqrt{11}\mathrm{cm}＞0$。
4. 由此可知，在AB的垂直平分线上，线段AB的上方和下方各存在1个满足条件的圆心O，因此符合条件的圆共有2个。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题考查过两点的圆的个数判断，解题核心是掌握过两点的圆的圆心轨迹为两点连线的垂直平分线，再结合半径长度即可快速得出结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要确定过A、B两点且半径为6cm的圆的个数，首先明确过两点的圆的圆心特征：圆心到A、B两点的距离相等，因此圆心一定在线段AB的垂直平分线上。接下来只需判断这条垂直平分线上有多少个点到A点的距离等于6cm即可：先求出AB长度的一半为5cm，半径6cm大于5cm，结合勾股定理可推出符合条件的圆心在AB上下两侧各有1个，因此对应圆的个数为2个。
【解析】
1. 过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离均等于半径，根据线段垂直平分线的判定，圆心必在线段AB的垂直平分线上。
2. 取AB的中点M，则$AM=\frac{1}{2}AB=5\mathrm{cm}$，设圆心为O，由题意得半径$OA=6\mathrm{cm}$，且$OM⊥ AB$。
3. 在$Rt△ OMA$中，由勾股定理得：$OM=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{6^2 - 5^2}=\sqrt{11}\mathrm{cm}＞0$。
4. 由此可知，在AB的垂直平分线上，线段AB的上方和下方各存在1个满足条件的圆心O，因此符合条件的圆共有2个。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题考查过两点的圆的个数判断，解题核心是掌握过两点的圆的圆心轨迹为两点连线的垂直平分线，再结合半径长度即可快速得出结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
9. (★★)如图,在平面直角坐标系中,点A(2,9),B(2,3),C(3,2),D(9,2)在⊙P上,则圆心P的坐标是 【 】
A.(2,3)
B.(2,6)
C.(6,6)
D.(6,2)
A.(2,3)
B.(2,6)
C.(6,6)
D.(6,2)
答案
C
解析
【分析】
要确定圆心P的坐标，可利用圆的性质：圆心在任意一条弦的垂直平分线上。观察点的坐标特征：A、B两点横坐标相同，线段AB为竖直弦，其垂直平分线是水平线；C、D两点纵坐标相同，线段CD为水平弦，其垂直平分线是竖直线。分别求出两条弦的垂直平分线，交点就是圆心坐标。
【解析】
1. 求弦AB的垂直平分线：
已知A(2,9)、B(2,3)，两点横坐标相等，故AB为竖直方向的线段，AB中点纵坐标为$\frac{9+3}{2}=6$，因此AB的垂直平分线为直线$y=6$，圆心P在该直线上。
2. 求弦CD的垂直平分线：
已知C(3,2)、D(9,2)，两点纵坐标相等，故CD为水平方向的线段，CD中点横坐标为$\frac{3+9}{2}=6$，因此CD的垂直平分线为直线$x=6$，圆心P在该直线上。
3. 两条垂直平分线的交点即为圆心，因此P的坐标为(6,6)。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理推论，线段垂直平分线性质，坐标系坐标特征
【点评】
本题通过观察特殊位置弦的坐标特征，利用弦的垂直平分线过圆心的性质快速求解圆心坐标，避免了列方程计算的繁琐，解题关键是敏锐捕捉到两组点的坐标共性，简化运算过程。
【难度系数】
0.7
要确定圆心P的坐标，可利用圆的性质：圆心在任意一条弦的垂直平分线上。观察点的坐标特征：A、B两点横坐标相同，线段AB为竖直弦，其垂直平分线是水平线；C、D两点纵坐标相同，线段CD为水平弦，其垂直平分线是竖直线。分别求出两条弦的垂直平分线，交点就是圆心坐标。
【解析】
1. 求弦AB的垂直平分线：
已知A(2,9)、B(2,3)，两点横坐标相等，故AB为竖直方向的线段，AB中点纵坐标为$\frac{9+3}{2}=6$，因此AB的垂直平分线为直线$y=6$，圆心P在该直线上。
2. 求弦CD的垂直平分线：
已知C(3,2)、D(9,2)，两点纵坐标相等，故CD为水平方向的线段，CD中点横坐标为$\frac{3+9}{2}=6$，因此CD的垂直平分线为直线$x=6$，圆心P在该直线上。
3. 两条垂直平分线的交点即为圆心，因此P的坐标为(6,6)。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理推论，线段垂直平分线性质，坐标系坐标特征
【点评】
本题通过观察特殊位置弦的坐标特征，利用弦的垂直平分线过圆心的性质快速求解圆心坐标，避免了列方程计算的繁琐，解题关键是敏锐捕捉到两组点的坐标共性，简化运算过程。
【难度系数】
0.7
10. (★★)如图,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交$\overset{\frown}{AB}$于点C,交弦AB于点D.已知AB=24 cm,CD=8 cm.
