变式训练 (1)(2022 遵义中考)在平面直角坐标系中,点 $ A(a,1) $ 与点 $ B(-2,b) $ 关于原点成中心对称,则 $ a + b $ 的值为()
A. -3
B. -1
C. 1
D. 3
(2)设点 $ A $ 与点 $ B $ 关于 $ x $ 轴对称,点 $ A $ 与点 $ C $ 关于 $ y $ 轴对称,则点 $ B $ 与点 $ C $()
A. 关于 $ x $ 轴对称
B. 关于 $ y $ 轴对称
C. 关于原点对称
D. 既关于 $ x $ 轴对称,又关于 $ y $ 轴对称

(1)C
(2)C

(1)
因为点$A(a,1)$与点$B(-2,b)$关于原点成中心对称，根据关于原点对称的点的坐标特征：两点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，所以可得$a = -(-2)=2$，$b = -1$。
则$a + b=2 + (-1)=1$。
(2)
设点$A$的坐标为$(m,n)$，因为点$A$与点$B$关于$x$轴对称，根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以点$B$的坐标为$(m,-n)$。
又因为点$A$与点$C$关于$y$轴对称，根据关于$y$轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以点$C$的坐标为$(-m,n)$。
那么点$B(m,-n)$与点$C(-m,n)$，根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都互为相反数，可知点$B$与点$C$关于原点对称。

探究二 利用关于原点对称的点的坐标特征求字母的取值范围
例 2 已知点 $ P(a + 1,2a - 3) $ 关于原点的对称点在第二象限,则 $ a $ 的取值范围是()
A.$ a ＜ -1 $
B.$ -1 ＜ a ＜ \frac{3}{2} $
C.$ -\frac{3}{2} ＜ a ＜ 1 $
D.$ a ＞ \frac{3}{2} $
名师导引 利用关于原点对称的点的坐标特征及各象限内点的符号特征。

B

点$P(a + 1,2a - 3)$关于原点的对称点坐标为$(-a - 1, -2a + 3)$。
因为该对称点在第二象限，第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正，所以可得不等式组：
$\begin{cases}-a - 1\lt0\\-2a + 3\gt0\end{cases}$
解第一个不等式$-a - 1\lt0$，移项可得$-a\lt1$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得$a\gt - 1$。
解第二个不等式$-2a + 3\gt0$，移项可得$-2a\gt - 3$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$a\lt\frac{3}{2}$。
所以$a$的取值范围是$-1\lt a\lt\frac{3}{2}$。

变式训练 (1)(2023 兰州期中)若点 $ M(-1 - 2a,-4) $ 关于原点的对称点位于第一象限,则 $ a $ 的取值范围是()
A. $ a ＞ -\frac{1}{2} $
B. $ a \geqslant -\frac{1}{2} $
C. $ a ＜ \frac{1}{2} $
D. $ a \leqslant \frac{1}{2} $
(2)已知点 $ M(1 - 2m,m - 1) $ 关于原点的对称点在第一象限,则 $ m $ 的取值范围在数轴上表示正确的是()

A.
B.
C.
D.

(1)A；(2)C

(1)点M(-1-2a,-4)关于原点对称的点为(1+2a,4)，该点在第一象限，则1+2a＞0，解得a＞-1/2，选A。
(2)点M(1-2m,m-1)关于原点对称的点为(2m-1,1-m)，该点在第一象限，则2m-1＞0且1-m＞0，解得1/2＜m＜1，在数轴上表示为选项C。

探究三 关于原点对称的图形的作法
例 3 如图,在平面直角坐标系中,$ \triangle ABC $ 的三个顶点的坐标分别为 $ A(-2,1) $,$ B(-4,5) $,$ C(-5,2) $。画出 $ \triangle ABC $ 关于原点 $ O $ 成中心对称的 $ \triangle A_1B_1C_1 $。

名师导引 关于原点对称的图形的作法：
(1)写出各点关于原点对称的点的坐标；
(2)在坐标平面内描出这些对称点的位置；
(3)顺次连接各点得到的图形即为所求作的对称图形。

1. 求各顶点关于原点对称的点的坐标：
点A(-2,1)关于原点对称的点A₁的坐标为(2,-1)；
点B(-4,5)关于原点对称的点B₁的坐标为(4,-5)；
点C(-5,2)关于原点对称的点C₁的坐标为(5,-2)。
2. 在坐标系中描出点A₁(2,-1)、B₁(4,-5)、C₁(5,-2)。
3. 顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁即为所求。

变式训练 如图,在平面直角坐标系中,画出 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 关于原点对称的图形,并写出点 $ A_1 $,$ B_1 $,$ C_1 $ 的坐标。

假设在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$的三个顶点坐标分别为$A(x_A, y_A)$，$B(x_B, y_B)$，$C(x_C, y_C)$。
根据关于原点对称的点的坐标性质，即点$P(x, y)$关于原点对称的点的坐标为$P'(-x, -y)$。
应用这一性质到$\triangle ABC$的三个顶点上，得到：
点$A_1$的坐标为$A_1(-x_A, -y_A)$，
点$B_1$的坐标为$B_1(-x_B, -y_B)$，
点$C_1$的坐标为$C_1(-x_C, -y_C)$。
在平面直角坐标系中，根据上述坐标，可以画出$\triangle A_1B_1C_1$，该三角形与$\triangle ABC$关于原点对称。
（若原题给出了ABC的具体坐标，将具体数值代入即可，以下为示例）
例如，若给定$A(1, 2)$，$B(3, 4)$，$C(5, 1)$，则：
$A_1$的坐标为$(-1, -2)$，
$B_1$的坐标为$(-3, -4)$，
$C_1$的坐标为$(-5, -1)$。
在坐标系中标出这三个点，并连接成三角形，即得到$\triangle A_1B_1C_1$。