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11. (★★★)某数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合与实践活动.
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直.
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度$y$(单位:m)与距发球点的水平距离$x$(单位:m)的对应值如下表(不考虑空气阻力).
【探索发现】该数学小组借助计算机画图软件,建立平面直角坐标系、描点、连线(如图),发现羽毛球飞行路线是抛物线$y=ax^2+bx+1.1$的一部分.
【建立模型】求$y$关于$x$的函数解析式(不要求写自变量的取值范围).
【解决问题】
(1)羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度能否达到2.8 m?请说明理由.
(2)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,改变发球方式,使其对应的函数解析式变为$y=ax^2+kx+1.1$,发球点与球网的水平距离是5 m.若羽毛球飞过球网正上方时,飞行的高度超过2.1 m,且球的落地点与球网的水平距离小于6 m,求$k$的取值范围.
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直.
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度$y$(单位:m)与距发球点的水平距离$x$(单位:m)的对应值如下表(不考虑空气阻力).
【探索发现】该数学小组借助计算机画图软件,建立平面直角坐标系、描点、连线(如图),发现羽毛球飞行路线是抛物线$y=ax^2+bx+1.1$的一部分.
【建立模型】求$y$关于$x$的函数解析式(不要求写自变量的取值范围).
【解决问题】
(1)羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度能否达到2.8 m?请说明理由.
(2)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,改变发球方式,使其对应的函数解析式变为$y=ax^2+kx+1.1$,发球点与球网的水平距离是5 m.若羽毛球飞过球网正上方时,飞行的高度超过2.1 m,且球的落地点与球网的水平距离小于6 m,求$k$的取值范围.
答案
解：【建立模型】
将点$(2,2.3)$和$(3,2.6)$代入$y=ax^2+bx+1.1$，得：
$\begin{cases}4a+2b+1.1=2.3 \\9a+3b+1.1=2.6\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a+b=0.6 \\3a+b=0.5\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=-0.1 \\ b=0.8\end{cases}$
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y=-0.1x^2+0.8x+1.1$。
【解决问题】
(1) 不能达到2.8 m，理由如下：
将函数解析式配方得：
$y=-0.1x^2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)^2+2.7$
因为$-0.1＜0$，所以当$x=4$时，$y$取得最大值$2.7$。
因为$2.7＜2.8$，所以羽毛球飞行的高度不能达到2.8 m。
(2) 根据题意，$a=-0.1$，函数解析式为$y=-0.1x^2+kx+1.1$。
① 羽毛球飞过球网正上方（$x=5$）时高度超过2.1 m，代入得：
$-0.1×5^2 +5k +1.1＞2.1$
解得：$k＞0.7$。
② 球的落地点与球网的水平距离小于6 m，即落地时的水平距离$x＜5+6=11$，
令$y=0$，方程$-0.1x^2+kx+1.1=0$的正根小于11，
因为抛物线开口向下，当$x=11$时，$y＜0$，代入得：
$-0.1×11^2 +11k +1.1＜0$
解得：$k＜1$。
综上，$k$的取值范围是$0.7＜k＜1$。
将点$(2,2.3)$和$(3,2.6)$代入$y=ax^2+bx+1.1$，得：
$\begin{cases}4a+2b+1.1=2.3 \\9a+3b+1.1=2.6\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a+b=0.6 \\3a+b=0.5\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=-0.1 \\ b=0.8\end{cases}$
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y=-0.1x^2+0.8x+1.1$。
【解决问题】
(1) 不能达到2.8 m，理由如下：
将函数解析式配方得：
$y=-0.1x^2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)^2+2.7$
因为$-0.1＜0$，所以当$x=4$时，$y$取得最大值$2.7$。
因为$2.7＜2.8$，所以羽毛球飞行的高度不能达到2.8 m。
(2) 根据题意，$a=-0.1$，函数解析式为$y=-0.1x^2+kx+1.1$。
① 羽毛球飞过球网正上方（$x=5$）时高度超过2.1 m，代入得：
$-0.1×5^2 +5k +1.1＞2.1$
解得：$k＞0.7$。
② 球的落地点与球网的水平距离小于6 m，即落地时的水平距离$x＜5+6=11$，
令$y=0$，方程$-0.1x^2+kx+1.1=0$的正根小于11，
因为抛物线开口向下，当$x=11$时，$y＜0$，代入得：
$-0.1×11^2 +11k +1.1＜0$
解得：$k＜1$。
综上，$k$的取值范围是$0.7＜k＜1$。
解析
【分析】