(1)求作此残片所在的圆(简要写出作法,保留作图痕迹);
(2)求(1)中所作圆的半径长.
(1)求作此残片所在的圆(简要写出作法,保留作图痕迹);
(2)求(1)中所作圆的半径长.
答案
解：
(1) 作法：
① 连接AC；
② 作线段AC的垂直平分线，交直线CD于点O；
③ 以点O为圆心，OA的长为半径作圆，⊙O即为残片所在的圆。
（保留对应尺规作图痕迹）
(2) 连接OA，设所作圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
∵ CD是AB的垂直平分线，$AB=24\ \mathrm{cm}$，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$。
∵ 圆心O在直线CD上，$OA=OC=r\ \mathrm{cm}$，$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $OD=(r-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
代入得：
$r^2=12^2+(r-8)^2$
展开化简：
$r^2=144+r^2-16r+64$
$16r=208$
解得 $r=13$。
答：所作圆的半径长为13 cm。
(1) 作法：
① 连接AC；
② 作线段AC的垂直平分线，交直线CD于点O；
③ 以点O为圆心，OA的长为半径作圆，⊙O即为残片所在的圆。
（保留对应尺规作图痕迹）
(2) 连接OA，设所作圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
∵ CD是AB的垂直平分线，$AB=24\ \mathrm{cm}$，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$。
∵ 圆心O在直线CD上，$OA=OC=r\ \mathrm{cm}$，$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $OD=(r-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
代入得：
$r^2=12^2+(r-8)^2$
展开化简：
$r^2=144+r^2-16r+64$
$16r=208$
解得 $r=13$。
答：所作圆的半径长为13 cm。
解析
【分析】
(1) 要确定残片所在的圆，核心是找到圆心，根据圆的性质，圆心是圆内任意两条弦垂直平分线的交点。已知CD是弦AB的垂直平分线，因此只需再作另一条弦（如AC）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，再以圆心到A点的距离为半径画圆即可。
(2) 求半径时，先设半径为r，结合垂径定理可得到AD的长度，再表示出OD的长度，在Rt△AOD中利用勾股定理列方程，求解即可得到半径的长度。
【解析】
(1) 作法：
① 连接AC；
② 作线段AC的垂直平分线，交直线CD于点O；
③ 以点O为圆心，OA的长为半径作圆，⊙O即为残片所在的圆（按要求保留尺规作图痕迹）。
(2) 连接OA，设所作圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
∵ CD是AB的垂直平分线，$AB=24\ \mathrm{cm}$，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，且圆心O在直线CD上。
∵ $OA=OC=r\ \mathrm{cm}$，$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $OD=OC-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
代入数值可得：
$r^2=12^2+(r-8)^2$
展开化简：
$r^2=144+r^2-16r+64$
移项合并得$16r=208$，解得 $r=13$。
【答案】
(1) 按上述作法作出⊙O即可；
(2) 所作圆的半径长为13 cm。
【知识点】
确定圆的条件，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合残圆复原的实际场景，既考查了尺规作图确定圆心的操作能力，又考查了垂径定理与勾股定理结合的计算能力，利用方程思想求解几何线段长度是圆类计算的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定残片所在的圆，核心是找到圆心，根据圆的性质，圆心是圆内任意两条弦垂直平分线的交点。已知CD是弦AB的垂直平分线，因此只需再作另一条弦（如AC）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，再以圆心到A点的距离为半径画圆即可。
(2) 求半径时，先设半径为r，结合垂径定理可得到AD的长度，再表示出OD的长度，在Rt△AOD中利用勾股定理列方程，求解即可得到半径的长度。
【解析】
(1) 作法：
① 连接AC；
② 作线段AC的垂直平分线，交直线CD于点O；
③ 以点O为圆心，OA的长为半径作圆，⊙O即为残片所在的圆（按要求保留尺规作图痕迹）。
(2) 连接OA，设所作圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
∵ CD是AB的垂直平分线，$AB=24\ \mathrm{cm}$，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，且圆心O在直线CD上。
∵ $OA=OC=r\ \mathrm{cm}$，$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $OD=OC-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
代入数值可得：
$r^2=12^2+(r-8)^2$
展开化简：
$r^2=144+r^2-16r+64$
移项合并得$16r=208$，解得 $r=13$。
【答案】
(1) 按上述作法作出⊙O即可；
(2) 所作圆的半径长为13 cm。
【知识点】
确定圆的条件，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合残圆复原的实际场景，既考查了尺规作图确定圆心的操作能力，又考查了垂径定理与勾股定理结合的计算能力，利用方程思想求解几何线段长度是圆类计算的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
