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17. 如图,已知$\triangle ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,3)$,$B(3,1)$,$C(-2,-2)$.请在图中作出$\triangle ABC关于直线l的轴对称图形\triangle DEF$($A$,$B$,$C的对称点分别是D$,$E$,$F$),并直接写出点$D$,$E$,$F$的坐标.
答案
解:如图.D(-4,3),E(-5,1),F(0,-2).
18. 将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放,等腰直角三角形$ABC的斜边BC与含30^{\circ}角的直角三角形DBE的直角边BD$长度相同,且斜边$BC与BE$在同一直线上,$AC与BD相交于点O$,连接$CD$.求证：$\triangle CDO$是等腰三角形.
答案
证明:因为在△BDC中,BC=BD,所以∠BDC=∠BCD.因为∠DBE=30°,所以∠BDC=∠BCD=75°.因为∠ACB=45°,所以∠DOC=∠DBE+∠ACB=30°+45°=75°.所以∠DOC=∠BDC,所以△CDO是等腰三角形.
解析
证明:在△BDC中,BC=BD,
∴∠BDC=∠BCD.
∵∠DBE=30°,
∴∠BDC=∠BCD=$\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=45°.
∵∠DOC是△BOC的外角,
∴∠DOC=∠DBE+∠ACB=30°+45°=75°.
∴∠DOC=∠BDC,
∴△CDO是等腰三角形.
∴∠BDC=∠BCD.
∵∠DBE=30°,
∴∠BDC=∠BCD=$\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=45°.
∵∠DOC是△BOC的外角,
∴∠DOC=∠DBE+∠ACB=30°+45°=75°.
∴∠DOC=∠BDC,
∴△CDO是等腰三角形.
19. 按下列要求作图.
已知：如图,线段$AB$.
求作：等腰直角三角形$ABC$,使$AB = AC$,$\angle BAC = 90^{\circ}$.(不写作法,保留作图痕迹)
已知：如图,线段$AB$.
求作：等腰直角三角形$ABC$,使$AB = AC$,$\angle BAC = 90^{\circ}$.(不写作法,保留作图痕迹)
答案
解:如图,△ABC为所求作的三角形.
20. 如图,在等边三角形$ABC$中,$D是AC$的中点,$E是BC$延长线上的一点,且$CE = CD$,$DM \perp BC$,垂足为$M$.求证：$M是BE$的中点.
答案
证明:如图,连接BD.
因为等边三角形ABC中,D是AC的中点,所以∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°,∠ACB=60°.因为CE=CD,所以∠E=∠CDE.又因为∠ACB=∠E+∠CDE,所以∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°,所以∠DBC=∠E=30°,所以DB=DE.又因为DM⊥BC,所以M是BE的中点.