求解本题可按以下思路展开：1. 建立模型：已知抛物线解析式的形式为$y=ax^2+bx+1.1$，仅含a、b两个未知参数，选取两组已知的x、y对应值代入，即可得到二元一次方程组，解出a、b就能确定函数解析式；2. 解决问题(1)：要判断飞行高度能否达到2.8m，可通过求二次函数的最大值来判断，将一般式配方为顶点式，结合开口方向得到最大高度，再与2.8比较即可；3. 解决问题(2)：首先a值不变仍为-0.1，将两个实际约束转化为不等式：① 球网距发球点水平距离为5m，即x=5时y＞2.1，代入可得k的下限；② 落地点与球网水平距离小于6m，即落地时水平距离x＜5+6=11，因抛物线开口向下，故x=11时y＜0，代入可得k的上限，取两个不等式解集的公共部分即为k的取值范围。
【解析】
建立模型
将点$(2,2.3)$和$(3,2.6)$代入$y=ax^2+bx+1.1$，得：
$\begin{cases}4a+2b+1.1=2.3 \\9a+3b+1.1=2.6\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a+b=0.6 \\3a+b=0.5\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$a=-0.1$，将$a=-0.1$代入$2a+b=0.6$，解得$b=0.8$。
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y=-0.1x^2+0.8x+1.1$。
解决问题
(1) 飞行高度不能达到2.8 m，理由如下：
将函数解析式配方得：
$y=-0.1x^2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)^2+2.7$
$\because -0.1＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=4$时，$y$取得最大值$2.7$。
$\because 2.7＜2.8$，$\therefore$ 羽毛球飞行的高度不能达到2.8 m。
(2) 由题意得$a=-0.1$，故新的函数解析式为$y=-0.1x^2+kx+1.1$，根据约束条件列不等式：
① 羽毛球飞过球网正上方时高度超过2.1 m，此时$x=5$，代入得：
$-0.1×5^2 +5k +1.1＞2.1$
整理得$-2.5+5k+1.1＞2.1$，解得$k＞0.7$。
② 球的落地点与球网的水平距离小于6 m，即落地时水平距离$x＜5+6=11$。
因抛物线开口向下，要使方程$-0.1x^2+kx+1.1=0$的正根小于11，则$x=11$时$y＜0$，代入得：
$-0.1×11^2 +11k +1.1＜0$
整理得$-12.1+11k+1.1＜0$，解得$k＜1$。
综上，$k$的取值范围是$0.7＜k＜1$。
【答案】
$y=-0.1x^2+0.8x+1.1$；(1) 不能达到2.8m；(2) $0.7＜k＜1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的相关知识，将实际问题转化为二次函数问题是解题的关键，既覆盖了二次函数的基础考点，也对学生的信息提取能力、建模能力有一定考查，综合性较强。
【难度系数】
0.6
求解本题可按以下思路展开：1. 建立模型：已知抛物线解析式的形式为$y=ax^2+bx+1.1$，仅含a、b两个未知参数，选取两组已知的x、y对应值代入，即可得到二元一次方程组，解出a、b就能确定函数解析式；2. 解决问题(1)：要判断飞行高度能否达到2.8m，可通过求二次函数的最大值来判断，将一般式配方为顶点式，结合开口方向得到最大高度，再与2.8比较即可；3. 解决问题(2)：首先a值不变仍为-0.1，将两个实际约束转化为不等式：① 球网距发球点水平距离为5m，即x=5时y＞2.1，代入可得k的下限；② 落地点与球网水平距离小于6m，即落地时水平距离x＜5+6=11，因抛物线开口向下，故x=11时y＜0，代入可得k的上限，取两个不等式解集的公共部分即为k的取值范围。
【解析】
建立模型
将点$(2,2.3)$和$(3,2.6)$代入$y=ax^2+bx+1.1$，得：
$\begin{cases}4a+2b+1.1=2.3 \\9a+3b+1.1=2.6\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a+b=0.6 \\3a+b=0.5\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$a=-0.1$，将$a=-0.1$代入$2a+b=0.6$，解得$b=0.8$。
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y=-0.1x^2+0.8x+1.1$。
解决问题
(1) 飞行高度不能达到2.8 m，理由如下：
将函数解析式配方得：
$y=-0.1x^2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)^2+2.7$
$\because -0.1＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=4$时，$y$取得最大值$2.7$。
$\because 2.7＜2.8$，$\therefore$ 羽毛球飞行的高度不能达到2.8 m。
(2) 由题意得$a=-0.1$，故新的函数解析式为$y=-0.1x^2+kx+1.1$，根据约束条件列不等式：
① 羽毛球飞过球网正上方时高度超过2.1 m，此时$x=5$，代入得：
$-0.1×5^2 +5k +1.1＞2.1$
整理得$-2.5+5k+1.1＞2.1$，解得$k＞0.7$。
② 球的落地点与球网的水平距离小于6 m，即落地时水平距离$x＜5+6=11$。
因抛物线开口向下，要使方程$-0.1x^2+kx+1.1=0$的正根小于11，则$x=11$时$y＜0$，代入得：
$-0.1×11^2 +11k +1.1＜0$
整理得$-12.1+11k+1.1＜0$，解得$k＜1$。
综上，$k$的取值范围是$0.7＜k＜1$。
【答案】
$y=-0.1x^2+0.8x+1.1$；(1) 不能达到2.8m；(2) $0.7＜k＜1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的相关知识，将实际问题转化为二次函数问题是解题的关键，既覆盖了二次函数的基础考点，也对学生的信息提取能力、建模能力有一定考查，综合性较强。
【难度系数】
0.6