11. (★)在联欢晚会上,有A,B,C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜.为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置在$△ ABC$的 【 】
A.三边中线的交点
B.三条边垂直平分线的交点
C.三边上高的交点
D.三条角平分线的交点
A.三边中线的交点
B.三条边垂直平分线的交点
C.三边上高的交点
D.三条角平分线的交点
答案
B
解析
【分析】
要使抢凳子游戏公平，核心要求是凳子到A、B、C三名同学（即三角形三个顶点）的距离相等，所以本题本质是找△ABC中到三个顶点距离相等的点的位置，再结合三角形各特殊交点的性质逐一判断选项即可。
【解析】
要满足游戏公平，凳子到A、B、C三个顶点的距离必须相等，据此分析各选项：
1. 选项A：三边中线的交点是三角形的重心，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，到三个顶点距离不相等，不符合要求；
2. 选项B：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此三角形三条边垂直平分线的交点（外心）到三个顶点的距离都相等，符合公平性要求；
3. 选项C：三边上高的交点是三角形的垂心，垂心到三个顶点距离不一定相等，不符合要求；
4. 选项D：三条角平分线的交点是三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
垂直平分线性质；三角形外心特征；公平性判定
【点评】
本题结合生活场景考查三角形特殊交点的性质，解题关键是将公平性要求转化为“到三个顶点距离相等”的几何条件，熟记各特殊交点的性质即可快速作答，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
要使抢凳子游戏公平，核心要求是凳子到A、B、C三名同学（即三角形三个顶点）的距离相等，所以本题本质是找△ABC中到三个顶点距离相等的点的位置，再结合三角形各特殊交点的性质逐一判断选项即可。
【解析】
要满足游戏公平，凳子到A、B、C三个顶点的距离必须相等，据此分析各选项：
1. 选项A：三边中线的交点是三角形的重心，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，到三个顶点距离不相等，不符合要求；
2. 选项B：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此三角形三条边垂直平分线的交点（外心）到三个顶点的距离都相等，符合公平性要求；
3. 选项C：三边上高的交点是三角形的垂心，垂心到三个顶点距离不一定相等，不符合要求；
4. 选项D：三条角平分线的交点是三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
垂直平分线性质；三角形外心特征；公平性判定
【点评】
本题结合生活场景考查三角形特殊交点的性质，解题关键是将公平性要求转化为“到三个顶点距离相等”的几何条件，熟记各特殊交点的性质即可快速作答，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
12. (★★)下列三角形的外心一定在该三角形外部的是 【 】
答案
$\boxed{D}$
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形外心的位置规律：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点（即三角形的边上），钝角三角形的外心在三角形外部。因此我们需要先利用三角形内角和为$180°$，计算每个选项三角形的未知内角，判断三角形的类型，再对应外心位置，就能找到符合要求的选项。
【解析】
首先明确不同类型三角形外心的位置规律：
1. 锐角三角形：外心在三角形内部；
2. 直角三角形：外心在斜边中点，位于三角形的边上；
3. 钝角三角形：外心在三角形外部。
逐一分析各选项：
选项A：第三个内角为$180° - 50° - 70° = 60°$，三个角都是锐角，属于锐角三角形，外心在内部，不符合要求；
选项B：第三个内角为$180° - 65° - 65° = 50°$，三个角都是锐角，属于锐角三角形，外心在内部，不符合要求；
选项C：有一个内角是直角，属于直角三角形，外心在斜边中点，位于三角形边上，不符合要求；
选项D：有一个内角为$110°＞90°$，属于钝角三角形，外心在三角形外部，符合要求。
【答案】
$\boxed{D}$
【知识点】
三角形外心的位置；三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题是基础概念应用题，只要牢记不同类型三角形外心的位置规律，结合内角和定理快速判断三角形类型，就能轻松得分。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确三角形外心的位置规律：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点（即三角形的边上），钝角三角形的外心在三角形外部。因此我们需要先利用三角形内角和为$180°$，计算每个选项三角形的未知内角，判断三角形的类型，再对应外心位置，就能找到符合要求的选项。
【解析】
首先明确不同类型三角形外心的位置规律：
1. 锐角三角形：外心在三角形内部；
2. 直角三角形：外心在斜边中点，位于三角形的边上；
3. 钝角三角形：外心在三角形外部。
逐一分析各选项：
选项A：第三个内角为$180° - 50° - 70° = 60°$，三个角都是锐角，属于锐角三角形，外心在内部，不符合要求；
选项B：第三个内角为$180° - 65° - 65° = 50°$，三个角都是锐角，属于锐角三角形，外心在内部，不符合要求；
选项C：有一个内角是直角，属于直角三角形，外心在斜边中点，位于三角形边上，不符合要求；
选项D：有一个内角为$110°＞90°$，属于钝角三角形，外心在三角形外部，符合要求。
【答案】
$\boxed{D}$
【知识点】
三角形外心的位置；三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题是基础概念应用题，只要牢记不同类型三角形外心的位置规律，结合内角和定理快速判断三角形类型，就能轻松得分。
【难度系数】
0.7
13. (★★)如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$AB=AC$，圆心$O$在这个三角形的高线$AD$上，$AD=9$，$BC=12$，求$\odot O$的半径长.
