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1. 如图, 两个三角形是全等三角形, $ x $ 的值是 ( )
A.30
B.45
C.50
D.85
A.30
B.45
C.50
D.85
答案
A 解析:如图,由全等三角形的性质可知∠1=x°.
因为∠1=180°-105°-45°=30°,所以x=30.
故选A.
2. 如图, 已知 $ \triangle ACE \cong \triangle DBF $, 若 $ \angle E = \angle F $, $ AD = 8 $, $ BC = 2 $, 则 $ AB $ 的长为 (
A.6
B.5
C.3
D.不能确定
3
)A.6
B.5
C.3
D.不能确定
答案
C 解析:因为△ACE≌△DBF,∠E=∠F,所以AC与BD为对应边,所以AC=BD,所以AC - BC = BD - BC,即AB = CD,所以2AB = AD - BC = 8 - 2 = 6,所以AB = 3.
3. 如图, 在 $ 3 × 3 $ 的正方形网格中, 每个小正方形的边长都为 1, 则 $ \angle 1 $ 和 $ \angle 2 $ 的关系为 ( )
A.$ \angle 1 = \angle 2 $
B.$ \angle 2 = 2 \angle 1 $
C.$ \angle 1 + 90° = \angle 2 $
D.$ \angle 1 + \angle 2 = 180° $
A.$ \angle 1 = \angle 2 $
B.$ \angle 2 = 2 \angle 1 $
C.$ \angle 1 + 90° = \angle 2 $
D.$ \angle 1 + \angle 2 = 180° $
答案
D 解析:如图.
由题意,得AB = ED,BC = DF,∠EDF = ∠ABC = 90°,
所以△ABC≌△EDF(SAS).
所以∠DEF = ∠1.
因为∠DEF + ∠2 = 180°,
所以∠1 + ∠2 = 180°.
故选D.
4. 如图, 已知 $ AB // CD $, $ AD // BC $, 则判定 $ \triangle ABC \cong \triangle CDA $ 的依据是 (
A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.以上都不对
B
)A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.以上都不对
答案
B 解析:因为AB//CD,AD//BC,
所以∠BAC = ∠DCA,∠BCA = ∠DAC.
又因为AC = CA,
所以△ABC≌△CDA(ASA).
故选B.
所以∠BAC = ∠DCA,∠BCA = ∠DAC.
又因为AC = CA,
所以△ABC≌△CDA(ASA).
故选B.
5. 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle BAC = 90° $, $ \angle B = 30° $, 以顶点 $ A $ 为圆心, $ AC $ 为半径作弧交 $ AB $ 于点 $ D $, 分别以 $ C $, $ D $ 为圆心, 大于 $ \frac{1}{2}CD $ 为半径作弧, 两弧交于点 $ E $, 射线 $ AE $ 交 $ BC $ 于点 $ F $, 连接 $ DF $, 则 $ \angle AFD $ 的度数为 (
A.$ 85° $
B.$ 75° $
C.$ 65° $
D.$ 60° $
B
)A.$ 85° $
B.$ 75° $
C.$ 65° $
D.$ 60° $
答案
B
解析
在$ \triangle ABC $中，$ \angle BAC = 90° $，$ \angle B = 30° $，则$ \angle ACB = 60° $。
由作图知，$ AD = AC $（以$ A $为圆心，$ AC $为半径画弧），故$ \triangle ADC $为等腰三角形。又$ AE $是$ CD $的垂直平分线（分别以$ C,D $为圆心画弧交于$ E $），因此$ FD = FC $，$ \angle FDC = \angle FCD $。
设$ \angle FCD = \alpha $，则$ \angle FDC = \alpha $，$ \angle DFC = 180° - 2\alpha $。
在$ \triangle ADC $中，$ AD = AC $，$ \angle DAC = 90° $，故$ \triangle ADC $为等腰直角三角形，$ \angle ACD = 45° $。
因为$ \angle ACB = 60° $，所以$ \angle FCD = \angle ACB - \angle ACD = 60° - 45° = 15° $，即$ \alpha = 15° $，则$ \angle FDC = 15° $，$ \angle DFC = 150° $。
$ AE $平分$ \angle DAC $（等腰三角形三线合一），故$ \angle FAD = 45° $。
在$ \triangle AFD $中，$ \angle AD F = \angle ADC + \angle FDC = 45° + 15° = 60° $，则$ \angle AFD = 180° - \angle FAD - \angle ADF = 180° - 45° - 60° = 75° $。
由作图知，$ AD = AC $（以$ A $为圆心，$ AC $为半径画弧），故$ \triangle ADC $为等腰三角形。又$ AE $是$ CD $的垂直平分线（分别以$ C,D $为圆心画弧交于$ E $），因此$ FD = FC $，$ \angle FDC = \angle FCD $。
设$ \angle FCD = \alpha $，则$ \angle FDC = \alpha $，$ \angle DFC = 180° - 2\alpha $。
在$ \triangle ADC $中，$ AD = AC $，$ \angle DAC = 90° $，故$ \triangle ADC $为等腰直角三角形，$ \angle ACD = 45° $。
因为$ \angle ACB = 60° $，所以$ \angle FCD = \angle ACB - \angle ACD = 60° - 45° = 15° $，即$ \alpha = 15° $，则$ \angle FDC = 15° $，$ \angle DFC = 150° $。
$ AE $平分$ \angle DAC $（等腰三角形三线合一），故$ \angle FAD = 45° $。
在$ \triangle AFD $中，$ \angle AD F = \angle ADC + \angle FDC = 45° + 15° = 60° $，则$ \angle AFD = 180° - \angle FAD - \angle ADF = 180° - 45° - 60° = 75° $。
6. 如图, 点 $ A $ 在 $ DE $ 上, $ AC = CE $, $ \angle 1 = \angle 2 = \angle 3 $, 则 $ DE = $ (
A.$ DC $
B.$ BC $
C.$ AB $
D.$ AE + AC $
AB
)A.$ DC $
B.$ BC $
C.$ AB $
D.$ AE + AC $
答案
C 解析:因为∠DAC = ∠E + ∠3 = ∠1 + ∠BAC,∠1 = ∠3,
所以∠BAC = ∠E.
又因为∠2 = ∠3,
所以∠2 + ∠DCA = ∠3 + ∠DCA.
即∠BCA = ∠DCE.
又因为AC = CE,
所以△ABC≌△EDC(ASA).
所以DE = AB.
所以∠BAC = ∠E.
又因为∠2 = ∠3,
所以∠2 + ∠DCA = ∠3 + ∠DCA.
即∠BCA = ∠DCE.
又因为AC = CE,
所以△ABC≌△EDC(ASA).
所以DE = AB.
7. 如图, $ \triangle ABC $ 的三边 $ AB $, $ BC $, $ CA $ 的长分别是 20, 30, 40, 其三条角平分线交于一点 $ O $, 则 $ S_{\triangle ABO} : S_{\triangle BCO} : S_{\triangle CAO} $ 等于 ( )
A.$ 1 : 1 : 1 $
B.$ 1 : 2 : 3 $
C.$ 2 : 3 : 4 $
D.$ 3 : 4 : 5 $
A.$ 1 : 1 : 1 $
B.$ 1 : 2 : 3 $
C.$ 2 : 3 : 4 $
D.$ 3 : 4 : 5 $
答案
C 解析:如图,过点O作OD⊥AC于点D,OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F.
因为O是三角形三条角平分线的交点,
所以OD = OE = OF.
因为AB = 20,BC = 30,AC = 40,
所以S△ABO:S△BCO:S△CAO = 2:3:4.
故选C.