答案
解：连接OB，
∵ AB=AC，AD是△ABC的高线，
∴ AD垂直平分BC，
∴ BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2} × 12 = 6$。
设$\odot O$的半径长为$r$，则$OB=r$，$OD = AD - AO = 9 - r$。
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，由勾股定理得：
$OB^2 = OD^2 + BD^2$
代入对应数值：
$r^2 = (9 - r)^2 + 6^2$
展开整理得：
$r^2 = 81 - 18r + r^2 + 36$
消去$r^2$后解得：
$18r = 117, \quad r = \frac{13}{2}$
答：$\odot O$的半径长为$\frac{13}{2}$。
∵ AB=AC，AD是△ABC的高线，
∴ AD垂直平分BC，
∴ BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2} × 12 = 6$。
设$\odot O$的半径长为$r$，则$OB=r$，$OD = AD - AO = 9 - r$。
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，由勾股定理得：
$OB^2 = OD^2 + BD^2$
代入对应数值：
$r^2 = (9 - r)^2 + 6^2$
展开整理得：
$r^2 = 81 - 18r + r^2 + 36$
消去$r^2$后解得：
$18r = 117, \quad r = \frac{13}{2}$
答：$\odot O$的半径长为$\frac{13}{2}$。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC，AD是△ABC的高线，结合等腰三角形三线合一的性质，可得AD垂直平分BC，从而求出BD的长度；要求⊙O的半径，可连接半径OB，设半径为r，则OB=r，OD=AD-AO=9-r，此时△ODB为直角三角形，可利用勾股定理建立关于r的方程，解方程即可求出半径长。
【解析】
连接OB，
∵ AB=AC，AD是△ABC的高线，
∴ AD垂直平分BC，
∴ BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2} × 12 = 6$。
设$\odot O$的半径长为$r$，则$OB=r$，$OD = AD - AO = 9 - r$。
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，由勾股定理得：
$OB^2 = OD^2 + BD^2$
代入对应数值：
$r^2 = (9 - r)^2 + 6^2$
展开整理得：
$r^2 = 81 - 18r + r^2 + 36$
消去$r^2$后解得：
$18r = 117, \quad r = \frac{13}{2}$
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的常规计算题型，解题关键是利用等腰三角形性质和垂径定理构造直角三角形，通过设未知数结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC，AD是△ABC的高线，结合等腰三角形三线合一的性质，可得AD垂直平分BC，从而求出BD的长度；要求⊙O的半径，可连接半径OB，设半径为r，则OB=r，OD=AD-AO=9-r，此时△ODB为直角三角形，可利用勾股定理建立关于r的方程，解方程即可求出半径长。
【解析】
连接OB，
∵ AB=AC，AD是△ABC的高线，
∴ AD垂直平分BC，
∴ BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2} × 12 = 6$。
设$\odot O$的半径长为$r$，则$OB=r$，$OD = AD - AO = 9 - r$。
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，由勾股定理得：
$OB^2 = OD^2 + BD^2$
代入对应数值：
$r^2 = (9 - r)^2 + 6^2$
展开整理得：
$r^2 = 81 - 18r + r^2 + 36$
消去$r^2$后解得：
$18r = 117, \quad r = \frac{13}{2}$
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的常规计算题型，解题关键是利用等腰三角形性质和垂径定理构造直角三角形，通过设未知数结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
